ВТФ и дискретная геометрия

[golos]

to AN.
Вы спрашивали: "Вопросов больше не будет?" Если вопрос ко мне, то он попросту не по адресу-я жуткий дилетант. Не в смысле "любитель", а в смысле "невежда". Знаете, я просто не понимаю, о чём Вы пишите. Единственно-чувствую, что что-то есть.
"И это всё, что я могу Вам предложить"/помните анекдот про султана, построившего наложниц и поцеловавшего каждую в щёчку, после чего и со слезами на глазах и сказавшего... Отличие-я не плачу, а смеюсь:). Но в этом вся разница(:./
Судя по предложению cepesh, Вы пишите далеко не тривиальные вещи. Так что зря комплексуете. Вперёд и удачи.
P.S.Если от скуки вздумаете просветить меня/Вы уверяете, что пишите вещи простенькие:)/, то напишите мне на [e-mail] Если в самом деле вздумаете, то в первом посте напишите наиболее простые понятия, чтоб я смог понять, о чём речь.Indigo признал, что иногда я способен неплохо думать, причём обратил внимание, что именно головой.
Быть может, это произойдёт в случае нашей переписки:).
Ещё раз всего доброго и удачи.

[Indigo]

AN писал(а):

Иначе говоря, простое число, по определению не представимое произведением скалярных сомножителей может быть представлено скалярным произведением векторов специального вида. При этом, таким образом могут быть единообразно представлены все натуральные числа.

Давайте подробнее про все натуральные числа.
Если у Вас есть некоторое представление для ВСЕХ натуральных чисел, то к чему вот этот вопрос:

Цитата:

1. Могут ли таким способом быть представлены другие простые числа?

Если могут быть представлены все натуральные, то и все простые тоже (простые - это подмножество натуральных )

AN писал(а):

Такая нумерация предоставляет возможность представить натуральные числа точками 4-х мерного пространства, где две координаты – номера операторов, ещё две – их степени в соответствующем скалярном произведении.

Для этого надо доказать, что

а) таким образом можно представить все натуральные числа.
б) для каждого натурального числа существует только одно представление.

Иначе такое представление, скорее всего, бессмысленно.

golos писал(а):

Думаю, что в данном случае следует доказать, что для некоторого числа х возможны 2 разных решения. По крайней мере, из формул решения пифагоровых троек видно, что решение всегда одно.

Думаю, что надо посмотреть оригинальные результаты Эйлера.
Я не знаю, охватывает ли это решение (параметризация с помощью пифагоровых троек) все возможные параллелепипеды, или нет - мне никогда не была особо интересна эта область алгебры.

golos писал(а):

Благодарю за формулы целочисленного параллелепипеда. Из некоторой вредности привожу свои, в которых два первых слагаемых из пифагоровой тройки
(d^2+2cd)^2+(2c^2+2cd)^2+((d^4+4cd^3+8c^2d^2+8c^3d+4c^4-1)/2)^2=((d^4+4cd^3+8c^2d^2+8c^3d+4c^4+1)/2)^2
Условие: параметры c,d не должны быть кратными корню квадратному из 2.
Являются ли формулы общими? Не знаю.

Из некоторой вредности спрошу - что из этого является ребрами параллелограмма? И почему слева - три слагаемых?
Задача о кирпиче Эйлера ставится так:
Описать параллелограммы, у которых длины всех сторон и всех диагоналей граней - целые числа.
О "пространственной" диагонали параллелограмма не сказано ни слова.

AN писал(а):

Я собирался рассказать про дискретную производную, про то, как привести многочлен с одной переменной к уравнению гиперплоскости и про переход к непрерывному случаю. И про то, как переписать формулировку ВТФ в виде векторного уравнения.

Не вижу причин, почему бы благородному дону не рассказать об этом?

[golos]

to Indigo
Вы писали:"...что из этого является рёбрами параллелограмма? И почему слева три слагаемых?"
Математика любит чёткие формулировки,понял. Отвечаю:три слагаемых слева являются рёбрами параллелограмма. Справа находится пространственная диагональ.
Что касается количества слагаемых, то уточните, пожалуйста, какое их количество Вас устроит? И какое это имет отношение к поставленной задаче? Я не понимаю, в чём "закавыка". Надо бОльшее количество слагаемых? Зачем? А если надо, то сколько?
Я приведу общее решение в целых числах для такого количества слагаемых,которое Вас устроит.
Но чрезвычайно любопытно узнать:зачем?
Кстати, благодарю за более подробное описание задачи Эйлера. То-то я всё время удивлялся:вроде бы везде указано, что найдено всего одно целочисленное решение для пространственной диагонали "кирпича", да и то перебором на компьютере, а Вы говорите о бесконечном их, решений,количестве...
Впрочем, я мог Вас неправильно понять.
В любом случае весьма благодарен за ответы.

[Indigo]

golos писал(а):

Математика любит чёткие формулировки,понял.

Ну, а Вы как думали?
"Дьявол играет нами, когда мы не мыслим точно"(с)

golos писал(а):

Что касается количества слагаемых, то уточните, пожалуйста, какое их количество Вас устроит? И какое это имет отношение к поставленной задаче? Я не понимаю, в чём "закавыка". Надо бОльшее количество слагаемых? Зачем? А если надо, то сколько?

Дело в том, что о пространственной диагонали ничего не говорится.
По идее, в каждом уравнении системы слева должно быть два слагаемых.

Систему эту Вы уже писали:

Цитата:

x^2+y^2=e^2
x^2+z^2=r^2
z^2+y^2=t^2

Было бы интересно посмотреть на ее общее решение.

[AN]

to Indigo

Цитата:

Если у Вас есть некоторое представление для ВСЕХ натуральных чисел

Все натуральные числа можно представить по этой схеме ТРИВИАЛЬНЫМ образом:
пусть k - натуральное число, возведя его в первую степень мы получим его же
k=k^1
теперь мы можем представить k^1 скалярным произведением
k^1=(a[k],b[1])
где a[k] - k-я строка треугольника Паскаля, b[1] - 1-я строка второго треугольника (его строки нумеруются начиная с нуля!).
Т.к. b[1]=(1,1,0 ...), а первый компонент вектора a[1] равен 1, то такое представление дает
k^1=1+(k-1)
в силу чего и является тривиальным. Скажем
3^2=9=1*1+8*1=(a[9],b[1]) - тривиальное представление
3^2=1*1+2*3+1*2=(a[3],b[2]) - нетривиальное представление
Очевидно, что тривиальным образом можно представить любое натуральное число.
Меня интересует - сколькими нетривиальными способами можно представить произвольное натуральное число? Кстати, не менее интересно, имеют ли какой-нибудь комбинаторный смысл треугольники с номерами >2?

Цитата:

Для этого надо доказать, что
а) таким образом можно представить все натуральные числа.
б) для каждого натурального числа существует только одно представление.

По сказанному выше:
а) Все натуральные числа допускают, по крайней мере, тривиальное представление.
б) Почти уверен, что каждое натуральное число может быть представлено не единственным образом. При этом число его представлений будет конечным, что очевидно. Тогда соответствие между натуральными числами и целыми точками 4-х мерного пространства просто не будет взаимно-однозначным. Это никак не уменьшает моего интереса к конкретному виду этого соответствия.

Цитата:

Не вижу причин, почему бы благородному дону не рассказать об этом?

Благородному дону крайне желателен внимательный собеседник, оперативно указывающий на ошибки, неясности и неточности. Как Вы это сделали относительно элементов второго треугольника, указав правильный вид сомножителя чисел Стирлинга.
Есть предложение считать интерес проявленным и обсудить связь треугольника Паскаля с производной.
Беру небольшой тайм-аут для приведения мыслей в порядок.

to golos

Цитата:

напишите наиболее простые понятия, чтоб я смог понять

При всём моём желании кое-что Вам придётся сделать самому. Например, разобраться с биномиальными коэффициентами и правилом умножения матриц. Это можно сделать с помощью огромного множества книг. Для понимания того, о чём я говорю, в общем, ничего больше не нужно.

[AN]

Одно из свойств треугольника Паскаля таково:
k-1
Sum a[i,m-1]=a[k,m]
i=1
элемент треугольника Паскаля равен сумме по номеру строки (от 1 до номера предыдущей строки) элементов предыдущего столбца. Например
__|1 2 3 4 5
1 | 1 0 0 0 0
2 | 1 1 0 0 0
3 | 1 2 1 0 0
4 | 1 3 3 1 0
5 | 1 4 6 4 1
6 = 0 + 1 + 2 + 3
Иначе говоря, любой столбец треугольника Паскаля составляют частичные суммы предыдущего столбца. Тут аналогия с интегралом совсем прозрачна. Задачу о переходе к непрерывности можно поставить так – требуется указать систему таких функций, которые имеют значениями элементы треугольника Паскаля, если аргументом является натуральное число. Это можно сделать. Не вдаваясь в технические подробности (если кому-то будет интересно, вернусь к этому позже) просто покажу первые пять из них:
f1(x)=1
f2(x)=x – 1
f3(x)=(1/2)(x^2 – 3*x + 2)
f4(x)=(1/6)(x^3 – 6*x^2 + 11*x – 6)
f5(x)=(1/24)(x^4 – 10*x^3 + 35*x^2 – 50*x + 24)
Например, взяв в качестве аргумента номер строки i=5 получим:
f1(5)=1
f2(5)=4
f3(5)=6
f4(5)=4
f5(5)=1
всю строку треугольника Паскаля с этим номером.
Но аргумент этих функций не обязан быть натуральным. Зачем нужны непрерывные биномиальные коэффициенты? Не знаю. Возможно, это лишь забавный математический казус, но факт имеет место быть.
В следующий раз я покажу как легко и просто многочлен степени n с одной переменной имеющий натуральные различные корни приводится к уравнению гиперплоскости содержащей n целых точек.

[Indigo]

Цитата:

Задачу о переходе к непрерывности можно поставить так – требуется указать систему таких функций, которые имеют значениями элементы треугольника Паскаля, если аргументом является натуральное число. Это можно сделать. Не вдаваясь в технические подробности (если кому-то будет интересно, вернусь к этому позже) просто покажу первые пять из них:
f1(x)=1
f2(x)=x – 1
f3(x)=(1/2)(x^2 – 3*x + 2)
f4(x)=(1/6)(x^3 – 6*x^2 + 11*x – 6)
f5(x)=(1/24)(x^4 – 10*x^3 + 35*x^2 – 50*x + 24)

Эти функции на самом деле являются не чем иным, как формулой:
$C[n,k]= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}(n(n-1) \ldots (n-k+1))$,
где раскрыты скобки относительно n (в Вашей записи - х).

Эту формулу можно использовать не только для натурального аргумента n, но и для действительного, и для комплексного, выразив факториал через гамма-функцию: $ x!=\Gamma (x+1) $
Биномиальные коэффициенты нецелого и комплексного аргумента используются точно так же, как и целого - для разложения в ряд биномов с соответственно нецелыми и комплексными показателями степеней. Правда, надо быть аккуратнее, дополнительно определяя область сходимости ряда.

Без обид, но это известный факт.
Хотя в любом случае хорошо, что Вы придумали это самостоятельно.

P.S. Админам огромное спасибо за тэг math, очень удобно

[golos]

to Indigo
Как и ожидал, общего решения в целых числах для предложенной Вами системы не нашёл. Не уверен, что общее решение есть вообще.Хотя частное решение в целых числах есть, но не для всех параметров, потому особо не заинтересовался.
Вот ещё одно общее решение для трёх целочисленных рёбер и двух целочисленных диагоналей, из которых одна пространственная

x=2k-1
y=2k(k-1)
z=2k(k-1)(k^2-k+1)
w=2k^2(k-1)^2+2k(k-1)+1
Видно, что из трёх рёбер два всегда чётные, поэтому диагональ между ними не может быть выражена в целых числах.
Добавлю, что всегда можно найти целочисленные решения для любого количества параллелотопов с любым количеством рёбер. Но только одна диагональ грани будет целочисленной. И только одна пространственная диагональ будет выражена в целых числах.

[AN]

to Indigo

Цитата:

Без обид, но это известный факт.

Обижаться не на что. Напротив, Вы помогаете мне понять с чем я имею дело. Это уже второй изобретённый мной велосипед. Замеченный. Не удивлюсь если обнаружатся и другие, трагедии в этом не будет.
До сих пор Ваши замечания касались комбинаторики, можете ли Вы что-нибудь сказать об интересующей меня геометрической интерпретации обсуждаемого тождества?
Сегодня не могу написать больше за недостатком времени, но в ближайшие дни расскажу обещанное.

P.S. Где можно прочесть об использовании тэга math?

[cepesh]

AN писал(а):

P.S. Где можно прочесть об использовании тэга math?

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183
Правда он не дописан. Но книга Львовского Вам в помощь.

[Macavity]

Indigo писал(а):

Дело в том, что о пространственной диагонали ничего не говорится.
По идее, в каждом уравнении системы слева должно быть два слагаемых.

Бог с теми диагоналями.
Удалось ли Вам опровергнуть господина Билича с его доказательством ВТФ

[Indigo]

AN писал(а):

До сих пор Ваши замечания касались комбинаторики, можете ли Вы что-нибудь сказать об интересующей меня геометрической интерпретации обсуждаемого тождества?

Не-а, у меня очень плохо с геометрической воображалкой

Macavity писал(а):

Бог с теми диагоналями.
Удалось ли Вам опровергнуть господина Билича с его доказательством ВТФ

Как только у меня выдастся неделька-другая посвободнее, я обещаю, что обязательно прочитаю это выдающееся творение и напишу дифирамбы и в адрес его автора.

[AN]

to Indigoу

Цитата:

у меня очень плохо с геометрической воображалкой

С теми, у которых с геометрической воображалкой хорошо
{Есть такие, которые с лёгкостью представляют себе пространство любой размерности. Как им кажется.}
разговаривать невозможно, поэтому вся надежда на математиков.

[Macavity]

Indigo писал(а):

Как только у меня выдастся неделька-другая посвободнее, я обещаю, что обязательно прочитаю это выдающееся творение и напишу дифирамбы и в адрес его автора.

Честно говоря, я пока тоже не дочитал до конца.
Как только что-то найду напишу. Но идея (переход к другой
системе счисления) мне кажется очень интересной.

Я вижу Вы разбираетесь в комбинаторике. Не в курсе решена ли задача и каково решение - сколько существует неизоморфных различных групп размерности n?

[AN]

Есть немного времени. Я покажу как привести многочлен степени n с одной переменной имеющий натуральные различные корни к уравнению гиперплоскости содержащей n целых точек.
Для простоты рассмотрим квадратное уравнение
(x-a)*(x-b)=0
x^2-(a+b)*x+a*b=0
после замены c1=(a+b), c2=a*b получим
x^2-c1*x+c2=0
Далее, по сказанному выше, перепишем последнее уравнение в виде
(1+3*x[i,2]+2*x[i,3])-c1*(1+x[i,2])+c2=0
после раскрытия скобок и перегруппировки получим
(1-c1+c2)+(3-c1)*x[i,2]+2*x[i,3]=0
заменим n1=(1-c1+c2), n2=(3-c1), n3=2 и учитывая, что x[i,1]=1, получим
n1*x[i,1]+n2*x[i,2]+n3*x[i,3]=0
или
(n,xi)=0, где n=(n1,n2,n3) - вектор нормали плоскости, xi=(x[i,1],x[i,2],x[i,3]) - любой из двух векторов (xa и xb) лежащих в этой плоскости.
Отсюда непосредственно следует, что плоскость не содержит иных целых точек, кроме принадлежащих решётке образованной указанными векторами.
Всё сказанное прямо переносится на многочлены степеней >2 при сохранении условий на корни - они должны быть натуральные и различные.