Локализация частиц и их энергии в квантовой механике

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1731027 писал(а):

Разумеется можно было использовать вещественное представление.

Я не знаю причём тут алгебра Клиффорда, но есть мнение, что комплексные числа в квантовой механике по следущей математической причине: любая стохастическая матрица может быть превращена в унистохастическую путём искусственного увеличения размерности, но не может быть, вообще говоря, превращена в ортостохастическую. То есть вещественных чисел недостаточно для унитарности. А комплексных достаточно.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1731029 писал(а):

То есть вещественных чисел недостаточно для унитарности. А комплексных достаточно.

Но унитарность эволюции - следствие линейности квантовой механики над полем комплексных чисел. Квантовые состояния в разные моменты времени можно тензорно объединить в одно общее состояние, и должна сохраниться суперпозиция.

Не думаю, что стоит вообще упоминать тут про замену комплексной линейности в квантовой механике чем-то другим пока не продемонстрировано, как она будет эквивалентна стандартным представлениям. Слишком фундаментальное свойство теории.

[SergeyGubanov]

Унитарность есть следствие выбора комплексного представления генераторов соответствующей алгебры. Можно было выбрать вещественное представление. Исторически выбрали комплексное.

В частности, матрицы Паули с мнимой единицей в $\sigma_{y}$ реализуют комплексное представление соответствующей алгебры Клиффорда.

Если вы видите что что-то где-то сделано из матриц Паули, на матрицах Паули едет и матрицами Паули погоняет (вы ж тут сами недавно спин вверх, спин вниз крутили), то это скорее всего можно эквивалентно переформулировать в терминах генераторов алгебры Клиффорда соответствующей размерности.

Вобщем, у меня для вас есть две пилюли - синяя и красная. Примете синию и продолжите дальше строить у себя на коленке хитро вывернутые квантовые механики для электрона на основе Фейнмановских амплитуд или чего угодно другого. Примите красную - и узнаете почему оно у вас вообще работает и при чём тут алгебра Клиффорда, но назад пути уже не будет.

(Красная пилюля)

Единственной причиной по которой эти ваши квантовые механики для электрона работают или не работают является то, эквивалентны ли они во глубине своей математической души уравнению Шрёдингера или нет.

Единственной причиной по которой уравнение Шрёдингера для электрона работает является то, что оно является нерелятивистским пределом уравнения Дирака.

А то что уравнение Дирака работает для электрона - это лишь верхушка айсберга.

Там в глубине более сложное поле состоящее из левого электрона, правого электрона, левого нейтрино и правого нейтрино. Они взаимодействуют друг с другом посредством электрослабых калибровочных бозонов связностей на генераторах алгебры Клиффорда из коммутаторов которых образуется соответствующая алгебра Ли соответствующего расслоения над многообразием пространства событий.

We need to go deeper...

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1731048 писал(а):

Если вы видите что что-то где-то сделано из матриц Паули, на матрицах Паули едет и матрицами Паули погоняет ... то это скорее всего можно эквивалентно переформулировать в терминах генераторов алгебры Клиффорда соответствующей размерности.

Этого крайне недостаточно для объявления эквивалентности этого всего известным представлениям квантовой механике в целом.

Квазиклассика и интегралы по траекториям тоже важнейшие инструменты квантов. Во что они превращаются без комплексной фазы?

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1731054 писал(а):

Во что они превращаются без комплексной фазы?

Грубо говоря заменяете мнимую единицу на матрицу квадрат которой равен минус единице, потом доводите до кондиции напильником.

Ну, и я не призываю так делать, лишь указываю, что использование комплексных чисел является всего лишь следствием выбора комплексного представления соответствующей алгебры.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1731058 писал(а):

Грубо говоря заменяете мнимую единицу на матрицу квадрат которой равен минус единице, потом доводите до кондиции напильником.

Как после этого формулируется условие комплексной линейности?

[warlock66613]

realeugene, вы совершенно правы: одному экземпляру квантовой системы можно и нужно приписывать определённую волновую функцию. Но не в эксперименте типа эксперимента с двумя щелями, тут это совершенно излишне и только запутывает. А вот в статфизике это исключительно полезно.

[Lehastyi]

Если , как утверждается, в двухщелевом эксперименте электрон может проходить через одну из щелей как точечный шарик и пускай он регистрируется на экране скажем в месте расположения одной из дальних от центра боковых полос , то получается ,что электрон испустился источником, прошел через щель и тут он отклонился в сторону и полетел на экран. Но для отклонения траектории электрона нужна какая то сила, воздействие, чтоб отклонить его в сторону. В обычном понимании , если за щелями не "наблюдают", то у электрона нет классической траектории, он "волной" проходит через обе щели, интерферирует сам с собою и регистрируется на экране в какой либо полосе. Тут все понятно. А вот с проходом через одну щель...

[warlock66613]

Lehastyi в сообщении #1731125 писал(а):

Но для отклонения траектории электрона нужна какая то сила, воздействие, чтоб отклонить его в сторону.

Это было бы верно, если бы электрон был классической частицей и его движение подчинялось бы какому-либо закону, кроме статистических закономерностей. В частности чему-то вроде первого закона Ньютона "частица на которую ничего не действует движется по прямой траектории". Но такого закона может вообще не быть и даже если он есть, он совсем не обязательно включает в себя первый закон Ньютона.

[pppppppo_98]

warlock66613 в сообщении #1731029 писал(а):

Я не знаю причём тут алгебра Клиффорда, но есть мнение,

этого никто не знает - но больно словочочетнание красивое... Комплексные числа в квантовой механтике появились с самой пионерской работы Шредингера. Почему не знаю - видимо из волн материи из дисера де Бройля. Алгебры клифоорда и прочая - это все потом

[SergeyGubanov]

pppppppo_98 в сообщении #1731208 писал(а):

warlock66613 в сообщении #1731029 писал(а):

Я не знаю причём тут алгебра Клиффорда, но есть мнение,

этого никто не знает - но больно словочочетнание красивое...

Вот прям никто. Ага. А попробуйте следующий промпт: "Алиса расскажи мне пожалуйста про связь антикоммутирующих фермионых операторы рождения и уничтожения $a^{\dag}_{n}$, $a_{n}$ с генераторами алгебры Клиффорда и гамма матрицами Дирака. Приведи пожалуйста пример вещественного представления гамма матриц размером 8*8, соответствующих им фермионных операторов рождения и уничтожения, а так же напиши пожалуйста их связи друг с другом в явном виде."

[warlock66613]

SergeyGubanov, ну а уравнение Шрёдингера-то тут причём? Не то, которое из уравнения Дирака получается, а скажем для волнового функционала.

[SergeyGubanov]

Я говорю только про уравнение Шрёдингера для электрона. Оно работает. И оно работает только потому, что является нерелятивистским пределом теории поля Дирака для unified поля электрона и нейтрино. Собственно, с того момента как теоретической физике стала известна теория поля потребность в конструировании нетрадиционной механики отпала.

Довольно понятно, что найдётся мало желающих мастерить нетрадиционную механику движения фотона в то время как известна теория поля Максвелла. Но мне не понятно почему всё ещё находятся желающие мастерить нетрадиционную механику движения электрона в то время как известна теория поля Дирака.

Что касается обобщения уравнения Шрёдингера на случай "квантования" полей, то я не знаю. Логика в духе того, что если оно сработало при "квантовании" механики электрона, значит оно должно сработать и при "квантовании" теории поля, ну так себе, особенно если знать, почему же именно оно сработало для электрона.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1731214 писал(а):

теории поля Дирака

Таки квантовой теории поля Дирака. Это большая разница как бы.

SergeyGubanov в сообщении #1731214 писал(а):

особенно если знать, почему же именно оно сработало для электрона

Так может не поэтому сработало? Особенно если вспомнить, что оно применимо и к частицам без спина, и к частицам с целым спином, лишь бы масса была не нулевая чтобы нерелятивистский предел был. И даже к квазичастицам применимо, у которых никакого уравнения Дирака и в помине нет.

Кроме того, уравнение Дирака похоже на уравнение Шрёдингера исключительно потому, что первое — по сути случайно — имеет первую производную по времени. Плюс линейность, в итоге уравнение для поля становится уравнением для амплитуды. А вот с Клейном — Гордоном уже не так и уравнение поля совсем не похоже на предел для нерелятивистских квантов. И это опять же мы рассматриваем одночастичный сектор. Двухчастичное уравнение Шрёдингера выглядит сильно иначе, а получается из всё того же уравнения Дирака, которое по-прежнему похоже на одночастичное уравнение Шрёдингера. Учитывая всё это, схожесть уравнения Шрёдингера для электрона с уравнением Дирака выглядит случайностью.

Ну и квантовать можно почти любую систему. Ну вот взять гармонический осциллятор. Квантуем (например, деформационным квантованием) — получаем (после преобразования Вигнера — Вейля) уравнение Шрёдингера. Спрашивается, где гармонический осциллятор и где алгебра Клиффорда? Нет, комплексные числа заложены в деформационное квантование, но они понятно откуда берутся: из условия эрмитовости деформированного произведения. Также преобразование Вигнера — Вейля делает "комплексную магию". Но ведь это просто преобразование, квантовая механика уже есть и до этого преобразования, просто в другой форме — без уравнения Шрёдингера и без гильбертова пространства.

Ещё можно вспомнить такую штуку, как конструкция Гельфанда — Наймарка — Сигала (GNS). По сути она говорит, что если есть $C^*$-алгебра, то автоматически есть и комплексное гильбертово пространство. И опять же, никакой алгебры Клиффорда.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1731210 писал(а):

Приведи пожалуйста пример вещественного представления гамма матриц размером 8*8, соответствующих им фермионных операторов рождения и уничтожения, а так же напиши пожалуйста их связи друг с другом в явном виде."

Спросите её ещё во что превращается правило Борна в таком представлении?