ВТФ и дискретная геометрия

[bot]

serval в сообщении #164446 писал(а):

Цитата:
Что касается остального, то рассматриваю его как очередное нагромождение ... Откровенно говоря, действительно было просто лень всё это смотреть
Можно было просто вставить между выделенными отрывками "потому что".

Можно было бы, если бы я хотел сказать это, а не то что я сказал.

Я уже проверял Ваши итерации по поиску целого корня квадратного трёхчлена - они правильные. Однако все эти матричные прибамбасы просто лишние - лишь в одной компоненте на некотором шаге появляется на заранее известном шаге значение квадратного трёхчлена в точке, равной корню, а остальные компоненты просто лишние и их вычисления тоже лишние. Они не мешают проверке, но и нисколько этому не помогают.
Здесь сразу видно то же самое. Вот поэтому мне и лень смотреть, а совсем не то что Вы говорите: "ему лень смотреть, вот поэтому он и рассматривает мои построения как нагромождение".

[serval]

Цитата:

Ваши итерации по поиску целого корня квадратного трёхчлена - они правильные

Суть в том, что они правильные для многочлена любой степени. Вопрос - дают ли они выигрыш относительно применяемых алгоритмов? Это одна из задач.

Цитата:

остальные компоненты просто лишние и их вычисления тоже лишние

А можно вычислить только необходимый компонент не вычисляя остальных? Подскажите как - буду рад и благодарен.
То же с прочими выкладками - проще не получается. Да и куда же проще - 2 страницы текста.

[serval]

Решил причесать черновики. Собрал из кусков такую штуку, возможно кому-нибудь будет интересно: натуральное число $x$ в натуральной степени $y$ можно представить матричным уравнением

$$x^y=\vec{x}\ \hat{S_1}\hat{P}\ \vec{y}$$

где

$$\vec{x}=\left(x^0,x^1\ldots\\\ x^i\right)$$

$$\vec{y}=\left(\begin{array}{lll} 1^y\\2^y\\\vdots\\i^y \end{array}\right)$$

а матрицы операторов составлены: $S_1$ - числами Стирлинга 1-го рода отнесёнными к соответствующим факториалам (транспонированная), $P$ - биномиальными коэффициентами с необходимым учетом знака.
В явном виде выпишу немного позже.

[serval]

Вот так

$$S_1=\left( \begin{array}{cccc} s(1,1)&s(1,2)&\ldots&s(i,1)\\ 0&s(2,2)&\ldots&s(i,2)\\ \vdots&\ &\ddots&\vdots\\ 0&\ldots&\ &s(i,i) \end{array}\right)$$

$$P=\left( \begin{array}{cccc} (-1)^{i+j}C_0^0&0&\ldots&0\\ (-1)^{i+j}C_1^0&(-1)^{i+j}C_1^1&\ &\vdots\\ \vdots&\ &\ddots&\ \\ (-1)^{i+j}C_i^0&\ldots&\ &(-1)^{i+j}C_i^i \end{array}\right)$$

[venco]

serval в сообщении #247131 писал(а):

Решил причесать черновики. Собрал из кусков такую штуку, возможно кому-нибудь будет интересно: натуральное число $x$ в натуральной степени $y$ можно представить матричным уравнением

$$x^y=\vec{x}\ \hat{S_1}\hat{P}\ \vec{y}$$

где

$$\vec{x}=\left(x^0,x^1\ldots\\\ x^i\right)$$

$$\vec{y}=\left(\begin{array}{lll} 1^y\\2^y\\\vdots\\i^y \end{array}\right)$$

а матрицы операторов составлены: $S_1$ - числами Стирлинга 1-го рода отнесёнными к соответствующим факториалам (транспонированная), $P$ - биномиальными коэффициентами с необходимым учетом знака.
В явном виде выпишу немного позже.

А $i$ здесь - это что?

[serval]

Что-то я запутался с индексами. Сейчас разберусь и поправлю.

[venco]

Запишите ваши равенства явно для $y=2$, $i=1$.

-- Пт окт 02, 2009 11:02:26 --

И вообще, у вас размерности не сходятся:
$\vec x$ - $(i+1)$
$\hat{S_1}$ - $(i,i)$
$\hat{P}$ - $(i+1,i+1)$
$\vec{y}$ - $(i)$

[serval]

Пока я разбираюсь с индексами, возможно вам будет проще понять по листингу проверки равенства в "Maple 12". Тут $x=5, y=4$, таким образом, результат равен $625$.

restart;
with(combinat);
n := 5;
s1 := array(1 .. n, 1 .. n);
for i to n do
for j to n do
s1[i, j] := stirling1(i, j)/factorial(i-1)
end do
end do;
s1 := evalm(s1);
sm := convert(s1, Matrix);

C := array(1 .. n, 1 .. n);
for i to n do
for j to n do
C[i, j] := (-1)^(i+j)*binomial(i-1, j-1)
end do
end do;
C := evalm(C);
P := convert(C, Matrix);

with(LinearAlgebra);
S[1] := Transpose(sm);

f := proc (j) options operator, arrow; j^y end proc;
y := 4;
k := Vector(5, f);
Y := MatrixVectorMultiply(P, k);

F := proc (j) options operator, arrow; x^(j-1) end proc;
x := 5;
k := Vector[row](5, F);
X := VectorMatrixMultiply(k, S[1]);

Multiply(X, Y);

Можно просто вставить код в Maple и поиграть со значениями $x$ и $y$.

[venco]

Не, так я не хочу.
У меня Maple нет.

[serval]

Вы правы. Конечно

$$\vec{x}=\left(x^0,x^1\ldots\\\ x^{m-1}\right)$$ $$\vec{y}=\left(\begin{array}{lll} 1^y\\2^y\\\vdots\\m^y \end{array}\right)$$

и

$$S_1=\left( \begin{array}{cccc} s(1,1)&s(1,2)&\ldots&s(m,1)\\ 0&s(2,2)&\ldots&s(m,2)\\ \vdots&\ &\ddots&\vdots\\ 0&\ldots&\ &s(m,m) \end{array}\right)$$ $$P=\left( \begin{array}{cccc} (-1)^{i+j}C_0^0&0&\ldots&0\\ (-1)^{i+j}C_1^0&(-1)^{i+j}C_1^1&\ &\vdots\\ \vdots&\ &\ddots&\ \\ (-1)^{i+j}C_m^0&\ldots&\ &(-1)^{i+j}C_{m-1}^{m-1} \end{array}\right)$$

А для $m=1$ ничего интересного не будет. Просто получится произведение четырёх единиц (одна из которых - в квадрате:)
Давайте что-нибудь посложнее.

[venco]

serval в сообщении #248540 писал(а):

А для $m=1$ ничего интересного не будет. Просто получится произведение четырёх единиц (одна из которых - в квадрате:)

Вот именно. А дожно получиться $x$.

[serval]

Отчего же? От вектора $\vec{x}=\left(x^0,x^1\ldots\\\ x^{m-1}\right)$ останется лишь первый компонент $\vec{x}=\left(x^0\right)$, то есть - единица.

[venco]

Может я не понял, что вы имели в виду под:

Цитата:

натуральное число $x$ в натуральной степени $y$ можно представить матричным уравнением

$$x^y=\vec{x}\ \hat{S_1}\hat{P}\ \vec{y}$$

Теперь попробуйте посчитать $x^1$ таким образом. У вас получилось $x^1=1$, не так ли?

[serval]

Полагаем $m=1,\ y=2$.
Из вектора $\vec{x}=\left(x^0,x^1\ldots\\\ x^{m-1}\right)$ получаем вектор $\vec{x}=\left(x^0)$, поскольку последним (и единственным) компонентом вектора является $x^{1-1}$.
Вектор $\vec{y}=\left(\begin{array}{lll} 1^y\\2^y\\\vdots\\m^y \end{array}\right)$, при этом, примет вид $\vec{y}=\left(\begin{array}{lll} 1^2\end{array}\right)$, а матрицы будут содержать лишь по одному компоненту $S_1=(s(1,1))$ и $P=(C_0^0)$.
В результате получится $(x^0)(s(1,1))(C_0^0)(1^2)=x^0$.
Давайте я распишу что-нибудь содержательное. И пусть $x$ будет не равно $y$.

[venco]

serval, я не понимаю, о чём вы пишете.

Вот это:

Цитата:

натуральное число $x$ в натуральной степени $y$ можно представить матричным уравнением

$$x^y=\vec{x}\ \hat{S_1}\hat{P}\ \vec{y}$$

ваши слова.

Если подставить сюда $y=1$, то получается: $x^1 = (x^0)\hat S_1\hat P (1^1) = x^0$.
Я правильно подставил?