ananova писал(а):
Учитывая, что Вы легко рассказали, что:

То я хотел понять - нет ли у Вас "туза в рукаве" и показать, что

(или одно из чисел:

или

) не может содержать
простой делитель больше чем n.
Похоже, по абсолютно объективным причинам, такого "туза в рукаве" для меня нет
Такого - нет.
Я это писал, пытаясь объяснить
KORIOLA, что в равенстве

число

не может делиться на

, но, похоже, он не понял. Дело в том, что если

делится на

, то, разумеется,

делится на

.
Напомню, предполагается, что числа

,

,

попарно взаимно простые.
Что

не делится на

, доказывается так. Обозначим

. Тогда

и, по формуле бинома Ньютона,
Заметим, что числа

и

взаимно простые, так как взаимно просты числа

и

, поэтому любой общий делитель чисел

и

является общим делителем

и

.
При доказательстве теоремы Ферма достаточно ограничиться случаем простого

(и

, но этот случай здесь не рассматриваем, так как его элементарное доказательство было известно ещё самому Ферма). Тогда возможны два случая.
1)

не делится на

. Тогда числа

и

не делятся на

и, по доказанному, не имеют общих делителей, то есть, взаимно просты. Отсюда следует, что число

не делится на

, поэтому

не делится на

.
2)

делится на

. Пусть

является наибольшей степенью числа

, на которую делится

. Тогда

делится на

и не делится на бóльшую степень

.
Известна теорема, что при простом

все биномиальные коэффициенты

делятся на

(это очень легко увидеть из формулы

, в которой числитель содержит

в качестве множителя, а знаменатель при

не содержит множителя

).
Поэтому в сумме
все слагаемые, кроме последнего, делятся на

. Если бы

не делилось на

, то и вся сумма не делилась бы на

, но тогда и число
не делилось бы на

. Так как мы рассматриваем случай, когда

делится на

, то

обязано делиться на

. Тогда в сумме
все слагаемые, кроме первого, делятся на

, а первое делится на

, но не делится на

, так как

по условию взаимно просто с

и не делится на

. Отсюда следует, что вся сумма, то есть, число

, делится на

и не делится на

.
Так как

делится на

, то отсюда получается, что

делится на

и, в частности, на

, так как

и

и, следовательно,

.
Поскольку

делится на

, а

не делится, то

не делится на

, поэтому

не делится

.
Таким образом, во всех случаях

делится на

, но не делится на

, и тем более не делится на

.
Интересно,
KORIOLA в этих рассуждениях что-нибудь понял? Если не понял, то с каким же багажом он взялся доказывать теорему Ферма?