2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 
Сообщение07.01.2009, 13:33 


20/03/08
421
Минск
Профессор Снэйп писал(а):
Свободный Художник писал(а):
Так что арифметика рациональных чисел вполне может рассматриваться как раздел Computer Science :)

Думаю, к этому выводу можно было прийти и более простыми средствами :)

Это не вывод, а просто сопутствующее замечание. :)
Определенная выше система $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ позволяет записывать в виде первопорядковых предложений те утверждения о системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, которые касаются манипуляций со строками $\varphi$ в алфавите $\{V, H\}$.
Например, следующее вспомогательное утверждение о связи операций $\blacksquare$ арифметического и $\square$ гармонического средних, которое понадобиться при дальнейшем обсуждении.

Утверждение касается связи значений операций $\blacksquare$ и $\square$, вычисленных на концах интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$:
$\forall \varphi \forall \psi \{\,[\varphi(1) = \psi(0) \,\blacksquare\, \psi(\infty)] \,\Rightarrow\, [\varphi(0) = \psi(0) \,\square\, \psi(\infty)]\, \}$.

По поводу “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”:
Свободный Художник писал(а):
Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число $x$ при своем “возникновении”.
Например, для $x = 1/3$ ассоциированный интервал будет $(0, 1/2)$; для $x = 4/7$ – интервал $(1/2, 3/5)$; для $x = 5/1$ – интервал $(4/1, \infty)$ и т. д.

Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть $\varphi$ будет произвольной строкой из символов $V$ и $H$ и пусть выражение $\varphi(x)$ будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций $V$ и $H$; например, выражение $VHV(x)$ будет обозначать терм $V(H(V(x))$.
Каждому положительному рациональному числу $x$ соответствует единственная строка $\varphi$, определяемая из соотношения $x = \varphi(1)$. Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то число $x$ возникает на $n$ - ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$, которые и определяют “интервал $(\varphi(0), \varphi(\infty))$, ассоциированный с данным положительным рациональным числом $x$”.

При вычислении выражений $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$ можно использовать следующие соотношения:
$H(0) = 1, H(\infty) = \infty, V(0) = 0, V(\infty) = 1.$

juna писал(а):
О дереве Штерна-Брока написано также в "Конкретной математике", и пока мы почти не выходим за пределы описанного там. Мне бы было интересно построить это дерево на все $\mathbb Q$.

juna, на Ваше предложение я чуть позже отвечу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 19:11 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
О дереве Штерна-Брока написано также в "Конкретной математике", и пока мы почти не выходим за пределы описанного там. Мне бы было интересно построить это дерево на все $\mathbb Q$.

Меня Stern-Brocot Tree интересует как один из способов построения рациональных точек проективной шкалы. Примерно в том духе, как описано у Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971, сс. 271 – 290.
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/angeometry.htm

Рисунок с первыми шагами построения этой шкалы можно посмотреть здесь:
http://lib.e-science.ru/book/143/page/279.html
(качество, правда, неважное). При построении шкалы стартуют с тройки точек $0, 1, \infty $. Поэтому меня и интересуют те “законы роста” для Stern-Brocot Tree, о которых я писал выше, ибо каждый такой закон представляет собой построение новой точки шкалы при помощи тернарной операции “построения 4-ой гармонической к данной тройке чисел”. Самая первая такая “данная тройка чисел” – это тройка $0, 1, \infty $.
Поскольку в проективной шкале строятся и отрицательные рациональные числа, то я не вижу принципиальных трудностей для обобщения Дерева на все $\mathbb Q$.
По-видимому, это будут два дерева. Одно для положительных, а другое – для отрицательных чисел. Т. е. небольшой такой лес. :)

Добавлено спустя 12 минут 9 секунд:

Кстати говоря, материал по Дереву имеется и здесь:
М. Айгнер, Г. Циглер.
Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, сс. 106 -- 110.
http://dxdy.ru/topic7433-30.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Свободный Художник в сообщении #174852 писал(а):
Поскольку в проективной шкале строятся и отрицательные рациональные числа, то я не вижу принципиальных трудностей для обобщения Дерева на все .
По-видимому, это будут два дерева. Одно для положительных, а другое – для отрицательных чисел. Т. е. небольшой такой лес.

Мой интерес связан с установлением на множетсве $\mathbb Q$ не совсем естественного порядка. см.
http://dxdy.ru/topic18777.html
http://dxdy.ru/topic7682.html
Пусть $a$ предшествует $b$, если $\frac{-1}{a}<\frac{-1}{b}$.
Из этого определения следует, что положительные числа предшествуют отрицательным, т.е. в некотором смысле $0$ - самое минимальное число, $-1$ - самое максимальное.
Если принять это определение, то при построении дерева Штерна-Брока не будет никакого леса:
$\frac{0}{1}------------------------\frac{1}{-1}$
$\frac{0}{1}------------\frac{1}{0}-----------\frac{1}{-1}$
$\frac{0}{1}-----\frac{1}{1}------\frac{1}{0}------\frac{2}{-1}----\frac{1}{-1}$
$\frac{0}{1}--\frac{1}{2}--\frac{1}{1}---\frac{2}{1}--\frac{1}{0}---\frac{3}{-1}--\frac{2}{-1}--\frac{3}{-2}-\frac{1}{-1}$
и т.д.
Таким образом, слева восстанавливается стандартное дерево Штерна-Брока для $\mathbb Q^+$, а справа получаем его для $\mathbb Q^-$, но с дырами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 23:51 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Пусть $a$ предшествует $b$, если $\frac{-1}{a}<\frac{-1}{b}$.
Из этого определения следует, что положительные числа предшествуют отрицательным, т.е. в некотором смысле $0$ - самое минимальное число, $-1$ - самое максимальное.
Если принять это определение, то при построении дерева Штерна-Брока не будет никакого леса:

Да, интересное упорядочение. Я подумаю. Одна мысль по его поводу вертится, но сегодня поздно уже.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Интересного пока мало потому, что правая половина с дырами. Лучше стандартное построение на трех листах
$\frac{-1}{0}---\frac{0}{1}---\frac{1}{0}$
или нестандартное, но тоже на трех листах:
$\frac{0}{1}---\frac{1}{-1}---\frac{0}{-1}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2009, 11:29 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
juna писал(а):
О дереве Штерна-Брока написано также в "Конкретной математике", и пока мы почти не выходим за пределы описанного там. Мне бы было интересно построить это дерево на все $\mathbb Q$.

Кстати говоря, материал по Дереву имеется и здесь:
М. Айгнер, Г. Циглер.
Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, сс. 106 -- 110.
http://dxdy.ru/topic7433-30.html

Вообще, с деревьями хорошо бы не запутаться.
Например, в “Конкретной математике”:
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики, М., Мир, 1998
на с. 141 в качестве Stern-Brocot Tree приведено то же самое дерево, что и по ссылкам:
http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html
http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml
http://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree

Тогда как у М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, на с. 106 в контексте обсуждения одной работы Мориса Абрахама Штерна приведено уже другое дерево.
Понятно, что оба эти дерева (в “Конкретной математике” и у Айгнера) тесно связаны друг с другом, но все же это – разные деревья.
Чтобы различать их, я предлагаю называть то дерево, что у Айгнера – “поверхностным”, поскольку оно самым непосредственным образом индуцируется операторами $V$ и $H$:
Свободный Художник писал(а):
Свободный Художник в сообщении #144875 писал(а):
Например, для $\mathbf{Q^+}$ являются справедливыми, очевидно, следующие два утверждения:
(1) Существует элемент, удовлетворяющий условию $\overline{x} = x$;
(2) Такой элемент единственен.
Положив этому элементу естественное имя 1, мы можем определить две двойственные друг по отношению к другу унарные операции: $H(x) = x \bullet 1$ и $V(x) = x \circ 1$.
Затем при помощи этих двух унарных операций H и V, примененных в различных комбинациях к 1, мы, как можно показать, можем получить все положительные рациональныечисла, причем разным комбинациям будут соответствовать разные числа.
Например, $V(H(H(1))) = 3/4$

Кстати говоря, система с двумя унарными операциями $V$ и $H$, основанная на системе $\mathbf{Q^+}$, также весьма интересна (обозначим ее $\mathbf{SBT}$):
$\mathbf{SBT} = \langle \, \mathrm{SBT}, V, H, 1 \rangle$,
где $\mathrm{SBT}$ есть снова множество положительных рациональных чисел;
$V$ и $H$ есть унарные операции на множестве $\mathrm{SBT}$, определяемые как указано выше;
$1$ есть выделенный элемент во множестве $\mathrm{SBT}$.

Во-первых, $\mathbf{SBT}$ есть абсолютно свободная алгебра с двумя унарными операциями и одним выделенным элементом;
во-вторых, система $\mathbf{SBT}$ может служить основой для анализа различных соотношений, возникающих в контексте Stern-Brocot Tree
(аббревиатура $\mathbf{SBT}$ для системы выбрана в честь этого деревца).

Т. е., если некоторая вершина “поверхностного” дерева помечена положительным рациональным числом $x$, то левый сын этой вершины будет помечен числом $V(x)$, а правый сын будет помечен числом $H(x)$.

То дерево, которое приведено в “Конкретной математике” на с. 141 связано с операторами $V$ и $H$ более опосредованным образом, поэтому я предлагаю называть его “глубинным” или просто “Stern-Brocot Tree”. В контексте определенной выше системы $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ эту связь можно описать следующим образом:

пусть некоторая вершина Stern-Brocot Tree помечена положительным рациональным числом $x$ и пусть $\varphi$ будет строкой в алфавите $\{V, H\}$, определяемой из соотношения $x = \varphi(1)$. Тогда левый сын этой вершины будет помечен числом $(\varphi V)(x)$, а правый сын будет помечен числом $(\varphi H)(x)$.
На странице:
http://www.px-pict.com/10/4/4/5.html
оба дерева (дорощенные до 4-го уровня) нарисованы рядышком, чтобы было удобнее их сравнивать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 14:22 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
... естественно расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, заставив действовать на ее множестве-носителе $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ свободную полугруппу строк
$\mathbf{S_{\, V, H}} = \langle \{V, H\}^+,\, \cdot \rangle$,
где $\{V, H\}^+$ есть множество всех строк в алфавите $\{V, H\}$,
$\cdot$ есть операция конкатенации строк (которую при записи термов будем, как правило, опускать).

Т. е. расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ до системы
$\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathbf{S_{\, V, H}} \,,\, \mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}\,, \, *\, \rangle $,
где $*$ есть операция “действия”:
для любых чисел $x, y$, принадлежащих $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ и для любой строки $\varphi$, принадлежащей $\{V, H\}^+$,
запись $y = \varphi * x$ означает, что число $y$ является результатом действия строки $\varphi$ на число $x$.

Смысл операции $*$ действия определяется смыслом определенных в предыдущих постах операторов $V$ и $H$; например, если $x = 2/3$ и $\varphi = HV$, то $\varphi * x = HV*(2/3) = H(V(2/3)) = 7/5$.
Далее вместо $y = \varphi * x$ будем также писать $y = \varphi(x)$.

Двойственность в системе $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ (или в системе $\mathbf{SR^+_{\, 0, \infty}}$) естественно связать с двойственностью в электротехнике:
http://en.wikipedia.org/wiki/Duality_(electrical_circuits),
поскольку система $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ (или $\mathbf{SR^+_{\, 0, \infty}}$) допускает естественную “электротехническую” интерпретацию.

Действительно, отметим прежде всего, что система $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ -- это “двухсортная” система, в которой имеются объекты двух сортов: строки символов в алфавите $\{V, H\}$ и числа из $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ (аналогично тому, как в векторных пространствах имеются объекты двух сортов: скаляры и векторы).

При электротехнической интерпретации мы интерпретируем строки символов в алфавите $\{V, H\}$ как “четырехполюники”, а числа из $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ -- как “двухполюсники” (число $x$ из $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}}$ интерпретируется как сопротивление соответствующего двухполюсника, в частности, $0$ интерпретируется как двухполюсник короткого замыкания, а $\infty$ -- как двухполюсник холостого хода).

Операция $\bullet$ интерпретируется как операция последовательного соединения двухполюсников,
операция $\circ$ интерпретируется как операция параллельного соединения двухполюсников,

выражение $\varphi * x = \varphi(x)$ с фундаментальной для системы $\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}}$ операцией $*$ “действия” интерпретируется как четырехполюсник $\varphi$, нагруженный на сопротивление $x$;
в частности $\varphi(0)$ обозначает четырехполюсник $\varphi$ в режиме короткого замыкания, а выражение $\varphi(\infty)$ -- четырехполюсник $\varphi$ в режиме холостого хода.
-------------------------------

Оказывается, такого рода “алгебры двухполюсников и четырехполюсников” активно изучались:

Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем)//Автоматика и телемеханика, 1941, № 2. — С. 15-24.
(об этой работе см.. в Бажанов В. А.
В.И. Шестаков и К. Шеннон. Разные судьбы творцов одной красивой идеи // Вопросы истории естествознания и техники, 2005, № 2. С. 112—121:
http://www.sbras.ru/win/elbib/data/show_page.dhtml?77+1307+197)

Телешев Юрий Владимирович
Алгебры пассивных двухполюсников:
http://ito.edu.ru/2000/II/3/391.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 21:36 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
Оказывается, такого рода “алгебры двухполюсников и четырехполюсников” активно изучались:
Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем)//Автоматика и телемеханика, 1941, № 2. — С. 15-24.
(об этой работе см.. в Бажанов В. А.
В.И. Шестаков и К. Шеннон. Разные судьбы творцов одной красивой идеи // Вопросы истории естествознания и техники, 2005, № 2. С. 112—121:
http://www.sbras.ru/win/elbib/data/show_page.dhtml?77+1307+197)

Телешев Юрий Владимирович
Алгебры пассивных двухполюсников:
http://ito.edu.ru/2000/II/3/391.html

В цитированной работе Бажанова В. А. на сс. 92 – 94 (сс. 3 – 5 pdf-файла) приводится информация об “алгебре двухполюсных схем” В. И. Шестакова. Как я понял, эта алгебра изоморфна обсуждавшейся выше системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$:
Свободный Художник писал(а):
вздымщик Цыпа писал(а):
Предлагаю пополнить $\mathrm{Q^+}$ ($\mathrm{R^+}$) элементами $0$ и $\overline{0}$
$x \bullet 0 = x$
$x \circ 0 = 0$
$x \circ \overline{0} = x$
$x \bullet \overline{0} = \overline{0}$

Уж лучше вместо $\overline{0}$ ввести новый выделенный элемент $\infty$. Красивше будет.
Да и по смыслу подходит.
$x \bullet 0 = x\,, \; x \circ \infty = x \,;$
$x \bullet \infty = \infty\,, \; x \circ 0 = 0 \,;$
$\overline{0} = \infty\,, \; \overline{\infty} = 0\,;$
$\overline{1} = 1\,.$
$0$ двойственен $\infty$. $1$ самодвойственна.

Свободный Художник писал(а):
... элементы $0$ и $\infty$ -– не определимы в $\mathbf{Q^+}$, поэтому, если мы хотим говорить о них, то должны явно добавить их в сигнатуру системы, что, пользуясь случаем, я и делаю:

$\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathrm{Q^+}, \bullet\,,
\circ\,, \overline{\phantom{a}}\,, 0\,, \infty \rangle$

И, естественно, добавить еще аксиомы вида:
$x \bullet 0 = x\,, \; x \circ \infty = x \,;$
$x \bullet \infty = \infty\,, \; x \circ 0 = 0 \,;$
$\overline{0} = \infty\,, \; \overline{\infty} = 0\,;$
Здесь мы действительно добавили “новое” в $\mathbf{Q^+}$, поэтому и $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ -- новая система по отношению к $\mathbf{Q^+}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Кстати, в этой статье рассматриваются такие законы дистрибутивности:
$x\circ (y\bullet z)\leqslant (x\circ y)\bullet (x \circ z)$
$x\bullet (y\circ z)\geqslant (x\bullet y)\circ (x \bullet z)$
и отмечается, что сама операция $\circ$ не является самостоятельной, т.к. вводится через инверсию:
$x\circ y=\overline\left (\overline x \bullet \overline y \right )$.
Т.е. по сути мы изучаем свойства алгебры с одной унарной и одной бинарной операцией.
P.S. интересно было бы взглянуть на работы Волгина Л.И., чтобы не изобретать велосипед.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 22:34 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Кстати, в этой статье рассматриваются такие законы дистрибутивности:
$x\circ (y\bullet z)\leqslant (x\circ y)\bullet (x \circ z)$
$x\bullet (y\circ z)\geqslant (x\bullet y)\circ (x \bullet z)$
и отмечается, что сама операция $\circ$ не является самостоятельной, т.к. вводится через инверсию:
$x\circ y=\overline\left (\overline x \bullet \overline y \right )$.
Т.е. по сути мы изучаем свойства алгебры с одной унарной и одной бинарной операцией.
P.S. интересно было бы взглянуть на работы Волгина Л.И., чтобы не изобретать велосипед.

Да, согласен.
Вы меня опередили с постом про дистрибутивность. :)
Но раз уж написал, то приведу.
Профессор Снэйп писал(а):
Забавная алгебраическая система, я раньше с подобным не встречался.

Боюсь, что тождества $\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$, $\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$ и $\overline{\overline{x}} = x$ --- это единственное, что есть общего у полученной системы с алгеброй множеств (не считая довольно часто встречающихся коммутативности и ассоциативности бинарных операций). Прежде всего нет идемпотентности, то есть $x \bullet x \neq x \neq x \circ x$, а идемпотентность --- одно из самых характерных свойств теоретико-множественных операций, задающее их уникальную специфику. Далее, отсутствуют нейтральные элементы, то есть ни для какого $e \in \mathrm{Q^+}$ не выполняются тождества $x \bullet e = x$, $x \circ e = x$. Наконец, не выполняется ни одно из тождеств дистрибутивности: $x \circ (y \bullet z) = (x \circ y) \bullet (x \circ z)$, $x \bullet (y \circ z) = (x \bullet y) \circ (x \bullet z)$. Так что с утверждением
Свободный Художник писал(а):
...в системе $\mathbf{Q^+}$ будут справедливы многие законы, имеющие место быть в булевой алгебре...

я, пожалуй, не соглашусь. Больше всего мне здесь не нравится слово "многие" :)

В. А. Бажанов (с. 4 pdf-файла) утверждает, что в “алгебре двухполюсных схем” В. И. Шестакова справедливы “субдистрибутивный” и “супрадистрибутивный” законы, которые в нашей нотации запишутся следующим образом:
$x\circ (y\bullet z) \le (x\circ y) \bullet (x\circ z)$ -- субдистрибутивный закон;
$x\bullet (y\circ z) \ge (x\bullet y) \circ (x\bullet z)$ -- супрадистрибутивный закон.

Я проверил субдистрибутивный закон. Выполняется. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
На $\mathbb Q^+$ выполняются оба.
Нагуглил:
www.zstu.zaporizhzhe.ua/base/news2005/9 ... 00_2_2.pdf

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 00:00 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
P.S. интересно было бы взглянуть на работы Волгина Л.И., чтобы не изобретать велосипед.

Просмотрел работы:

Шестаков В. И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем)// Журнал техн. физики, 1941, Т.11, № 6. — С. 532—549.
Волгин Л. И. Определение сопротивлений и проводимостей двухполюсников логико-алгебраическим методом// Электричество, 1998, № 7. — сс. 64—69.
Волгин Л. И. Субдистрибутивный и супрадистрибутивный законы логики исчисления иммитансов электрических двухполюсников// Электричество, 2001, № 2. — сс. 66—67.

Основные выводы следующие.
В работе Шестакова В. И. определяется алгебраическая система, изоморфная рассматриваемой здесь системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$. Относительно нее устанавливаются только самые элементарные законы типа ассоциативности и коммутативности операций $\bullet$ и $\circ$, инволютивность операции обращения, законы де Моргана и связь операций $\bullet$ и $\circ$, с элементами $\{0, \infty \}$.
Формулируется также принцип двойственности и устанавливается, что подсистема системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, порожденная элементами $\{0, \infty \}$ изоморфна двухэлементной булевой алгебре.

В работах Волгина Л. И. единственное существенное новшество по сравнению с работой Шестакова В. И. я усматриваю в доказательстве для системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ субдистрибутивного и супрадистрибутивного законов:
$x\circ (y\bullet z) \le (x\circ y) \bullet (x\circ z)$ -- субдистрибутивный закон;
$x\bullet (y\circ z) \ge (x\bullet y) \circ (x\bullet z)$ -- супрадистрибутивный закон.
Кроме того, в последней работе Волгина Л. И. операция $\circ$ ошибочно соотнесена с операцией гармонического среднего.

Добавлено спустя 2 часа 13 минут 4 секунды:

Свободный Художник писал(а):
Итак, будем считать, что умножение в $\mathbf{Q^+}$ мы определили. Теперь мы в состоянии определить в $\mathbf{Q^+}$ еще две двойственные операции, которые ранее пробовались на роль основных (я буду писать $\blacksquare$ вместо $\bullet$ и $\square$ вместо $\circ$):
Профессор Снэйп писал(а):
juna писал(а):
Вы правы, так будет даже идемпотентность
$x \bullet y=\frac{x+y}{2}$


Да, при

$$
x \bullet y = \frac{x+y}{2} \text{ и } x \circ y = \frac{2xy}{x+y}
$$

идемпотентность будет. Но дистрибутивности всё равно не будет :(

$x \,\blacksquare\, y = (x \bullet y) \cdot V(1)$;
$x \,\square\, y = (x \circ y) \cdot H(1)$.

$\blacksquare$ и $\square$ -- хорошие такие операции (арифметическое и гармоническое средние), которые, как мы видим, являются двойственными друг по отношению к другу в системе $\mathbf{Q^+}$.

Кажется, для операций $\blacksquare$ и $\square$ арифметического и гармонического средних субдистрибутивный и супрадистрибутивный законы в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ также выполняются.
$x\,\square\, (y\,\blacksquare\, z) \le (x\,\square\, y)\, \blacksquare\, (x\,\square\, z)$ -- субдистрибутивный закон;
$x\,\blacksquare\, (y\,\square\, z) \ge (x\,\blacksquare\, y)\, \square\, (x\,\blacksquare\, z)$ -- супрадистрибутивный закон.

В системе $\mathbf{Q^+}$ эти законы точно выполняются.
Жаль, что операции $\blacksquare$ и $\square$ не ассоциативны. Ведь в противном случае, с учетом их идемпотентности, почти дистрибутивная решетка получалась бы. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 21:04 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
В работах Волгина Л. И. единственное существенное новшество по сравнению с работой Шестакова В. И. я усматриваю в доказательстве для системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ субдистрибутивного и супрадистрибутивного законов:
$x\circ (y\bullet z) \le (x\circ y) \bullet (x\circ z)$ -- субдистрибутивный закон;
$x\bullet (y\circ z) \ge (x\bullet y) \circ (x\bullet z)$ -- супрадистрибутивный закон.

Мы могли бы назвать справедливые в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ субдистрибутивный и супрадистрибутивный законы “квазидистрибутивными законами”, поскольку в них вместо равенств используются отношения $\le$ и $\ge$.
Но ведь в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ для операций $\bullet$ и $\circ$ справедливы также и “квазиидемпотентные законы”:
$x \le x\bullet x$ -- квазиидемпотентный закон для $\bullet$;
$x \ge x\circ x$ -- квазиидемпотентный закон для $\circ$.
-----------------------

Быть может, этих “квази” законов (вместо “полноценных” законов с равенством) булет уже достаточно для того, чтобы доказать “теорему о представлении” для системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, которая была бы аналогична “теореме о представлении” для булевых алгебр?

В булевой алгебре точками ее пространства представления можно считать ее двузначные гомоморфизмы, поскольку они находятся во взаимно-однозначном соответствии с ее максимальными идеалами (равно как и с ее максимальными фильтрами).
(Сикорский Р. Булевы алгебры, Мир, 1969, с. 32, с. 40).

Что из себя представляют двузначные гомоморфизмы системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$? Определим двухэлементную булеву алгебру $\mathbf{B_2}$ в виде:
$\mathbf{B_2} = \langle \, \{0, \infty \}, \bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}}\,, 0\,, \infty \rangle$
(очевидно, здесь $\bullet$ играет роль операции объединения, а $\circ$ играет роль операции пересечения).

$\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ и $\mathbf{B_2}$ имеют одну и ту же сигнатуру, следовательно, можно говорить о гомоморфизмах из $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ в $\mathbf{B_2}$, которые и будем называть двузначными гомоморфизмами системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$.

Теперь для каждого двузначного гомоморфизма системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ хотелось бы определить ассоциированные с ним максимальный идеал и максимальный фильтр системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$.

Добавлено спустя 1 час 11 минут 55 секунд:

Нет, не получится. :?
Слишком мало в $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ будет двузначных гомоморфизмов.
Нетривиальных только два – в зависимости от того, куда гомоморфизм переводит $1$: в $0$ или в $\infty $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.01.2009, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Свободный Художник писал(а):
Понятно, что оба эти дерева (в “Конкретной математике” и у Айгнера) тесно связаны друг с другом, но все же это – разные деревья.

Для дерева из Айгнера есть название Calkin-Wilf Tree

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2009, 12:51 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Для дерева из Айгнера есть название Calkin-Wilf Tree

OK. Принял к сведению. :)
Однако, чтобы получить “граф состояний автомата”, ассоциированный с системой $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ (рассматриваемой как некоторый “автомат”), нужно к Calkin-Wilf Tree дорисовать еще две вершины и четыре дуги.
http://www.px-pict.com/10/4/4/7.html

Т. е. этот автомат не является “моногенным” по терминологии Лаллеман Ж.
Полугруппы и комбинаторные приложения. М., Мир, 1985, сc. 174 — 177.
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/1.html

На самом деле для автомата $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ важны все три “выделенные” состояния: $0 = 0/1,\; 1 = 1/1,\; \infty = 1/0$, поскольку многие важные предложения о системе $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$ предполагают какое-то соотнесение между собой состояний, достижимых из каждого “выделенного” состояния.
В качестве простого примера такого предложения можно привести следующее:
$\forall \varphi  \{\,[\varphi(0) < \varphi(1)]\, \& \,[\varphi(1) < \varphi(\infty)]\, \}$
(оно легко доказывается индукцией по длине цепочки $\varphi$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 93 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group