Разумеется можно было использовать вещественное представление.
Я не знаю причём тут алгебра Клиффорда, но есть мнение, что комплексные числа в квантовой механике по следущей математической причине: любая стохастическая матрица может быть превращена в унистохастическую путём искусственного увеличения размерности, но не может быть, вообще говоря, превращена в ортостохастическую. То есть вещественных чисел недостаточно для унитарности. А комплексных достаточно.