2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 
Сообщение20.09.2008, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Потому, что это другая алгебраическая система - не решетка. Это само по себе уже интересно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 10:43 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
juna писал(а):
Потому, что это другая алгебраическая система - не решетка. Это само по себе уже интересно.


В решётках дополнений не предусмотрено :)

А решётка с дополнениями --- булева алгебра. Но! В булевых алгебрах выполняются тождества

1) $x \cap (y \cup \overline{y}) = x$;
2) $x \cup (y \cap \overline{y}) = x$;

которые из наших тождеств $+$ дистрибутивности похоже что никак не выводятся.

Но я не спорю с тем, что наша система интересна сама по себе. На мой взгляд она очень интересна. И Вашу поправку к определениям операций, дающую свойства идемпотентности, я бы принял, ибо идемпотентность --- хорошее свойство.

Вообще, у нашей системы тождеств есть модели, отличные от $F^+$, где $F$ --- упорядоченное поле?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #145486 писал(а):
Вообще, у нашей системы тождеств есть модели, отличные от $F^+$, где $F$ --- упорядоченное поле?

Например?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 10:51 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
juna писал(а):
Например?


Обратите внимание: в конце предложения, которое Вы цитируете, стоит вопросительный знак. Это был вопрос, а не утверждение :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 12:14 


20/03/08
421
Минск
Профессор Снэйп писал(а):
Да, при

$$
x \bullet y = \frac{x+y}{2} \text{ и } x \circ y = \frac{2xy}{x+y}
$$

идемпотентность будет. Но дистрибутивности всё равно не будет :(

К сожалению, добавленные двоечки не такие уж и безобидные, поскольку разрушают ассоциативность. Например, для операции $\bullet$:
$\dfrac{\dfrac{x + y}{2} + z}{2} = \dfrac{x + y + 2z}{4}\,, \text{ тогда как }\; \dfrac{x + \dfrac{y + z}{2}}{2} = \dfrac{2x + y + z}{4}\,.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Да, за идемпотентность приходится платить ассоциативностью. :? Без последнего свойства система выглядит слишком экзотической.
Действительно интересно, чему могут быть изоморфны эти системы (есть ли какой-нибудь аналог теоремы Стоуна?).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 16:08 


20/03/08
421
Минск
вздымщик Цыпа писал(а):
Предлагаю пополнить $\mathrm{Q^+}$ ($\mathrm{R^+}$) элементами $0$ и $\overline{0}$
$x \bullet 0 = x$
$x \circ 0 = 0$
$x \circ \overline{0} = x$
$x \bullet \overline{0} = \overline{0}$

Уж лучше вместо $\overline{0}$ ввести новый выделенный элемент $\infty$. Красивше будет.
Да и по смыслу подходит.
$x \bullet 0 = x\,, \; x \circ \infty = x \,;$
$x \bullet \infty = \infty\,, \; x \circ 0 = 0 \,;$
$\overline{0} = \infty\,, \; \overline{\infty} = 0\,;$
$\overline{1} = 1\,.$
$0$ двойственен $\infty$. $1$ самодвойственна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 16:33 


12/09/08

2262
Свободный Художник в сообщении #145542 писал(а):
Уж лучше вместо $\overline{0}$ ввести новый выделенный элемент $\infty$. Красивше будет.
$\infty$ выглядит как-то попсово и не подчеркивает двойственности с $0$. Может лучше $0_\bullet$ и $0_\circ$ ? Наглядно — нейтральные элементы относительно соответствующих операций.

А пополнение «отрицательными» элементами Вам нравится? Все таки «самодуальная группа по двум операциям» лучше «самодуальной полугруппы с единицами» :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 17:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Свободный Художник писал(а):
К сожалению, добавленные двоечки не такие уж и безобидные, поскольку разрушают ассоциативность.


Ха! В натуре так!!!

Нет уж, лучше тогда отказаться от двоечек. Ассоциативность ценнее идемпотентности :)

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

juna писал(а):
Действительно интересно, чему могут быть изоморфны эти системы (есть ли какой-нибудь аналог теоремы Стоуна?).


Вот именно этот вопрос меня и интересовал в первую очередь.

Но, прежде чем говорить об "этих системах", надо чётко зафиксировать их класс. Выписать систему аксиом. Причём мне почему-то хочется, чтобы аксиомы состояли исключительно из тождеств.

Какие-то тождества я накидал в список. Может, кто-нибудь видит другие, столь же простые и естественные?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 18:28 


12/09/08

2262
Профессор Снэйп в сообщении #145550 писал(а):
Какие-то тождества я накидал в список. Может, кто-нибудь видит другие, столь же простые и естественные?

$(x\circ x\circ x) \bullet (x\circ x\circ x) \bullet (x\circ x\circ x) = (x\bullet x \bullet x) \circ (x\bullet x \bullet x) \circ (x\bullet x \bullet x) = x$
И вообще:
$$y = \underbrace{x\circ \ldots \circ x}\limits_{n\ \text{раз}}\ \Leftrightarrow \ x = \underbrace{y \bullet \ldots \bullet y}\limits_{n\ \text{раз}}$$
Из аксиом что-то не удается вывести. На этот раз вроде без промахов :)
Похоже, не хватает какой-то более общей, чем (8,9) аксиомы, связывающей операции.

Добавлено спустя 9 минут:

Впрочем, для $n=2^m$ выводится $m$-кратным применением.
И если доказано для $n_1$ и $n_2$, то для $n = n_1n_2$ тоже доказывается.

Добавлено спустя 19 минут 45 секунд:

И еще $((x \bullet x)\circ x) \bullet (x\circ x\circ x) = x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.09.2008, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Свободный Художник писал(а):
Красивше будет.
Да и по смыслу подходит.
$x \bullet 0 = x\,, \; x \circ \infty = x \,;$
$x \bullet \infty = \infty\,, \; x \circ 0 = 0 \,;$
$\overline{0} = \infty\,, \; \overline{\infty} = 0\,;$
$\overline{1} = 1\,.$
$0$ двойственен $\infty$. $1$ самодвойственна.

Может лучше
$-\infty$ - единичный элемент группы $<\mathbb Q, \circ>$. При этом $\forall x\in \mathbb Q (x^{-1}=-x)$
$0$ - единичный элемент группы $<\mathbb Q, \bullet >$. Т.е. для любого элемента одинаковые обратные как по первой, так и по второй операции.

Добавлено спустя 58 минут 31 секунду:

Вот, если не наврал, еще одно тождество:
$(y \bullet z)\circ(\overline{y}\bullet \overline {z}})=(y\circ \overline{z})\bullet (\overline{y}\circ z)$ и двойственное.
Не знаю, выводится ли из предыдущих...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2008, 19:05 


20/03/08
421
Минск
Профессор Снэйп писал(а):
Но, прежде чем говорить об "этих системах", надо чётко зафиксировать их класс. Выписать систему аксиом. Причём мне почему-то хочется, чтобы аксиомы состояли исключительно из тождеств.
Какие-то тождества я накидал в список. Может, кто-нибудь видит другие, столь же простые и естественные?

Для наглядной верификации кандидатов на тождества, истинные в системе $\mathbf{Q^+}$, можно предложить следующую вспомогательную систему $\mathbf{RA}$ (от “Rectangles Algebra”):
$\mathbf{RA} = \langle \, \mathrm{RA}, \bullet, \circ, \overline{\phantom{a}}, \parallel \; \rangle \,,$
где $\mathrm{RA}$ есть множество всех упорядоченных пар натуральных чисел (пара $<a, b>$ интерпретируется как прямоугольник с длиной горизонтальной стороны $a$ и длиной вертикальной стороны $b$; или же как обыкновенная дробь с числителем $a$ и со знаменателем $b$);
$\bullet$ есть (частичная) бинарная операция на множестве $\mathrm{RA}$, именуемая “операцией горизонтального сложения прямоугольников” и определяемая на прямоугольниках с одинаковой длиной вертикальных сторон следующим образом: если $x = <a, b>$ и $y = <c, b>$, то $x \bullet y = <(a+c), b>$;
$\circ$ есть (частичная) бинарная операция на множестве $\mathrm{RA}$, именуемая “операцией вертикального сложения прямоугольников” и определяемая на прямоугольниках с одинаковой длиной горизонтальных сторон следующим образом: если $x = <a, b>$ и $y = <a, c>$, то $x \circ y = <a, (b+c)>$;
$\overline{\phantom{a}}$ есть (всюду определенная) унарная операция на множестве $\mathrm{RA}$, именуемая “операцией обращения прямоугольников” и определяемая следующим образом: если $x = <a, b>$, то $\overline{x} = <b, a>$;
$\parallel $ есть бинарное отношение на множестве $\mathrm{RA}$, именуемое “отношением пропорциональности на прямоугольниках” и определяемое следующим образом: если $x = <a, b>$ и $y = <c, d>$, то $x \parallel y$ тогда и только тогда, когда $ad = bc$.

Давайте разберем процедуру верификации на примере тождества $(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$, предложенного Профессор Снэйп. Свяжем с переменной $x$ прямоугольник $<a, b>$ из $\mathrm{RA}$. Тогда терму $(x \bullet x)$ будет соответствовать прямоугольник $<2a, b>$. Осуществив вертикальное сложение двух таких прямоугольников, мы получим прямоугольник $<2a, 2b>$, соответствующий терму $(x \bullet x) \circ (x \bullet x)$.
Отметим, что $<2a, 2b> \parallel <a, b>$,
т. е. в нашей вспомогательной системе $\mathbf{RA}$ имеет место соотношение $((x \bullet x) \circ (x \bullet x)) \parallel x$, а из этого следует истинность тождества $(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$ в системе $\mathbf{Q^+}$.

Т. е. можно сводить верификацию тождеств в системе $\mathbf{Q^+}$ к мысленно производимым простым манипуляциям с прямоугольниками. Лично я как увидел тождество $(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$, то вот так его сразу в уме и верифицировал. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2008, 19:29 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
вздымщик Цыпа писал(а):
$(x\circ x\circ x) \bullet (x\circ x\circ x) \bullet (x\circ x\circ x) = (x\bullet x \bullet x) \circ (x\bullet x \bullet x) \circ (x\bullet x \bullet x) = x$
И вообще:
$$y = \underbrace{x\circ \ldots \circ x}\limits_{n\ \text{раз}}\ \Leftrightarrow \ x = \underbrace{y \bullet \ldots \bullet y}\limits_{n\ \text{раз}}$$
Из аксиом что-то не удается вывести. На этот раз вроде без промахов :)
Похоже, не хватает какой-то более общей, чем (8,9) аксиомы, связывающей операции.


Пытался найти "недостающую аксиому" --- нифига не вышло. Стал склоняться к мысли, что это невозможно. Решил показать, что конечным списком тождеств обойтись просто невозможно.

Н-да... пока что пытаюсь построить конечную модель тождеств 1 -- 9. Есть одноэлементная модель, это без базара. А ещё какие-нибудь есть?

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Свободный Художник писал(а):
Т. е. можно сводить верификацию тождеств в системе $\mathbf{Q^+}$ к мысленно производимым простым манипуляциям с прямоугольниками. Лично я как увидел тождество $(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$, то вот так его сразу в уме и верифицировал. :)


Мне кажется, что верифицировать тождства проще исходя из определения операций и элементарных алгебраических преобразований.

К примеру,

$$
x \circ x = 2x; \, x \bullet x = x/2
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2008, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1725
Москва
Можно, кстати, не отказываться от идемпотентных операций, а ввести их дополнительно в систему:
$x\oplus y=(x\circ x)\bullet (y\circ y)=\frac{x+y}{2}$
$x\otimes y=(x\bullet x)\circ (y\bullet y)=\frac{2xy}{x+y}$
и обратно
$(x\oplus y)\bullet (x \oplus y)=x\bullet y$
$(x\otimes y)\circ(x \otimes y)=x\circ y$
Возможно это поможет аксиомам 8, 9. Например, пользуясь идемпотентностью, можно упрощать
$x\otimes y=(x\otimes y)\otimes (x\otimes y)=((x \bullet x)\circ(y \bullet y))\otimes((x \bullet x)\circ(y \bullet y))=(((x \bullet x)\circ(y \bullet y))\bullet ((x \bullet x)\circ(y \bullet y))\circ(((x \bullet x)\circ(y \bullet y)))\bullet ((x \bullet x)\circ(y \bullet y)))$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2008, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Профессор Снэйп писал(а):
Н-да... пока что пытаюсь построить конечную модель тождеств 1 -- 9. Есть одноэлементная модель, это без базара. А ещё какие-нибудь есть?

Возьмите $\mathbb Z_3^n$; $\circ=\bullet=+$; $\overline{\cdot}=id$. Вообще подойдет любая комутативная полугруппа с тождеством $a^4=a$.

Откровенно говоря, не понимаю интереса к этой структуре. Никакого чуда в имеющейся двойственности нет. Так можно поступить с любой полугруппой $(H,\circ)$. Берем любую инволютивную биекцию $f\colon H\to H$ и по определению полагаем $a\bullet b = f(f(a)\circ f(b))$. Полученная система будет иметь двойственность в смысле аксиом 1-7. В зависимости от особенностей $f$ могут появиться еще какие-нибудь тождества, вроде аксиом 8 и 9. И что?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 93 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group