Локализация частиц и их энергии в квантовой механике

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1731216 писал(а):

Двухчастичное уравнение Шрёдингера выглядит сильно иначе, а получается из всё того же уравнения Дирака, которое по-прежнему похоже на одночастичное уравнение Шрёдингера. Учитывая всё это, схожесть уравнения Шрёдингера для электрона с уравнением Дирака выглядит случайностью.

Начнём с этого.

Низкоэнергетический Лагранжиан двух электронной теории поля для атома гелия:

$$ \mathcal{L}_{He} = \mathcal{L}_{\psi_{1}} + \mathcal{L}_{\psi_{2}} + \mathcal{L}_{A}, $$

$$ \mathcal{L}_{\psi_{1}} = \frac{1}{2} \left( \bar{\psi}_{1} \gamma^\mu \left( \nabla_{\mu} \psi_{1} \right) - \left( \nabla_{\mu} \bar{\psi}_{1} \right) \gamma^\mu \psi_{1} \right) - m \bar{\psi}_{1} \psi_{1}, $$

$$ \mathcal{L}_{\psi_{2}} = \frac{1}{2} \left( \bar{\psi}_{2} \gamma^\mu \left( \nabla_{\mu} \psi_{2} \right) - \left( \nabla_{\mu} \bar{\psi}_{2} \right) \gamma^\mu \psi_{2} \right) - m \bar{\psi}_{2} \psi_{2}, $$

$$ \mathcal{L}_{A} = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}. $$

Вот это и есть современная теоретическая физика, в то время как двух электронная волновая функция Шрёдингера $\Psi(t, {\bf r}_{1}, {\bf r}_{2})$ - это что-то из древних сказок про эпициклы Птолемея и плоскую Землю на трёх китах.

Да, ещё одна мелочь, на которую можно сразу ответить: алгебра Клиффорда, она же алгебра гамма матриц Дирака, она же алгебра фермионных операторов рождения-уничтожения, разумеется есть только там где есть фермионные поля.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1731246 писал(а):

Вот это и есть современная теоретическая физика

А где в ней ядро атома?

[warlock66613]

SergeyGubanov, у вас в лагранжиане два электронных поля? Это же полная чушь. А ядро действительно пропало (оно, кстати, бозон). И по-прежнему непонятно, вы о квантовой теории поля говорите или о классической? Если вы ваш "низкоэнергетический" лагранжиан будете квантовать, там позитроны полезут.

SergeyGubanov в сообщении #1731246 писал(а):

в то время как двух электронная волновая функция Шрёдингера $\Psi(t, {\bf r}_{1}, {\bf r}_{2})$ - это что-то из древних сказок про эпициклы Птолемея и плоскую Землю на трёх китах

Вообще-то это учебная задача: получить двухчастичное уравнение Шрёдингера без потенциала из квантовой теории свободного поля. (Потенциал же, я считаю, идейно правильно получать через $S$-матрицу.)

SergeyGubanov в сообщении #1731246 писал(а):

алгебра Клиффорда, она же алгебра гамма матриц Дирака, она же алгебра фермионных операторов рождения-уничтожения, разумеется есть только там где есть фермионные поля

Ну а квантовая механика -- это универсальный фреймворк, применимый к широкому кругу физических систем, в том числе к тем, где нет ни фермионов, ни полей.

[amon]

SergeyGubanov в сообщении #1731246 писал(а):

Вот это и есть современная теоретическая физика

Это точно. Осталось решить эту систему на компьютере и отправить полученную чушь в Phis. Rev. A. Вы забыли написать взаимодействие поля с током, взаимодействие электронов с ядрами и взаимодействие ядер.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1731248 писал(а):

SergeyGubanov, у вас в лагранжиане два электронных поля? Это же полная чушь.

Сначала одно.

$$ \psi = \psi_{1} a_{1} + \psi_{2} a_{2}, $$

$$ \bar{\psi} = \bar{\psi}_{1} a^{\dag}_{1} + \bar{\psi}_{2} a^{\dag}_{2}, $$

$$ \mathcal{L}_{\psi} = \frac{1}{2} \left( \bar{\psi} \gamma^{\mu} \left( \nabla_{\mu} \psi \right) - \left( \nabla_{\mu} \bar{\psi} \right) \gamma^{\mu} \psi \right) - m \bar{\psi} \psi, $$

$$ \left| 1, 1 \right\rangle = a^{\dag}_{1} a^{\dag}_{2} \left| 0, 0 \right\rangle, $$

$$ \left\langle 1, 1 \right| \mathcal{L}_{\psi} \left| 1, 1 \right\rangle = \mathcal{L}_{\psi_{1}} + \mathcal{L}_{\psi_{2}}. $$

Упс, а теперь их уже два:

$$ \mathcal{L}_{\psi_{1}} = \frac{1}{2} \left( \bar{\psi}_{1} \gamma^{\mu} \left( \nabla_{\mu} \psi_{1} \right) - \left( \nabla_{\mu} \bar{\psi}_{1} \right) \gamma^{\mu} \psi_{1} \right) - m \bar{\psi}_{1} \psi_{1}, $$

$$ \mathcal{L}_{\psi_{2}} = \frac{1}{2} \left( \bar{\psi}_{2} \gamma^{\mu} \left( \nabla_{\mu} \psi_{2} \right) - \left( \nabla_{\mu} \bar{\psi}_{2} \right) \gamma^{\mu} \psi_{2} \right) - m \bar{\psi}_{2} \psi_{2}. $$

Взаимодействие друг с другом и с ядром скрыто внутри ковариантной производной $\nabla_{\mu}$.

Конкретно в этом приближении ядро учитывается как внешнее поле $A^{\sf Nuc}_{\mu}$:

$$ \mathcal{A}_{\mu} = A_{\mu} + A^{\sf Nuc}_{\mu}. $$

Разумеется можно усложнить модель добавив в динамику ещё и ядро.

[warlock66613]

Ладно, это, видимо, двухмодовое приближение с зависящими от времени модами. И с не зависящими от времени операторами рождения/уничтожения. То есть мы считаем основное состояние. Пока больше ничего не понял.

[warlock66613]

По-моему это не будет работать. Во-первых меня смущает нет ли в уравнениях самодействия электронов. Наверно, с этим можно бороться, но это неприятно. Во-вторых пара электронов, вообще говоря, запутана. И в основном состоянии гелия тоже. А тут нет. Вроде бы для расчёта энергии разница небольшая, но концептуально приближение неадекватно. И я не понимаю как искать неосновные состояния. То есть я могу придумать процедуру, потому что я ещё помню кое-что про приближение независимых частиц и Хартри — Фока, а тут что-то очень похожее, но обосновать её применение в этой модели я не вижу возможности.

-- добавлено через 40 минут --

Ещё меня сильно смущают позитроны. Как бы они всё не испортили совсем.

[SergeyGubanov]

Это в механике самодействия нет. В теории поля самодействие на самодействии едет и самодействием погоняет. В том числе гравитационное самодействие.

Ну, и, довольно понятно, что таким незамысловатым способом можно получить уравнения теории поля для системы из $N$-фермионов.

[warlock66613]

Ещё появилось такое подозрение, что решать эти уравнения надо в грассмановых переменных. Это может заодно поправить некоторые проблемы, которые упоминались выше.

-- добавлено через 28 минут --

SergeyGubanov в сообщении #1731346 писал(а):

Ну, и, довольно понятно, что таким незамысловатым способом можно получить уравнения теории поля для системы из $N$-фермионов.

Это конечно полезно, если нужны полные уравнения Максвелла, учёт излучения волн, лоренц-инвариантность. Но чаще всего они не нужны и обычная квантовая механика гораздо проще и эффективнее.

[pppppppo_98]

warlock66613 в сообщении #1731347 писал(а):

Ещё появилось такое подозрение, что решать эти уравнения надо в грассмановых переменных.

Поде этих слов - я навечно перехожу в ряды симпатиков... В метро чуть не упал пацтул

[warlock66613]

Поразмышляв над этим методом ещё, я пришёл к такому выводу: 1) обменное взаимодействие потеряно, 2) грассмановы переменные не помогут его вернуть и при любом разумном подходе мы получаем уравнения в обычных числах (в частности использовать тут когерентные фермионные состояния противоположное от разумного), 3) обменное взаимодействие при таком подходе потеряно очень качественно, вернуть его непросто, если вообще возможно.

[SergeyGubanov]

Едва ли стоит грустить из-за такой "потери".

Поля $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ взаимодействуют друг с другом через поле $\mathcal{A}_{\mu}$.

В приближении среднего поля Хартри-Фока-Дирака поле $\mathcal{A}_{\mu}$ "изымается из обращения". Вместо $\mathcal{A}_{\mu}$ в уравнения вставляют два интеграла от $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$: кулоновский интеграл и обменный интеграл.

В данном же случае, поле $\mathcal{A}_{\mu}$ "из обращения не изымается", задача решается точно, а не в приближении среднего поля.

В этом смысле обменный интеграл конечно теряется (как и кулоновский), но это такая потеря, которую хочется иметь.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1731403 писал(а):

как и кулоновский

Да нет, кулоновский как раз не теряется. Потому что его можно описать через классическое поле $\mathcal A_{\mu}$, он там незримо сидит. А вот обменный нет, он пропал, потому что классическим полем его нельзя описать.

SergeyGubanov в сообщении #1731403 писал(а):

задача решается точно, а не в приближении среднего поля

Не знаю что вы имеете в виду под приближением среднего поля, но в известном смысле это оно и есть: поле $\mathcal A_\mu$ именно что среднее, потому что оно классическое.

-- добавлено через 12 минут --

Гугл подсказывает что можно сохранить обменное взаимодействие, если использовать идею метода Хартри -- Фока -- Боголюбова.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1731406 писал(а):

Гугл подсказывает что можно сохранить обменное взаимодействие, если использовать идею метода Хартри -- Фока -- Боголюбова.

Можете пояснить?

Я спросил у гугла, он мне пошёл рассказывать про усреднение по состоянию с 2 электронами и без электронов (что бы это ни значило):

$$ \left| \Psi \right\rangle = u \left| 1, 1 \right\rangle_{\psi} + v \left| 0, 0 \right\rangle_{\psi}, \quad |u|^2 + |v|^2 = 1. $$

Это вроде что-то не то. Зато таким боголюбовским способом можно квантованный фотон добавить дополнительно к классическому полю $A_{\mu}$. Для того чтобы в "усреднённом" лагранжиане появились члены взаимодействия между полями $\psi_{1}$, $\psi_{2}$ и квантованным фотоном надо "усредниться" по состоянию в котором 0 фотонов и 1 фотон (опять же, что бы это ни значило):

$$ \left| \mathcal{A} \right\rangle = u \left| 1 \right\rangle_{A} + v \left| 0 \right\rangle_{A}, \quad |u|^2 + |v|^2 = 1. $$

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1731418 писал(а):

Можете пояснить?

Боголюбов в итоге оказался не при чём. В общем, идея в том, чтобы добавить обменный ток (на этот раз нагуглилось название ток Фока/Кона-Шэма) $\(j^{\mu}_{12}(x) \sim \bar{\psi}_1(x) \gamma^\mu \psi_2(x)\)$. Он должен скомпенсировать самодействие электронов и добавить обменное взаимодействие.

(В методе ХФБ тоже третий ток есть как я понимаю, но не тот.)

-- добавлено через 10 минут --

Ага, этот обменный ток надо не добавлять к реальным. Его надо сделать источником отдельного поля и это поле учесть "перекрёстным образом": в уравнении для $\psi_1$ использовать $\psi_2$ вместо "своей" волновой функции и наоборот.