Как определена эта угловая скорость? По отношению к чему вращается эта пара точек? Коль Вы задали значение угловой скорости, решающему Вашу задачу должна быть доступна возможность, например, посчитать линейную скорость одной из точек на основании условия задачи. В Вашей формулировке я не вижу такой возможности. Разъясните ситуацию, пожалуйста.
Похоже, что курс механики вам удалось осилить только до кинематики.
Если бы вы решили задачу динамики, то нашли бы, что ось собственного вращения "гантели":
1. Проходит через центр масс "гантели", на что сразу указал
Alex165.
2. Перпендикулярна отрезку
![$S_{12}$ $S_{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1da21418ff59618ae3661704c05babf82.png)
, соединяющему точки
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
и
![$m_2$ $m_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9ad343d20544ab9321998ec5d49eba382.png)
.
Вращение происходит по окружностям, лежащим в одной плоскости - движения, и эта плоскость не поворачивается в инерциальном пространстве.
Известно, что центр масс
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
делит отрезок
![$S_{12}$ $S_{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1da21418ff59618ae3661704c05babf82.png)
в отношении, обратном отношению соответствующих масс.
Обозначим
![$S_{1C}(S_{2C})$ $S_{1C}(S_{2C})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/1/1713025acce518ed065c93f3ab85a26482.png)
расстояние между точкой
![$m_1(m_2)$ $m_1(m_2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/5/b257dab688631d2bc4af7fb0b503779e82.png)
и центром масс
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
. Тогда:
![$
\left\{ \begin{array}{l}
m_1S_{1C}-m_2S_{2C}=0,\\
S_{1C}+S_{2C}=S_{12},
\end{array} \right.
$ $
\left\{ \begin{array}{l}
m_1S_{1C}-m_2S_{2C}=0,\\
S_{1C}+S_{2C}=S_{12},
\end{array} \right.
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/c/13cea9e99405e7c0a4fac7d2b9c55d2382.png)
отсюда
![$
\left\{ \begin{array}{l}
S_{1C} = \frac {m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\
S_{2C} = \frac {m_1S_{12}} {m_1+m_2},
\end{array} \right.
$ $
\left\{ \begin{array}{l}
S_{1C} = \frac {m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\
S_{2C} = \frac {m_1S_{12}} {m_1+m_2},
\end{array} \right.
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/7/777b2b61d8a2e88042ebab1bdfc7677f82.png)
Теперь найдем линейные скорости точек в ИСО, связанной с центром масс.
![$
\left\{ \begin{array}{l}
v_1 = \frac {\omega m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\
v_2 = \frac {\omega m_1S_{12}} {m_1+m_2},
\end{array} \right.
$ $
\left\{ \begin{array}{l}
v_1 = \frac {\omega m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\
v_2 = \frac {\omega m_1S_{12}} {m_1+m_2},
\end{array} \right.
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/7/3e7c2fd84d3da72a4e63ebb4304d26f782.png)
Здесь
![$S_{12}$ $S_{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1da21418ff59618ae3661704c05babf82.png)
- длина невесомой связи.
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
- модуль вектора угловой скорости.
Это модули линейных скоростей вращения. Если известно направление отрезка
![$S_{12}$ $S_{12}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1da21418ff59618ae3661704c05babf82.png)
для момента времени
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
, то векторы скоростей "абсолютных" нормальны к этому отрезку.
Теперь можете от этих векторов линейных скоростей вычесть постоянный вектор скорости любой ИСО и вы получите линейные скорости материальных точек "гантели" в любой ИСО.
Главный вопрос, ответ на который я хотел бы услышать: как доказать, что ось собственного вращения "гантели" проходит через центр масс?