2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.
 
 
Сообщение17.11.2008, 23:00 
Аватара пользователя


27/11/06
141
Москва
ananova в сообщении #159269 писал(а):
Полагая, что ВТФ справедлива, следует ли из этого что А не делится на C-B?


Нет, конечно. Как могут делиться друг-на друга несуществующие числа? Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 08:06 


23/01/07
3497
Новосибирск
Автор в конце своего доказательства вопрошает, как Евклид мог получить формулу:
$ A^n = (\frac{A^n+1}{2})^2-(\frac{A^n-1}{2})^2 $, если автор получил ее на основе строгих математических выкладок?
За Евклида ответить не могу, но у меня получилось следующее:
$  (\frac{A^n+1}{2})^2-(\frac{A^n-1}{2})^2 = \frac{A^{2n}+2A^n + 1 -A^{2n} + 2A^n - 1}{4} = \frac{4A^n}{4} = A^n $.

Причем на месте $A^n$ может быть любое число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 17:20 


03/10/06
826
Батороев в сообщении #159365 писал(а):
Причем на месте может быть любое число.

Любые числа A и n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5492
Нов-ск
Сомик писал(а):
Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.
Почему не существует таких чисел?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 17:49 
Аватара пользователя


27/11/06
141
Москва
TOTAL в сообщении #159521 писал(а):
Почему не существует таких чисел?


Потому, что Уайлс доказал, что не существует натуральных чисел $A$, $B$, $C$ и $n > 2$ для которых это уравнение выполняется. :lol:
В чем вопрос -то ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 17:49 


03/10/06
826
TOTAL писал(а):
Сомик писал(а):
Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.
Почему не существует таких чисел?

Если говорить вообще о любых числах, то существуют. Берём для одной переменной число нуль.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 17:57 
Аватара пользователя


27/11/06
141
Москва
yk2ru в сообщении #159539 писал(а):
Если говорить вообще о любых числах, то существуют. Берём для одной переменной число нуль.


Гениально! :lol:
Просто открыли мне глаза на суть вещей. :roll:
Давайте больше не мусолить эту тему...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 20:02 


15/12/05
754
Цитата:
Нет, конечно. Как могут делиться друг-на друга несуществующие числа? Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.


Действительно, я имел ввиду гипотетическое решение!

Читаю, читаю литературу и нахожу много противоречий даже в опубликованных книгах. Поэтому и задал уточняющий вопрос.

Автор данной темы KORIOLA сетует, что не хотят публиковать его четыре или пять доказательств - не принимают "светила науки".

{KORIOLA, сейчас в продаже находится несколько книг, которых не стоило бы и публиковать.
Эти книги продают за рубли и выпущены не знаю каким тиражом. Так что - кто хочет, то своего добьется. Но нужно ли их было публиковать. Вот в чем вопрос}

В одной из этих книг автор (могу дать ссылки) утверждает, что у Уайлса он нашел ошибки и он доказал, что возможно решение реальное, а не гипотетическое, при очень больших значениях A,B,C. Бред полнейший.

В другой книге автор приводит 13 или больше трудностей в решении проблемы Ферма и типа каждая из этих трудностей, подтверждаеющая сложность решения, и является доказательством, что теорема справедлива.

Т.е. трудности являются подтверждением справедливости. Замечательные доводы - можем вместе посмеяться.

В книжке Рибенбойма я нашел два результата и доказательства, что если существует гипотетическое решение в уравнении Ферма $A^n = B^n + C^n$, то легко доказать, что $A^n = B^n + C^n$ делится на (B+C), но (B+C) не делит A, C этим я тоже согласен.

В этой теме промелькнуло, что если существует решение $A^n = B^n + C^n$,, то оно делится на (С-B), но A не делится на (С-B). Как бы это вскользь затронуто (типа нет доказательства строгого). Ещё есть в книжках доказательство, что C+B взаимнопросто с C-B, если существует гипотетическое решение $A^3 = B^3 + C^3$,. Вот это меня запутало, видимо слишком много прочитал. Получается что гипотетическое решение $A^n = B^n + C^n$, делится на (C+B) и (C-B)???? похоже где-то тут я туплю исходя из всех приведенных рассуждений ;( Должно быть либо то - либо другое.

Наши предки также доказали лет 100-150 назад, что НОД($B^n - C^n$)/($B - C$), ($B - C$))=НОД (n,($B - C$))=n

Эта замечательная "каша" по-моему, является хорошей головоломкой, поэтому я и задал наводящий вопрос, чтобы узнать разные мнения или ещё больше запутать меня.

Если на мои проблемы есть у Вас ответы, то можно перенести их в отдельную тему: "Условия делимости теоремы Ферма" или прошу не закрывать эту тему - продолжить дискуссию на тему делимости.

Под каждый приведенный тут абзац я могу дать уточняющую ссылку на абзацы в печатных первоисточниках, чтобы удостоверится что я тут не развожу понты, а на самом деле распутываю логику результатов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 11:40 


15/12/05
754
ananova в сообщении #159596 писал(а):
В этой теме промелькнуло, что если существует решение $A^n = B^n + C^n$,, то оно делится на (С-B), но A не делится на (С-B). Как бы это вскользь затронуто (типа нет доказательства строгого). Ещё есть в книжках доказательство, что C+B взаимнопросто с C-B, если существует гипотетическое решение $A^3 = B^3 + C^3$,.


Остановлюсь подробней на последнем... См. Рибенбойм. "Последняя теореме Ферма для любителей (МИР, 2003 г.) см. страницу 38 о доказательстве частного случая для n=3.
"Предположим, что x, y,z - отличные от нуля попарно взаимно простые целые числа, такие, что $x^3 + y^3 + z^3 = 0$. ... $x,y$ нечетны, а $z$ - четно. ...... Так как числа $x+y, x-y$ четны, существуют целые a и b, такие, что $2a= x + y, 2b = x-y$. Отсюда $x = a + b, y = a-b$ и, следовательно, a, b ≠ 0, НОД(a, b) = 1, причем a и b имеют различную четность.

Легко видеть, что справедлива цепочка равенств
$-z^3 = x^3 + y^3  = (a+b)^3 + (a-b)^3 = 2a(a^2+3b^2).$


....

Делаю заключение - $a$ делит $x^3 + y^3 + z^3 = 0$, так как $a$ делит $z^3$. Из условия $2a = x+y$, следует $(x+y)$ делит $z^3$. Учитывая, что НОД (a,b)=1, то $(x+y)$ взаимнопросто с $(x-y)$.

Выполняю сравнение $-z^3  = 2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3 \equiv\p 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом, следует, что: $(x-y)$ не делит нацело $z^3$? Или такое сравнение допустимо (т.е. является моим пробелом в теории чисел)?

[В этой теме есть противоположные результаты, к которым у меня нет замечаний.]

Чтобы разобраться и выстроить цепочку логических результатов, хотел бы получить Ваш комментарий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ananova в сообщении #159820 писал(а):
Выполняю сравнение $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3 \equiv\p 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом, следует, что: $(x-y)$ не делит нацело $z^3$?

Из сравнения делимость не следует.5 сравнимо с 17 по модулю 3, но отсюда не следует, что 17 делится на 5. Или 5 на 17.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 14:15 


15/12/05
754
shwedka в сообщении #159829 писал(а):
Из сравнения делимость не следует.5 сравнимо с 17 по модулю 3, но отсюда не следует, что 17 делится на 5. Или 5 на 17.


Ваш пример мне понятен. Из сравнения по модулю 3 или b, не следует что 17 делится на 5 и наоборот.

Попробую уточнить что я не так или так понимаю:
Я понимаю так: куб может быть сравним с кубом: $(2*3)^3=2^33^3$. А тут куб сравнивается с кубом умноженным на 2. Какой вывод?
Я делаю вывод, что $2b=x-y$ не делит $z^3$

Может какой-то контрпример есть простой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ananova в сообщении #159850 писал(а):
Я делаю вывод, что $b=x-y$ не делит $z^3$
делать можно какой угодно вывод, но без доказательтва этот вывод у вас и останется. попробуйте Ваш вывод доказать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 15:06 


15/12/05
754
shwedka в сообщении #159852 писал(а):
делать можно какой угодно вывод, но без доказательтва этот вывод у вас и останется. попробуйте Ваш вывод доказать.


Допустим я не докажу это и принимаю обратное, то что здесь в теме было указано - доказанный факт, что (x-y) в случае существования гипотетического решения - делит $z^3$.

Тогда имеем два факта: (x+y) делит $z^3$ и $z^3$ делится на (x-y).

При этом x+y взаимнопросто c x-y. Я тут ничего не напутал?

Добавлено спустя 38 минут 3 секунды:

shwedka в сообщении #159852 писал(а):
попробуйте Ваш вывод доказать.


Я понимаю что глупо тут приводить нижеследующее доказательство, т.к. с моей позиции - оно подходит для этого, а с Вашей скорей всего нет. Но тем не менее:

Если произведение двух взаимно простых натуральных чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью:

$ab = c^n$; НОД(a; b) = 1; a, b I N

Доказать: $a = x^n; b = y^n$

Доказательство: Если разложить $c^n$ на простые множители, то: $c^n = d1 * … * d1 * d2 * … *d2*dm*... *dm$ , где каждого множителя по n. Если же разложить на простые множители числа $a$ и $b$, то какие-то из чисел $d1 … dm$ уйдут к a, какие-то – к b, причём одинаковые уйти и туда, и туда не могут в силу того, что НОД(a; b) = 1, т. е. $a$ есть произведение n-х степеней неких простых чисел, и b также – произведение n-х степеней каких-то чисел, следовательно: $a = x^n$; $b = y^n$.

Если сравнивать $a = x^n$ и $b = 2*y^n$ по модулю $c$, то:
если число $c$ делит $y$, то оно делит и x, однако у нас $x$ и $y$ взаимнопростые.

Таким образом, мой вывод, что $(x-y)$ не может делить $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
ananova в сообщении #159820 писал(а):
то $(x+y)$ взаимнопросто с $(x-y)$


Неверно. $\text{НОД}(x+y,x-y)=2$.
ananova в сообщении #159820 писал(а):
Выполняю сравнение $-z^3=2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3\equiv 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом


Здесь опечатка: должно быть $-z^3\equiv 2a^3\pmod{b}$.
Кроме того, неизвестно, является число $2$ кубом по модулю $b$ или не является. Это зависит от конкретного $b$.

ananova в сообщении #159857 писал(а):
Тогда имеем два факта: (x+y) делит $z^3$ и $z^3$ делится на (x-y).


Откуда вообще взялось утверждение о делимости $z^3$ на $x-y$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 10:22 


15/12/05
754
Someone в сообщении #159992 писал(а):
Неверно. $\text{НОД}(x+y,x-y)=2$.


Да, согласен. $\text{НОД}((x+y)/2,(x-y)/2)=1$ Мысли убежали дальше, в результате - нестыковка рассуждений.

Someone в сообщении #159992 писал(а):
Здесь опечатка: должно быть $-z^3\equiv 2a^3\pmod{b}$.
Кроме того, неизвестно, является число $2$ кубом по модулю $b$ или не является. Это зависит от конкретного $b$.


Если разделим $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)=2a^3+6ab^2$ на b, при взаимнопростых $a$ и $b$, получается: $-z^3$ может делиться на $b=(x-y)/2$. Готов признать - при x-y=2 - проявляется незавершенность моих рассуждений и явные белые пятна.


Someone в сообщении #159992 писал(а):
Откуда вообще взялось утверждение о делимости $z^3$ на $x-y$?


Видимо в этом комментарии и есть то, что может распутать мои рассуждения. Действительно

Someone в сообщении #158011 писал(а):
Я рассмотрю случай простого $n>2$, числа $A$, $B$, $C$ предполагаются попарно взаимно простыми.
$$A^n=C^n-B^n=(C-B)\frac{C^n-B^n}{C-B}=(C-B)(C^{n-1}+C^{n-2}B+C^{n-3}B^2+\ldots+B^{n-1})$$


Вот моя ошибка: я смешал Ваше рассуждение и свое. То есть, если в Вашем вместо $A$ подставить $X$, вместо $C$ подставить $Z$, а вместо $B$ подставим $Y$, то я, каюсь, сделал неверный вывод, что: $X^3$ делится на $Z-Y$ в случае гипотетического решения. На самом деле, Вы показали, что такой результат нельзя получить. Мое ошибочное рассуждение, что $-Z^3$ не делится на $X-Y$ фактически коррелирует с Вашим правильным доказательством этого факта (в случае существования гипотетического решения). Одно верно: $Z^n$ должно делиться на $(X+Y)$, т.е. $(X+Y)$ содержит множители $Z^n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group