2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 28  След.
 
 
Сообщение25.02.2007, 18:50 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Здравствуйте. Опять должен начать с извинений перед Администрацией форума - я AN. Я опять забыл пароль и сменил почтовый ящик, поэтому заново зарегистрировался как serval. Теперь на всех форумах я пользуюсь одним паролем, надеюсь что это поможет его не забыть : )
Предлагаю подумать над задачей: дано уравнение
$$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$ (1)
где вектор $$\vec{e}=\{1,1,-1\}$$, вектор $$\vec{n}=\{1,3,2\}$$, а матрица оператора $$\hat{A_1}$$ имеет вид
$${A_1}=\left
(\begin{array}{ccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}
\end{array}\right)$$
Каким условиям должна удовлетворять матрица $${A_1}$$ чтобы уравнение (1) выполнялось?
В развёрнутом виде уравнение (1) выглядит так
$$\left(1,1,-1\right)
\left (\begin{array}{ccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{lll} 1\\3\\2 \end{array}\right)
=0$$
Дополнительно: строки матрицы являются усечёнными до третьего элемента строками треугольника Паскаля
$$\begin{array}{ccccccc}
 &\multicolumn{1}{|c}{x_{i1}}&x_{i2}&x_{i3}&x_{i4}&x_{i5}&\ldots\\ \hline
1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\
2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\
3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&0&0&\ldots\\
4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&1&0&\ \\
5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&4&1&\ \\
\vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&\vdots&\ &\ &\ &\ddots
\end{array}$$
а условия на матрицу $${A_1}$$ соответствуют условиям для Пифагоровых троек (ВТФ для случая $$n=2$$)
$$a=2mn$$
$$b=m^2-n^2$$
$$c=m^2+n^2$$
в традиционной записи
$$a^2+b^2=c^2$$

Добавлено спустя 34 минуты 30 секунд:

И ещё. Для случая $$n=3$$ уравнение $$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$ примет вид
$$\left(1,1,-1\right)
\left (\begin{array}{cccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}&{x_{a4}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}&{x_{b4}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}&{x_{c4}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{lll} 1\\7\\12\\6 \end{array}\right)=0$$
Можно ли отсюда сделать какие-либо выводы о его разрешимости?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2007, 17:40 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я рассказывал, что с помощью бесконечного семейства описанных выше треугольников (упорядоченных векторных множеств) можно представить натуральные числа скалярными произведениями их строк. Либо, через координаты перемножаемых векторов, точками 4-х мерного пространства.
Ещё я рассказывал, что у меня есть пример такого разложения (векторной факторизации) простого числа. Сейчас у меня таких примеров уже 118. Это среди первых 10.000.000 натуральных чисел. Собственно, количество зависит от задаваемого размера и количества треугольников. Предполагаю, что при достаточно большой величине этих параметров таким способом факторизуются все простые числа.
Интересно другое - есть ли закономерность в распределении векторов, дающих при скалярном перемножении простые числа? 118 найденных разложений для статистики мало. Продолжаю копать.

Добавлено спустя 53 минуты 44 секунды:

Если кому-нибудь интересно, могу выложить найденные примеры с указанием перемножаемых векторов в формате ([t1,s1],[t2,s2]), где t1 - номер 1-го (из двух) треугольника, s1 - номер строки в нём, t2 и s2 - соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2007, 22:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно? Я сам не специалист ни в том ни в другом.
На всякий случай, представлюсь - Андрей Назаренко, 40 лет, живу в Симферополе, окончил местный университет по кафедре терфизики, сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем. Не собираюсь ниспровергать основы. Хочу одного - заинтересованного собеседника. Буду благодарен если порекомендуете. Для справки - проблема, действительно, существует. Показывал, минимум, десятку математиков (в т.ч. своим преподавателям) - никто этого не видел. И никого это не интересует пока нет конкретных приложений. Видимо, пока я не взломаю нацбанк Украины никто не обратит внимания : ) Шутка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2008, 13:05 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 21:02 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
serval писал(а):
Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно?

Потому, что не интересна. И, раз уж я стал отвечать, позвольте заметить, что Ваше сообщение — оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
serval писал(а):
Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

Теорема Фробениуса-Перрона
Максимальное собственное число просто и равно спектральному радиусу, соответствующий собственный вектор имеет положительные компоненты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 00:10 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
serval писал(а):
сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем.
(мной выделено существенное для дальнейшего слово)
serval писал(а):
Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.
Вам не кажется, что Ваше последнее заявление может вызвать сомнения в справедливости процитированного мной Вашего предыдущего заявления? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 13:03 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Как вставить картинку? По локальному пути не вставляется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2008, 02:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
serval
Воспользуйтесь, например, услугами imageshack.net

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 15:19 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Решение квадратного уравнения имеющего натуральные различные корни сводится к следующему.
Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k. При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2. Требуется найти k и n.
Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5784
Новосибирск
serval в сообщении #159147 писал(а):
Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k.

$s=(k+(n-1)\frac{d}{2})n$
serval в сообщении #159147 писал(а):
При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2.


$k=1$ Шаг - это разность прогрессии? $d=2 \Rightarrow s=n^2$
serval в сообщении #159147 писал(а):
Требуется найти k и n.

$k=1, n=\sqrt s. $ Если $s$ не является полным квадратом, то $n$ не натурально. Могло быть ещё хуже при $d<0$.
serval в сообщении #159147 писал(а):
Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

А где квадратное уравнение то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 13:37 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я не говорил, что k=1. S является суммой n членов начиная с k-го, т.е. суммой членов с k по k+n-1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5784
Новосибирск
serval в сообщении #159439 писал(а):
Я не говорил, что k=1

Если Вы внимательно посмотрите, то именно это и было сказано. Продолжая Ваш витиеватый стиль говорить сложно о простом, надо было сказать, что первое слагаемое суммы - это k-й член арифметической прогрессии с разностью 2, начинающейся с единицы.

Ну, теперь разъяснилось, что к чему - речь идёт о сумме нечётных чисел от $2k-1$ до $2k-3+2n$ включительно.

Тогда $S=n(2k-2+n)$ - разложение $S$ на два натуральных делителя. Выбираем делитель $n\leqslant \sqrt S$ одинаковой чётности с $S$ и получаем $k=1+\frac{1}{2}\Big(\frac{S}{n}-n\Big)$.
Если $S$ взята не с потолка, а действительно является суммой некоторых последовательных нечётных чисел, то случай чётной, но не делящейся на 4 суммы не представится и выбор будет возможен и в общем случае он не однозначен.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 14:34 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Смотрю внимательно
Цитата:
первый член этой прогрессии равен 1

Прогрессии, а не суммы. Впрочем, принимаю замечание и буду стараться излагать максимально однозначно.
Цитата:
Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

Умножьте выражение для k на n и получите квадратное уравнение относительно n.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group