Точечная частица в ПТГ Мошинского

VladTK · 16/03/07 825

В прошлом году я уже представлял широкой публике свои взгляды на гравитацию. Данная тема является логическим продолжением прошлогоднего опуса.

Рассмотрим задачу движения точечной частицы в полевой теории гравитации (ПТГ) Мошинского. Следует заметить, что это пока единственный пример, позволяющий точно определить лагранжиан физической системы, взаимодействующей с гравитационным полем в этой теории. Функционал действия системы имеет вид (обозначения подобны Ландавшицу-2, пространство-время Минковского с метрическим тензором $\eta_{\mu \nu}$ )

$I = - m c \int ds - \int \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^3} T^{\mu \nu} \sqrt{-\eta} dV_4 \eqno (1)$

где m — масса частицы, $\varphi_{\mu \nu}$ - симметричный тензорный гравитационный потенциал, $T^{\mu \nu}$ - тензор энергии-импульса (ТЭИ) частицы с учетом гравитационного взаимодействия. ТЭИ частицы можно получить из действия I. Таким образом, мы имеем сложное замкнутое выражение для действия. Для его разрешения попробуем воспользоваться итерационной процедурой. В качестве начального приближения выберем действие свободной частицы в СТО

${}^{(0)} I = - m c \int ds \eqno (2)$

Перепишем (2) в виде интеграла по 4-объему

${}^{(0)}I = - \int \rho c ds dV_3 = - \int { \rho \frac {ds} {dt} } dV_4 \eqno (3)$

где $\rho$ — инвариантная плотность.

Проварьируем (3) по метрическому тензору $\eta_{\mu \nu}$

$\delta {}^{(0)} I = - \int { \rho \delta (ds) \frac {dV_4} {dt} } \eqno (4)$

Вариацию элемента интервала частицы найдем следующим способом

$\delta (ds^2) = 2 ds \delta (ds) = \delta (\eta_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}) = \delta \eta_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$

и следовательно

$\delta (ds) = \frac {1} {2} u^{\mu} u^{\nu} ds \delta \eta_{\mu \nu} \eqno (5)$

Вариация действия (4) равна

$\delta {}^{(0)} I = - \frac {1} {2} \int { \rho u^{\mu} u^{\nu} \frac {ds} {dt} \delta \eta_{\mu \nu} dV_4} \eqno (6)$

Сравнивая это выражение с определением метрического ТЭИ

$\delta I = - \frac {1} {2 c} \int { T^{\mu \nu} \delta \eta_{\mu \nu} \sqrt{-\eta} dV_4} \eqno (7)$

для тензора энергии-импульса точечной частицы получим известное выражение

${}^{(0)} T^{\mu \nu} = \frac {\rho c} {\sqrt{-\eta}} u^{\mu} u^{\nu} \frac {ds} {dt} \eqno (8)$

Подстановка (8) в (1) позволяет перейти к первому приближению

${}^{(1)} I = {}^{(0)} I - \int { \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^3} {}^{(0)} T^{\mu \nu} \sqrt{-\eta}} dV_4$

или

${}^{(1)} I = - m c \int { (1 + \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu}) } ds \eqno (9)$

Повторим итерацию. Из (9) найдем ТЭИ первого приближения. Для этого проварьируем (9) по метрическому тензору

$\delta {}^{(1)} I = - m c \int { \lbrace \delta (ds) + \delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} ds) \rbrace} \eqno (10)$

Вариация первого слагаемого под интегралом в (10) даст (8). Поэтому сразу перейдем к вариации второго слагаемого

$\delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} ds) = \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} \delta (u^{\mu} u^{\nu} ds) = \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} \lbrace \delta (u^{\mu}) u^{\nu} ds + u^{\mu} \delta (u^{\nu}) ds +u^{\mu} u^{\nu} \delta (ds) \rbrace$

или с учетом симметрии $\varphi_{\mu \nu}$

$\delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} ds) = \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} \lbrace 2 \delta (u^{\mu}) u^{\nu} ds +u^{\mu} u^{\nu} \delta (ds) \rbrace$

Вариацию 4-скорости найдем из ее определения

$\delta (u^{\mu}) = \delta (\frac {dx^{\mu}} {ds} ) = - \frac {dx^{\mu}} {ds^2}} \delta (ds) = - u^{\mu} \frac {\delta (ds)} {ds} = - \frac {u^{\mu}} {2} u^{\alpha} u^{\beta} \delta \eta_{\alpha \beta} \eqno (11)$

Отсюда

$\delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu}) = - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} u^{\alpha} u^{\beta} \delta \eta_{\alpha \beta} \eqno (12)$

и

$\delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} ds) = - \frac 12 \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} u^{\alpha} u^{\beta} ds \delta \eta_{\alpha \beta}$

Тогда (10) можно переписать

$\delta {}^{(1)} I = - \frac {m c} {2} \int u^{\alpha} u^{\beta} \lbrace 1 - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} \rbrace \delta \eta_{\alpha \beta} ds$

Перепишем эту вариацию через 4-мерный интеграл

$\delta {}^{(1)} I = - \frac {1} {2} \int \rho u^{\alpha} u^{\beta} \frac {ds} {dt} \lbrace 1 - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} \rbrace \delta \eta_{\alpha \beta} dV_4$

и сравнивая с (7) найдем ТЭИ в первом приближении

${}^{(1)} T^{\mu \nu} = \frac {\rho c} {\sqrt{-\eta}} u^{\mu} u^{\nu} \frac {ds} {dt} \lbrace 1 - \frac {\varphi_{\alpha \beta}} {c^2} u^{\alpha} u^{\beta} \rbrace \eqno (13)$

Отсюда действие во втором приближении будет равно

${}^{(2)} I = - m c \int (1 + \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} - \lbrace \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} \rbrace^2 ) ds \eqno (14)$

Аналогично можно проверить, что действие и в последующих приближениях будет представлять собой интеграл от некоторой функции переменной

$y=\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu} \eqno (15)$

Т.е.

$I = - m c \int F(y) ds \eqno (16)$

Чтобы определить эту функцию, найдем следующий из нее ТЭИ. Перепишем (16) в виде 4-мерного интеграла и проварьируем по метрическому тензору

$\delta I = - \int \rho \delta (ds F) \frac {dV_4} {dt} = - \int \rho \lbrace \frac {dF} {dy} ds \delta (y) + \delta (ds) F \rbrace \frac {dV_4} {dt}$

С учетом (12) имеем

$\delta (y) = - y u^{\alpha} u^{\beta} \delta \eta_{\alpha %beta}$

Окончательно

$\delta I = - \frac {1} {2} \int \rho u^{\alpha} u^{\beta} \frac {ds} {dt} \lbrace F - 2 y \frac {dF} {dy} \rbrace \delta \eta_{\alpha \beta} dV_4$

Отсюда

$T^{\mu \nu} = \frac {\rho c} {\sqrt{-\eta}} u^{\mu} u^{\nu} \frac {ds} {dt} \lbrace F - 2 y \frac {dF} {dy} \rbrace \eqno (18)$

Подставим (18) в (1)

$I = - m c \int \lbrace 1 + y (F - 2 y \frac {dF} {dy}) \rbrace ds \eqno (19)$

Из сравнения (19) и (16) следует уравнение для F

$2 y^2 \frac {dF} {dy} + (1 - y) F = 1$

при условии $F(0) = 1$

Решение выражается через дополнительную функцию ошибок

$F(y) = 1 + \sqrt{\frac {\pi y} {2}} exp(\frac{1} {2y}) erfc(\frac {1} {\sqrt{2 y}}) \eqno (20)$

Получим уравнения движения, соответствующие действию (16). Для этого проварьируем (16) по 4-вектору частицы $x^{\mu}$

$\delta I = - m c \int \lbrace \frac {dF} {dy} ds \delta (y) + \delta (ds) F \rbrace ds \eqno (21)$

Вариацию элемента интервала найдем способом, изложенным в Ландавшице-2

$\delta (ds^2) = 2 ds \delta (ds) = \delta (\eta_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}) = \frac {\partial \eta_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} \delta x^{\alpha} dx^{\mu} dx^{\nu} + 2 \eta_{\mu \nu} d \delta (x^{\mu}) dx^{\nu}$

Отсюда

$\delta (ds) = \frac {1} {2} \frac {\partial \eta_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} u^{\mu} u^{\nu} \delta x^{\alpha} ds + \eta_{\mu \nu} u^{\nu} d \delta (x^{\mu}) \eqno (22)$

Далее вычислим вариацию $y$

$\delta (y) = \delta (\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu}) = \frac {1} {c^2} \frac {\partial \varphi_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} u^{\mu} u^{\nu} \delta x^{\alpha} + \frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \delta (u^{\mu}) u^{\nu}$

Вариацию 4-скорости найдем из ее определения

$\delta (dx^{\mu}) = \delta (u^{\mu} ds) = \delta (u^{\mu}) ds + \delta (ds) u^{\mu}$

Отсюда следует

$\delta (u^{\mu})= \frac {\delta (dx^{\mu})} {ds} - u^{\mu} \frac {\delta (ds)} {ds} \eqno (23)$

Подставив все это в вариацию действия и проведя интегрирование по частям, получим искомые уравнения движения

$\frac {d} {ds} [ 2 \frac {\varphi_{\alpha \beta}} {c^2} u^{\beta} \frac {dF} {dy} + \eta_{\alpha \beta} u^{\beta} ( F - 2 y \frac {dF} {dy} ) ] - [\frac {1} {c^2} \frac {\partial \varphi_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} \frac {dF} {dy} + \frac {1} {2} \frac {\partial \eta_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} ( F - 2 y \frac {dF} {dy}) ] u^{\mu} u^{\nu} = 0 \eqno (24)$

Munin · 30/01/06 72407

VladTK писал(а):

В прошлом году я уже представлял широкой публике свои взгляды на гравитацию. Данная тема является логическим продолжением прошлогоднего опуса.

Посмотрел. Я там опозорился, когда не смог ввести гравитацию в уравнения типа Максвелла. Щас глянул. Лагранжиан в гравитационном поле выглядит как $\Lambda\sqrt{-g}$ (ЛЛ-2 94.1) при лагранжиане без гравитации $\Lambda.$ Я про это забыл (или не знал). Отсюда очевидно, как гравитация влияет на массивное векторное поле.

Идеологически моя позиция остаётся прежней: рассмотрение точечной частицы приятно, но недостаточно. Для указания действия гравитации на произвольное поле придётся ввести некоторое общее правило типа ковариантной производной.

VladTK · 16/03/07 825

Цитата:

...Лагранжиан в гравитационном поле выглядит как $\Lambda \sqrt{-g}$ (ЛЛ-2 94.1) при лагранжиане без гравитации $\Lambda$ ...

Кстати, интересно проследить как возникает данный детерминант в PGT (Poincare Gauge Theory). Обычно калибровочную инвариантность понимают как "удлинение" ковариантной производной теории, а тут вот...

Цитата:

...Идеологически моя позиция остаётся прежней: рассмотрение точечной частицы приятно, но недостаточно. Для указания действия гравитации на произвольное поле придётся ввести некоторое общее правило типа ковариантной производной.

А я этим рассмотрением не ограничился. В прошлогодней теме показано как действует гравитационное поле в ПТГ Мошинского на произвольное поле. Для нахождения лагранжиана, например, того же электромагнитного поля требуется в общем случае решить некоторое (выписанное в прошлой теме) уравнение в частных производных. Мне пришлось для этой цели слегка "улучшить" определение метрического ТЭИ.

Ваше замечание о невыполнении принципа эквивалентности оказалось в общем верным. Действительно, принцип эквивалентности понимаемый как отождествление гравитации и метрики выполняется лишь в ОТО. Но та же эквивалентность масс справедлива и в других разрабатываемых мною моделях гравитации, включая ПТГ Мошинского.

Munin · 30/01/06 72407

VladTK в сообщении #161789 писал(а):

Обычно калибровочную инвариантность понимают как "удлинение" ковариантной производной теории, а тут вот...

Всё просто. Действие - это интеграл от лагранжиана, то есть в лагранжиан заложена мера, характеризующая единицу объёма. В калибровочных преобразованиях на расслоении, типичных для HEP, объём сохраняется, поэтому преобразование проявляется только в правилах дифференцирования. А здесь меняется ещё и объём. Если вместо произвольных преобразований координат ограничиться теми, которые сохраняют объём, то $\sqrt{-g}=\mathrm{const}.$

VladTK в сообщении #161789 писал(а):

А я этим рассмотрением не ограничился. В прошлогодней теме показано как действует гравитационное поле в ПТГ Мошинского на произвольное поле. Для нахождения лагранжиана, например, того же электромагнитного поля требуется в общем случае решить некоторое (выписанное в прошлой теме) уравнение в частных производных.

Перескажите идею двумя словами.

VladTK в сообщении #161789 писал(а):

Ваше замечание о невыполнении принципа эквивалентности оказалось в общем верным. Действительно, принцип эквивалентности понимаемый как отождествление гравитации и метрики выполняется лишь в ОТО. Но та же эквивалентность масс справедлива и в других разрабатываемых мною моделях гравитации, включая ПТГ Мошинского.

Тогда вам надо тщательней разобраться с экспериментальными данными о гравитации. Например, то же отклонение лучей света Солнцем говорит о более сильной эквивалентности, чем эквивалентность масс. И роняние фотона в башне - тоже. Это всё может зарезать вашу теорию.

VladTK · 16/03/07 825

Цитата:

Всё просто...

Вы подсмотрели ответ

На самом деле, свободная теория в PGT формулируется в пространстве-времени Минковского с калибровочными преобразованиями НЕ ЯВЛЯЮЩИМИСЯ координатными преобразованиями пространства-времени Минковского и понять почему детерминант метрики преобразуется таким образом весьма не просто (по крайней мере так было для меня). И лишь когда локализация глобальной симметрии проведена, теория требует геометрической переформулировки в рамках пространства-времени Римана-Картана и именно тогда приходит понимание - что же мы собственно получили с детерминантом (а получили как раз то что Вы написали).

Цитата:

Перескажите идею двумя словами.

В двух не получится. ПТГ Мошинского строится на трех аксиомах:

1) Гравитационное поле описывается симметричным тензорным потенциалом $\varphi_{\mu \nu}$ в пространстве-времени Минковского

2) Принцип "универсальности" - лагранжианом взаимодействия с гравитационным полем является лагранжиан Мошинского (1950)

$L_{int} = - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} T^{\mu \nu} \eqno (25)$

Подразумевается, что подобным образом гравитационное поле взаимодействует как с другими полями, так и с самим собой.

3) Принцип "минимальности" - в отсутствие "самодействия" через лагранжиан Мошинского (25) гравитационное поле является свободным и описывается лагранжианом Паули-Фирца (1939)

${}^{(0)} L_{G} = \frac {1} {4} \lbrace - D_{\pi} \varphi_{\mu \nu} D^{\pi} \varphi^{\mu \nu} + D_{\nu} \varphi_{\pi \mu} D^{\pi} \varphi^{\mu \nu} + D_{\mu} \varphi_{\nu \pi} D^{\pi} \varphi^{\mu \nu} - D_{\nu} \varphi^{\pi \nu} D_{\pi} \varphi^{\mu}_{\mu} - D_{\nu} \varphi^{\nu \pi} D_{\pi} \varphi^{\mu}_{\mu} + D_{\pi} \varphi_{\mu}^{\mu} D^{\pi} \varphi_{\nu}^{\nu} \rbrace \eqno (26)$

Пусть в отсутствие взаимодействия с гравитационным полем остальные поля описываются лагранжианом (Стандартная Модель) ${}^{(0)} L_{M}$ . Таким образом, "свободная" теория описывается лагранжианом

${}^{(0)} L = {}^{(0)} L_{M} + {}^{(0)} L_{G} \eqno (27)$

Тогда полный лагранжиан системы будет иметь вид

$L = {}^{(0)} L_{M} + {}^{(0)} L_{G} - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} T^{\mu \nu} \eqno (28)$

Далее следует черед разобраться с ТЭИ $T^{\mu \nu}$ . По определению метрического ТЭИ

$T^{\mu \nu} = - \frac {2} {\sqrt{-\eta}} \frac {\delta (\sqrt{-\eta} L)} {\delta \eta_{\mu \nu}} \eqno (29)$

Мне пришлось это стандартное определение, правда, серьезно переработать, но это сейчас несущественно. Подставим (29) в (28) и перейдем к лагранжевым плотностям (обозначены буквами N). Тут и получим то уравнение о котором я говорил ранее

$- \frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \frac {\delta N} {\delta \eta_{\mu \nu} } + N = {}^{(0)} N \eqno (30)$

Если вспомнить определение вариационной производной, то это уравнение примет вид уравнения в частных производных по метрике Минковского и ее производным по координатам (или символам Кристоффеля). Задавая конкретный вид свободного лагранжиана мы можем решить это уравнение и получить искомый "одетый" лагранжиан.

Цитата:

Тогда вам надо тщательней разобраться с экспериментальными данными о гравитации. Например, то же отклонение лучей света Солнцем говорит о более сильной эквивалентности, чем эквивалентность масс. И роняние фотона в башне - тоже. Это всё может зарезать вашу теорию

Насколько я понимаю, речь идет о классических тестах ОТО. Чуть позже я постараюсь показать, что тут Ваши опасения напрасны

AlexNew · 28/06/08 1706

VladTK прошу прощения за глупый вопрос, но чем рассматриваемая теория выделяется из класса полевых теорий гравитаций?

Munin · 30/01/06 72407

VladTK в сообщении #162037 писал(а):

2) Принцип "универсальности" - лагранжианом взаимодействия с гравитационным полем является лагранжиан Мошинского (1950)

$L_{int} = - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} T^{\mu \nu} \eqno (25)$

А откуда он такой взялся?

VladTK в сообщении #162037 писал(а):

Подставим (29) в (28) и перейдем к лагранжевым плотностям (обозначены буквами N).

Что это такое?

VladTK в сообщении #162037 писал(а):

Насколько я понимаю, речь идет о классических тестах ОТО.

Ну да, классических. Правда, их список постоянно растёт, вот недавно вырос на Hulse-Taylor pulsar и GP-B.

VladTK в сообщении #162037 писал(а):

Чуть позже я постараюсь показать, что тут Ваши опасения напрасны

Какова идея?

И ещё, если всё так чётко расписано, то почему вдруг

VladTK в сообщении #161668 писал(а):

Следует заметить, что это пока единственный пример, позволяющий точно определить лагранжиан физической системы, взаимодействующей с гравитационным полем в этой теории.

?

Добавлено спустя 4 минуты 11 секунд:

AlexNew в сообщении #162169 писал(а):

VladTK прошу прощения за глупый вопрос, но чем рассматриваемая теория выделяется из класса полевых теорий гравитаций?

А зачем ей выделяться? Одно то, что она не режется сразу на какой-нибудь лаже, уже повод её рассмотреть.

VladTK · 16/03/07 825

Цитата:

VladTK прошу прощения за глупый вопрос, но чем рассматриваемая теория выделяется из класса полевых теорий гравитаций?

Цитата:

А откуда он такой взялся?

Отвечу сразу на оба вопроса, поскольку они взаимосвязаны. Ваш вопрос AlexNew совсем не глупый.

Во-первых, принцип эквивалентности в форме равенства масс проверен с высокой точностью. А этот принцип позволяет выдвинуть гипотезу, что источником гравитации является ТЭИ. Само это утверждение возможно математически реализовать двумя способами.

Чтобы стало понятней обратимся к электродинамике. Здесь вместо принципа эквивалентности действует утверждение - "принцип эквивалентности" электродинамики: источником электромагнитного поля является 4-вектор тока $j_{\mu}$ . Лагранжиан взаимодействия

$L_{int} = - \frac {e} {c} j_{\mu} A^{\mu}$

Если сюда добавить лагранжиан самого электромагнитного поля то мы получим замкнутую теорию. Из полного лагранжиана следуют уравнения Максвелла

$D_{\nu} F^{\mu \nu} = - \frac {4 \pi} {c} j^{\mu}$

и наоборот. Обе эти реализации "принципа эквивалентности" электродинамики через лагранжиан взаимодействия и через уравнения поля эквивалентны, благодаря отсутствию самодействия электромагнитного поля. Но в гравитации эта эквивалентность формулировок не выполняется! Можно строить теорию либо постулировав уравнения поля типа Максвелловских и получить ОТО, либо постулировать лагранжиан взаимодействия Мошинского.

Во-вторых, анализ проведенный в предшествующих работах показывает, что в отличие от той же ОТО ПТГ Мошинского является скорее всего несингулярной теорией. Это означает, что если мы задаем несингулярные начальные/граничные условия, то решение задачи будет также несингулярным во времени и пространстве. Это дает основание говорить об отсутствии в ПТГ Мошинского черных дыр и других подобных "неприятных" сюрпризов ОТО.

В-третьих, теория обладает высокой степенью инвариантности (например ТЭИ остается калибровочно-инвариантным после гравитационного "одевания" в отличие от ОТО).

В-четвертых, есть надежда, что данная теория перенормируема в квантовой формулировке. Но это пока лишь слабая надежда.

Цитата:

Что это такое?

Лагранжева плотность

$N = \sqrt{-\eta} L$

Цитата:

Ну да, классических. Правда, их список постоянно растёт, вот недавно вырос на Hulse-Taylor pulsar и GP-B.

Это хорошо, что список растет. Особенно с фактами для сильных полей. Будет возможность провести селекцию.

Цитата:

Какова идея?

Основная идея заключается в совпадении ОТО и ПТГ Мошинского в первом пост-Ньютоновском порядке по $\frac {\varphi} {c^2}$ . Поэтому большинство классических тестов ОТО ПТГ Мошинского также проходит.

Вообще ОТО может быть также сформулирована как полевая теория с тремя аксиомами. Причем различаются аксиомы ПТГ Мошинского и ОТО только во втором пункте.

Цитата:

И ещё, если всё так чётко расписано, то почему вдруг ...

Математическая сложность теории. Взгляните на лагранжиан точечной частицы (20). А если, например, попробовать найти лагранжиан электромагнитного поля с гравитацией, то там просто становится недостаточно современных спецфункций. А это не самый сложный лагранжиан.

VladTK · 16/03/07 825

Я обещал показать выполнение классических тестов ОТО в ПТГ Мошинского (ПТГМ). Основная идея заключается, как я уже писал, в совпадении ОТО и ПТГМ в первом пост-Ньютоновском приближении. Для этого сформулирую полевую форму ОТО для той же точечной частицы. В прошлогодней теме я показал, что переход от лагранжиана свободной теории к лагранжиану с гравитацией (я называю это гравитационным "одеванием", в том или ином виде такой процесс происходит в любой полевой теории) выполняется здесь под действием гравитационного оператора вида

$\hat F = \exp(\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} ) \eqno (31)$

Свободное действие точечной частицы указано в (2). Получим "одетое" действие с помощью (31)

$I = \exp(\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} ) (- m c) \int ds$

или с учетом определения элемента интервала

$I = - m c \exp(\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \frac {\delta} {\delta \eta_{\mu \nu}} ) \int \sqrt{\eta_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}$

Действие операторной экспоненты сводится к замене в лагранжиане метрического тензора пространства-времени Минковского на сумму метрического тензора и удвоенного (кстати, эта двойка и является причиной удвоения угла отклонения луча света вблизи Солнца по отношению к результату Ньютоновской гравитации) гравитационного потенциала

$I = - m c \int \sqrt{ (\eta_{\mu \nu}+\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2}) dx^{\mu} dx^{\nu}}$

или

$I = - m c \int \sqrt{1+\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu}} ds \eqno (32)$

Отсюда видно, что функцией F для ОТО является

$F(y) = \sqrt{1+2 y} \eqno (33)$

Геометризуем теорию. Тогда частица движется свободно в некотором Римановом пространстве-времени с метрикой

$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + \frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} \eqno (34)$

и ее действие равно

$I = - m c \int ds_g \eqno (35)$

где через $ds_g$ обозначен элемент интервала в пространстве-времени Римана. Из сравнения (32) и (35) следует

$ds_g = \sqrt{1+\frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} u^{\mu} u^{\nu}} ds = F(y) ds \eqno (36)$

Отсюда для Римановой 4-скорости

$u^{\mu}_g = \frac {dx^{\mu}} {ds_g} = \frac {u^{\mu}} {F} \eqno (37)$

Из (33) следует

$F - 2 y \frac {dF} {dy} = \frac {dF} {dy} = \frac {1} {F} \eqno (38)$

Тогда уравнение движения частицы (24) перепишется в виде

$\frac {d} {ds} [ (\eta_{\alpha \beta} + \frac {2 \varphi_{\alpha \beta}} {c^2} ) u^{\beta} \frac {dF} {dy}] - \frac {1} {2} \frac {\partial} {\partial x^{\alpha}} (\eta_{\mu \nu} + \frac {2 \varphi_{\mu \nu}} {c^2} ) \frac {dF} {dy} u^{\mu} u^{\nu} = 0$

Перейдем в этом уравнении к переменным Риманового пространства-времени. Получим

$\frac {d} {ds_g} [ g_{\alpha \beta} u^{\beta}_g] - \frac {1} {2} \frac {\partial g_{\mu \nu}} {\partial x^{\alpha}} u^{\mu}_g u^{\nu}_g = 0 \eqno (39)$

Это общеизвестное уравнение геодезических линий Риманового пространства — времени. Для ПТГМ представить уравнение движения точечной частицы как уравнение геодезической некоторого пространства-времени (Риманового или еще какого) не удается. То же самое
получается и для других полей: скалярного и электромагнитного. Другими словами, ПТГМ в отличие от ОТО не метризуема.

Разложим (33) в ряд по y

$F(y) = 1 + y -\frac {y^2} {2} + \frac {y^3} {2} + \cdots \eqno (40)$

и также (20)

$F(y) = 1 + y - y^2 + 3 y^3 + \cdots \eqno (41)$

Как было показано, например, в статье Тирринга (1961) классические эффекты ОТО (красное смещение, отклонение луча света вблизи солнечного края, задержка времени сигнала) можно воспроизвести уже в линейном по y порядке полевого подхода к ОТО. Исключение составляет смещение перигелия Меркурия, для которого получается 4/3 от ОТО. Для перигелия требуется знать точное решение (типа решения Шварцшильда). Так как первые два члена лагранжианов ОТО и ПТГМ совпадают, то это обеспечивает выполнимость большинства классических тестов и в ПТГМ.

Munin · 30/01/06 72407

VladTK в сообщении #162190 писал(а):

Основная идея заключается в совпадении ОТО и ПТГ Мошинского в первом пост-Ньютоновском порядке

А гравитационное излучение идёт в каком порядке?

VladTK в сообщении #162190 писал(а):

А если, например, попробовать найти лагранжиан электромагнитного поля с гравитацией, то там просто становится недостаточно современных спецфункций. А это не самый сложный лагранжиан.

Вообще не понимаю, зачем в лагранжиане спецфункции. Кроме того, вам никто не мешает вводить свои собственные, достаточно указать ряд для них.

VladTK в сообщении #162600 писал(а):

Действие операторной экспоненты сводится к замене в лагранжиане метрического тензора пространства-времени Минковского на сумму метрического тензора и удвоенного (кстати, эта двойка и является причиной удвоения угла отклонения луча света вблизи Солнца по отношению к результату Ньютоновской гравитации) гравитационного потенциала

Я об этой двойке думал, что она другая двойка. Покажите, что она играет именно эту роль, пожалуйста.

VladTK в сообщении #162600 писал(а):

Для ПТГМ представить уравнение движения точечной частицы как уравнение геодезической некоторого пространства-времени (Риманового или еще какого) не удается.

А переопределением гравитационного потенциала? И ещё, что-то я засомневался, у вас выписанное решение $F(y)$ удовлетворяет начальным условиям?

VladTK в сообщении #162600 писал(а):

Как было показано, например, в статье Тирринга (1961) классические эффекты ОТО (красное смещение, отклонение луча света вблизи солнечного края, задержка времени сигнала) можно воспроизвести уже в линейном по y порядке полевого подхода к ОТО.

Ну, со времён статьи Тирринга ещё несколько тестов появилось, в том числе с излучением.

И наконец, главный вопрос. Почему вы с этой темой выступаете в этом подфоруме? Вы рассчитываете найти здесь способную оценить ваши результаты публику? Почему не в http://dxdy.ru/fizika-f2.html , на научных форумах, семинарах, в конце концов, просто в публикациях?

VladTK · 16/03/07 825

Цитата:

А гравитационное излучение идёт в каком порядке?

Интересный вопрос. Традиционный ответ в 2,5-ом пост-Ньютоновском (или $\frac {1} {c^5}$ ). Но вот попытался Вам ответить и понял, что вкладываю в термин "пост-Ньютоновский" не тот смысл, который ему традиционно приписывается. Фактически, я понимаю под "порядком" не степень $\frac {1} {c^2}$ , а степень $\frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2}$ , что совсем не одно и тоже. Исключение составляет первый пост-Ньютоновский порядок, в котором смысл этих степеней действительно не отличается. Но когда я говорю, что теории совпадают в первом порядке - это фактически означает, что они совпадают не только в первом, но частично и в более высоких пост-Ньютоновских порядках. Назову этот свой "порядок" гравитационным, чтобы не путать с пост-Ньютоновским. Ответить в каком гравитационном порядке появляется излучение я сразу затрудняюсь.

Цитата:

Вообще не понимаю, зачем в лагранжиане спецфункции...

А куда от них денешься? Они естественно возникают в ПТГМ.

Цитата:

...Кроме того, вам никто не мешает вводить свои собственные, достаточно указать ряд для них.

Не мешает, но проводить математическое исследование неизвестной функции - не простая для меня задача. Собственно, необходимо исследовать поведение экспоненциально-эллиптических функций

$f(x,A_4,A_3,A_2,A_1,A_0,b) = \int_{0}^{x} \exp{(-b t)} \sqrt{A_4 t^4+A_3 t^3+A_2 t^2+A_1 t+A_0} dt \eqno (42)$

Эти функции отчасти обладают свойствами эллиптических функций, но в некоторых моментах от них сильно отличаются. Я только начал их исследование.

Цитата:

Я об этой двойке думал, что она другая двойка. Покажите, что она играет именно эту роль, пожалуйста.

Да, Вы правы. Перепроверил старые формулы. Это другая двойка. Она идет из свертки гравитационного потенциала с ТЭИ электромагнитного поля

${}^{(1)} L = {}^{(0)} L - \frac {\varphi_{\mu \nu}} {c^2} {}^{(0)} T^{\mu \nu} \eqno (43)$

Это первый шаг итерации, общий для всех моделей. Для гравитационного поля в Ньютоновском приближении справедливо представление

$\varphi_{\mu \nu} = \varphi_N \delta_{\mu \nu} \eqno (44)$

где $\varphi_N$ - Ньютоновский потенциал, $\delta_{\mu \nu}$ - единичный тензор. Это представление следует из уравнений поля в нулевом приближении. Если в (43) подставить (44) и свернуть то возникнет двойная электромагнитная энергия. Отсюда следует "двойная масса" фотона если считать по Ньютону угол отклонения луча света вблизи Солнца.

Цитата:

А переопределением гравитационного потенциала?...

Каким? В ПТГМ (как и в ОТО) имеются калибровочные преобразования, но они не отражаются на уравнении движения точечной частицы. Кстати, расспишу подробно эти самые калибровочные преобразования. Пусть гравитационный потенциал представим в виде

$\varphi_{\mu \nu} = D_{\mu} a_{\nu}+D_{\nu} a_{\mu} \eqno (45)$

где $a_{\mu}$ -произвольное гладкое векторное поле. Тогда лагранжиан ПТГМ (28) имеет вид

$L = {}^{(0)} L - \frac {D_{\mu} a_{\nu}+D_{\nu} a_{\mu}} {c^2} T^{\mu \nu} \eqno (46)$

С учетом сохранения ТЭИ

$D_{\nu}T^{\mu \nu}= 0$

(46) можно переписать в виде

$L = {}^{(0)} L - D_{\mu} (\frac {2 a_{\nu}} {c^2} T^{\mu \nu})$

и таким образом как и в ОТО калибровочные преобразования (45) не меняет динамику системы. В ОТО, где калибровочные преобразования (45) при геометризации превращаются в инфинитизимальные общекоординатные преобразования метрики, $T^{\mu \nu}$ оказывается некалибровочно-инвариантным и следовательно необщековариантным. В ПТГМ $T^{\mu \nu}$ остается калибровочно-инвариантным и каких-либо проблем не возникает (правда геометризации тоже).

Цитата:

...И ещё, что-то я засомневался, у вас выписанное решение $F(y)$ удовлетворяет начальным условиям?

Вас наверно смутила кажущаяся сингулярность в нуле $F(y)$ . Но ее там нет как показывает формула разложения $F(y)$ в ряд вблизи нуля (41). При получении (41) я использовал ассимптотическое разложение дополнительной функции ошибок для большого аргумента из справочника Абрамовиц, Стиган.

Цитата:

Ну, со времён статьи Тирринга ещё несколько тестов появилось, в том числе с излучением...

Для расчета таких эффектов требуется знать гравитационный потенциал более точно чем в Ньютоновском случае (44). Этим я и занят в настоящее время.

Цитата:

...И наконец, главный вопрос. Почему вы с этой темой выступаете в этом подфоруме? Вы рассчитываете найти здесь способную оценить ваши результаты публику? Почему не в http://dxdy.ru/fizika-f2.html , на научных форумах, семинарах, в конце концов, просто в публикациях?

Не понял почему этот вопрос главный. И разве этот форум плох, чтобы изложить свои взгляды? Тем более как Вы понимаете они отдают "махровой альтернативностью". На форуме http://dxdy.ru/fizika-f2.html я никогда не был, поэтому не знаю стоит ли мне туда обращаться. Что касается выступлений где-либо, публикаций и т.д. то боюсь это мне не по силам. Я не профессионал и теоретической физикой занимаюсь как хобби. Мне не нужны ни звания, ни известность. Максимум, чего я хочу, так это "заразить" своими идеями кого-нить из науки.

Munin · 30/01/06 72407