2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 
Сообщение13.10.2008, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Все это изначально понятно.
Получаем рекурентные соотношения для числителей и знаменателей вида $p_{n+1}=a p_{n}-p_{n-1}$ и $q_{n+1}=a q_{n}-q_{n-1}$ при разных начальных условиях.
Интреснее проследить, как ведут себя H-V последовательности для других иррациональностей.
Для примера возьмем разложение
$\frac{e-1}{2}=\frac{1}{1+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{16+...}}}}}$
Для подходящих дробей получаем H-V последовательности:
$\frac{6}{7}=VH^5$
$\frac{61}{71}=VH^6V^9$
$\frac{860}{1001}=VH^6V^{10}H^{13}$
$\frac{13821}{16087}=VH^6V^{10}H^{14}V^{15}$
$\frac{277280}{322741}=VH^6V^{10}H^{14}V^{16}H^{19}$
$\frac{6668541}{7761871}=VH^6V^{10}H^{14}V^{16}H^{20}V^{23}$
...
Видны закономерности - степени H-V как раз числа из разложения в цепную дробь, и только самая правая степень на единицу меньше, которая изменяется при следующем уточнении.
Замечу также, что в приведенном lisp-code функцию HV_To_Number лучше модифицировать, преобразовав рекурсивный процесс в итерационный:
Код:
(defun HV_To_Number (L)
   (defun iter (result LL)
      (cond
         ((Null LL) result)
         ((eq (car LL) 'H) (iter (+ result 1) (cdr LL)))
         ((eq (car LL) 'V) (iter (/ result (+ result 1)) (cdr LL)))))
   (iter 1 (reverse L)))   

Поскольку квадратичные иррациональности разлагаются в периодическую цепную дробь, получаются степени H-V последовательностей, в общем случае H-V последовательность - это аналог разложения в цепную дробь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 13:29 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
Свободный Художник писал(а):
Произведение $u$ двух элементов $x$ и $y$ можно определить как корень уравнения:
$(x \bullet 1) \circ (u \bullet y) = (x \circ u) \bullet (1 \circ y)$
При подстановке в указанное уравнение $u = xy$ обе его части оказываются равными выражению $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$.

В частности, при $y = \overline{x}$ и $u = 1$ получаем универсальное тождество:
$(x \bullet 1) \circ (1 \bullet \overline{x}) = (x \circ 1) \bullet (1 \circ \overline{x})$.

В принципе, мы могли бы с самого начала добавить выделенный элемент $1$ в сигнатуру системы $\mathbf{Q^+}$ (или $\mathbf{R^+}$) и охарактеризовать его роль в системе при помощи указанного универсального тождества, рассматриваемого в качестве новой аксиомы.

Вот еще об этом тождестве, характеризующем $1$.
Если воспользоваться вспомогательной системой $\mathbf{RA}$:
Свободный Художник писал(а):
Для наглядной верификации кандидатов на тождества, истинные в системе $\mathbf{Q^+}$, можно предложить следующую вспомогательную систему $\mathbf{RA}$ (от “Rectangles Algebra”):
$\mathbf{RA} = \langle \, \mathrm{RA}, \bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}}, \parallel\; \rangle \,,$

которая приведена также здесь: http://www.px-pict.com/9/6/4/5.html,
то упомянутое тождество можно ассоциировать с известной конфигурацией из “геометрической алгебры”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/11/1.html

В этом контексте тождество $(x \bullet 1) \circ (1 \bullet \overline{x}) = (x \circ 1) \bullet (1 \circ \overline{x})$ будет означать, что квадрат можно “собрать” из меньших квадратов и прямоугольников двумя двойственными способами, отвечающими правой и левой частям указанного тождества.

С использованием рассотренных ранее в этом топике операций $V$ и $H$, указанное тождество перепишется в следующем виде: $[H(x)] \circ [H(\overline{x})] = [V(x)] \bullet [V(\overline{x})]$.

Как отметил juna, тождество $(x \bullet 1) \circ (1 \bullet \overline{x}) = (x \circ 1) \bullet (1 \circ \overline{x})$ следует из приведенного им более общего тождества.
juna писал(а):
Ваше же тождество в более общем виде я уже приводил $(y \bullet z)\circ(\overline{y}\bullet \overline {z}})=(y\circ \overline{z})\bullet (\overline{y}\circ z)$.Возьмите $y=1,z=x$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 14:47 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Стало очень интересно: можно ли выразить обычное умножение $x \cdot y$ через $x \circ y$, $x \bullet y$ и $\overline{x}$? Вроде бы доказал, что нельзя.

Произведение $u$ двух элементов $x$ и $y$ можно определить как корень уравнения:
$(x \bullet 1) \circ (u \bullet y) = (x \circ u) \bullet (1 \circ y)$
При подстановке в указанное уравнение $u = xy$ обе его части оказываются равными выражению $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$.

juna писал(а):
Речь идет о непредставимости умножения термом фиксированной длины.

И все же операция $\cdot$ умножения в системе $\mathbf{Q^+}$ определяется вполне стандартным образом (для первопорядковых теорий с равенством). Для краткости определим тернарный предикат $R(u, x, y)$:
$\forall u\forall x\forall y\{R(u, x, y) \equiv [(x \bullet 1) \circ (u \bullet y) = (x \circ u) \bullet (1 \circ y)]\}$.

Постулируем две аксиомы:
$\forall x\forall y\exists u R(u, x, y)$;
$\forall x\forall y\forall u_1\forall u_2 \{R(u_1, x, y) \& R(u_2, x, y) \Rightarrow (u_1 = u_2)\}$.

Введем новый бинарный функциональный символ $\cdot$ и добавим аксиому:
$\forall x\forall y R((x \cdot y), x, y)$,

После этого мы можем утверждать, что определили в системе $\mathbf{Q^+}$ операцию $\cdot$ умножения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Можно, конечно, сказать - подбирайте такое $u$, чтобы правая и левая часть указанного равенства совпадали, найденное $u$ будет произведением $xy$. Но, во-первых, надо показать, что равенство достигается при одном единственном $u=xy$, во-вторых это не так, в-третьих, посчитать $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$ через введенные операции мы также не умеем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 18:44 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Свободный Художник в сообщении #169546 писал(а):
Произведение $u$ двух элементов $x$ и $y$ можно определить как корень уравнения:
$(x \bullet 1) \circ (u \bullet y) = (x \circ u) \bullet (1 \circ y)$
При подстановке в указанное уравнение $u = xy$ обе его части оказываются равными выражению $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$.

Можно, конечно, сказать - подбирайте такое $u$, чтобы правая и левая часть указанного равенства совпадали, найденное $u$ будет произведением $xy$. Но, во-первых, надо показать, что равенство достигается при одном единственном $u=xy$, во-вторых это не так, в-третьих, посчитать $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$ через введенные операции мы также не умеем.

Вы можете привести пример таких двух конкретных рациональных чисел $x$ и $y$ для которых указанное уравнение имеет два различных корня?
Я конечно понимаю, что даже если Вы и не сможете привести такой пример, это все же еще не отменяет необходимости доказательства единственности. Так что оно за мной.
По поводу Вашего третьего возражения я сочиню отдельный пост.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Свободный Художник писал(а):
Так что оно за мной..

Да, Вы оказались правы. У получающегося там квадратного уравнения $u^2-2yxu+y^2x^2=0$ нулевой дискриминант.
Значит решение однозначно, но построение остается неконструктивным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 20:33 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Свободный Художник в сообщении #169546 писал(а):
Произведение $u$ двух элементов $x$ и $y$ можно определить как корень уравнения:
$(x \bullet 1) \circ (u \bullet y) = (x \circ u) \bullet (1 \circ y)$
При подстановке в указанное уравнение $u = xy$ обе его части оказываются равными выражению $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$.

... в-третьих, посчитать $\dfrac{y(x + 1)}{y + 1}$ через введенные операции мы также не умеем.

Если провести аналогию с булевой алгеброй, то при ее аксиоматизации мы можем выбрать различные наборы операций в качестве основных.
Допустим, в системе $\mathbf{B}$ в качестве основных выбраны операции объединения и дополнения, а в системе $\mathbf{B_1}$ в качестве основных выбраны операции симметрической разности и пересечения.

Допустим, что для системы $\mathbf{B}$ аксиомы уже известны и мы желаем создать альтернативную аксиоматизацию для системы $\mathbf{B_1}$. В качестве некоторого промежуточного шага мы можем выразить основные операции системы $\mathbf{B_1}$ в виде некоторых термов, состоящих из основных операций системы $\mathbf{B}$ и затем, когда будем “нащупывать” истинные предложения для аксиоматизации системы $\mathbf{B_1}$, транслировать их в предложения системы $\mathbf{B}$ и верифицировать их там.

В свете этой аналогии, пусть система $\mathbf{Q^++}$ -- будет обычной системой положительных рациональных чисел с обычными операциями сложения, вычитания, умножения, деления, выбранных в качестве основных.
Наряду с ней мы можем рассмотеть некоторую систему $\mathbf{Q^+}$ с операциями $\bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}}$ и в ее рамках попытаться дать альтернативную аксиоматизацию системы положительных рациональных чисел.
При “нащупывании” кандидатов на роль аксиом системы $\mathbf{Q^+}$ мы можем транслировать их в соответствующие предложения системы $\mathbf{Q^++}$ и пытаться доказать их там.

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

juna писал(а):
Свободный Художник писал(а):
Так что оно за мной..

Значит решение однозначно, но построение остается неконструктивным.

Насчет конструктивности судить не берусь, но, в принципе, это стандартный прием в мат. логике. Вот здесь выдержки из учебника Мендельсона по этому поводу:
http://www.px-pict.com/9/6/2/1.html

С формальной точки зрения я, кажется, сделал все правильно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Попадаем на цитату из вашей же ссылки: "общеизвестно, что такие определения хотя и удобны, но ничего нового к теории не добавляют."
Получили полиномиально проверяемое решение - для любых $x,y,u$ легко можем проверить $u=xy$ или нет. Вот если бы существовал полиномиальный алгоритм нахождения решения, а мы доказали, что его не существует, т.е. решили проблему $P\not =NP$ :lol:
На самом деле операция умножения тривиально вводится через последовательное суммирование в нашей системе, но только в виде терма нефиксированной длины.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 16:22 


20/03/08
421
Минск
Тем не менее, иерархия определений в рамках некоторой теории обычно строится, поскольку, по-видимому, позволяет сделать теорию более понятной и хорошо структурированной.
С другой стороны, отнюдь не все определимо в данной теории (под “определимостью” будем понимать определимость в теориях первого порядка с равенством). Например, унарные операции $V$ и $H$, а также элемент $1$ определимы в $\mathbf{Q^+}$
Свободный Художник писал(а):
Например, для $\mathbf{Q^+}$ являются справедливыми, очевидно, следующие два утверждения:
(1) Существует элемент, удовлетворяющий условию $\overline{x} = x$;
(2) Такой элемент единственен.
Положив этому элементу естественное имя 1, мы можем определить две двойственные друг по отношению к другу унарные операции: $H(x) = x \bullet 1$ и $V(x) = x \circ 1$.

А вот элементы $0$ и $\infty$ -– не определимы в $\mathbf{Q^+}$, поэтому, если мы хотим говорить о них, то должны явно добавить их в сигнатуру системы, что, пользуясь случаем, я и делаю:

$\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathrm{Q^+}, \bullet\,,
\circ\,, \overline{\phantom{a}}\,, 0\,, \infty \rangle$

И, естественно, добавить еще аксиомы вида:
$x \bullet 0 = x\,, \; x \circ \infty = x \,;$
$x \bullet \infty = \infty\,, \; x \circ 0 = 0 \,;$
$\overline{0} = \infty\,, \; \overline{\infty} = 0\,;$
Здесь мы действительно добавили “новое” в $\mathbf{Q^+}$, поэтому и $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ -- новая система по отношению к $\mathbf{Q^+}$.
-------------------------------

Итак, будем считать, что умножение в $\mathbf{Q^+}$ мы определили. Теперь мы в состоянии определить в $\mathbf{Q^+}$ еще две двойственные операции, которые ранее пробовались на роль основных (я буду писать $\blacksquare$ вместо $\bullet$ и $\square$ вместо $\circ$):
Профессор Снэйп писал(а):
juna писал(а):
Вы правы, так будет даже идемпотентность
$x \bullet y=\frac{x+y}{2}$


Да, при

$$
x \bullet y = \frac{x+y}{2} \text{ и } x \circ y = \frac{2xy}{x+y}
$$

идемпотентность будет. Но дистрибутивности всё равно не будет :(

$x \,\blacksquare\, y = (x \bullet y) \cdot V(1)$;
$x \,\square\, y = (x \circ y) \cdot H(1)$.

$\blacksquare$ и $\square$ -- хорошие такие операции (арифметическое и гармоническое средние), которые, как мы видим, являются двойственными друг по отношению к другу в системе $\mathbf{Q^+}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 21:58 


20/03/08
421
Минск
juna писал(а):
Попадаем на цитату из вашей же ссылки: "общеизвестно, что такие определения хотя и удобны, но ничего нового к теории не добавляют."

Говоря о том, что “… ничего нового к теории не добавляют”, Мендельсон имел в виду, что такие определения не означают перехода к какой-то принципиально новой системе, отличной от исходной системы, в данном случае, от системы $\mathbf{Q^+}$. Т. е. здесь речь идет о “консервативном расширении сигнатуры исходной системы”, как иногда выражаются.
Если бы удалось, как пишет Профессор Снэйп:
Профессор Снэйп писал(а):
Стало очень интересно: можно ли выразить обычное умножение $x \cdot y$ через $x \circ y$, $x \bullet y$ и $\overline{x}$? Вроде бы доказал, что нельзя.

выразить умножение в виде некоторого терма конечной длины из основных операций $\bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}}$, то и в этом случае мы ничего нового к $\mathbf{Q^+}$ не добавили бы.

В системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ с использованием операций $\blacksquare$ и $\square$ арифметического и гармонического средних можно доказать следующий любопытный факт о Stern-Brocot Tree:
Свободный Художник писал(а):
Кстати говоря, система с двумя унарными операциями $V$ и $H$, основанная на системе $\mathbf{Q^+}$, также весьма интересна (обозначим ее $\mathbf{SBT}$):
$\mathbf{SBT} = \langle \, \mathrm{SBT}, V, H, 1 \rangle$,
где $\mathrm{SBT}$ есть снова множество положительных рациональных чисел;
$V$ и $H$ есть унарные операции на множестве $\mathrm{SBT}$, определяемые как указано выше;
$1$ есть выделенный элемент во множестве $\mathrm{SBT}$.
Во-первых, $\mathbf{SBT}$ есть абсолютно свободная алгебра с двумя унарными операциями и одним выделенным элементом;
во-вторых, система $\mathbf{SBT}$ может служить основой для анализа различных соотношений, возникающих в контексте Stern-Brocot Tree:
http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html
http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml
http://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree

Сперва сформулируем, потом докажем.
Поправим, кстати, определение системы $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$. В качестве ее носителя, очевидно, должно быть указано множество $\mathrm{Q^+ \cup \{0, \infty \}}$, где $\mathrm{Q^+}$ по прежнему есть множество положительных рациональных чисел:

$\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathrm{Q^+ \cup \{0, \infty \}}, \bullet\,,
\circ\,, \overline{\phantom{a}}\,, 0\,, \infty \rangle$.

Любопытный факт касается “закона роста” этого дерева.
Рассмотрим, например, 2-ой уровень Stern-Brocot Tree:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html

На этом 2-м уровне находится, в частности, зеленое число $2/3$, расположенное между черными числами $1/2$ и $1/1$.
Зеленость числа $2/3$ означает, что оно возникло именно на 2-ом уровне Дерева, а окружающие его черные числа $1/2$ и $1/1$, между которыми оно вставилось, возникли на предыдущих уровнях.

На следующем 3-ем уровне Дерева число $2/3$ станет уже черным (ведь оно возникло на предыдущем уровне), а между ним и “еще более древним” черным числом $1/1$ вставится новый зеленый росточек –- число $3/4$.
Обозначим числа, о которых шла речь, буквами $N, A, M, B$:
$N = 1/2, A = 2/3, M = 3/4, B = 1/1$.
Очевидно, что они упорядочены по величине следующим образом: $N < A < M < B$.

Оказывается, что число $M$ вставляется между ранее построенными числами $A$ и $B$ таким образом, чтобы расстояние $NM$ было средним гармоническим расстояний $NA$ и $NB$. В виде формулы это запишется так:

$(M \blacktriangleright N) = ((A \blacktriangleright N) \,\square\, (B \blacktriangleright N))$,

где $\blacktriangleright$ есть операция вычитания, которую мы, очевидно, можем определить в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$.

Приведенная формула выражает “закон роста” левого поддерева.
Аналогичный “закон роста” для правого поддерева может быть выражен двойственной формулой:

$(M \vartriangleright N) = ((A \vartriangleright N) \,\blacksquare \, (B \vartriangleright N))$,

в которой фигурируют операция $\blacksquare$ арифметического среднего и операция $\vartriangleright$ “ко-вычитания” (т. е. операция, обратная операции $\circ$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 23:27 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
Любопытный факт касается “закона роста” этого дерева.

Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число $x$ при своем “возникновении”.
Например, для $x = 1/3$ ассоциированный интервал будет $(0, 1/2)$; для $x = 4/7$ – интервал $(1/2, 3/5)$; для $x = 5/1$ – интервал $(4/1, \infty)$ и т. д.

Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть $\varphi$ будет произвольной строкой из символов $V$ и $H$ и пусть выражение $\varphi(x)$ будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций $V$ и $H$; например, выражение $VHV(x)$ будет обозначать терм $V(H(V(x))$.

Каждому положительному рациональному числу $x$ соответствует единственная строка $\varphi$, определяемая из соотношения $x = \varphi(1)$. Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то число $x$ возникает на $n$ - ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$, которые и определяют “интервал $(\varphi(0), \varphi(\infty))$, ассоциированный с данным положительным рациональным числом $x$”.

При вычислении выражений $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$ можно использовать следующие соотношения:
$H(0) = 1, H(\infty) = \infty, V(0) = 0, V(\infty) = 1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2009, 14:24 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник писал(а):
Свободный Художник писал(а):
Любопытный факт касается “закона роста” этого дерева.

Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.

В свете вышесказанного, “закон роста” для левого поддерева можно сформулировать так (на левом поддереве расположены все рациональные числа, меньшие $1$).

Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то тройка $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(\infty)$ обозначает на диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree ситуацию возникновения на $n$ - ом уровне дерева “зеленого росточка” $\varphi(1)$, вставленного между ранее построенными “черными” числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$.

На следующем $(n+1)$ - ом уровне дерева между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(1)$ вставится новое число $(\varphi V)(1)$, а между числами $\varphi(1)$ и $\varphi(\infty)$ -- новое число $(\varphi H)(1)$ ($\varphi H$ означает строку, полученную из строки $\varphi$ путем приписывания к ней справа символа $H$).
“Закон роста” выражает эти новые числа $(\varphi V)(1)$ и $(\varphi H)(1)$ как некоторую функцию от трех ранее возникших чисел $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(\infty)$:

$(M \blacktriangleright N) = ((A \blacktriangleright N) \,\square\, (B \blacktriangleright N))$,
где $N = \varphi(0),\; A = \varphi(1),\; M = (\varphi H)(1),\; B = \varphi(\infty);$
$\square$ есть операция гармонического среднего; $\blacktriangleright$ есть операция вычитания.

$N, A, M, B$ есть гармоническая четверка точек, поскольку точка $M$ делит отрезок $AB$ “внутренним образом” в том же самом отношении, что и точка $N$ делит отрезок $AB$ “внешним образом”.

Аналогично: $(N \blacktriangleright M) = ((N \blacktriangleright A) \,\square\, (N \blacktriangleright B))$,
где $A = \varphi(0),\; M = (\varphi V)(1),\; B = \varphi(1),\; N = \varphi(\infty)$
(здесь точка $N$ “внешнего деления” расположена справа от отрезка $AB$.
-----------------------------

Для правого поддерева законы роста “переворачиваются” (на правом поддереве расположены все рациональные числа, большие $1$).

Если точка $N$ “внешнего деления” расположена справа от отрезка $AB$, то
$((B \vartriangleright N) \,\blacksquare \, (A \vartriangleright N)) = (M \vartriangleright N)$,
где $B = \varphi(0),\; M = (\varphi V)(1),\; A = \varphi(1),\; N = \varphi(\infty);$
$\blacksquare$ есть операция арифметического среднего; $\vartriangleright$ есть операция ко-вычитания.

Если точка $N$ “внешнего деления” расположена слева от отрезка $AB$, то
$(N \vartriangleright M) = ((N \vartriangleright B) \,\blacksquare \, (N \vartriangleright A))$,
где $N = \varphi(0),\; B = \varphi(1),\; M = (\varphi H)(1),\; A = \varphi(\infty).$

Операция ко-вычитания выражается через обычные операции следующим образом: если $x = a/b$ и $y = c/d$, то $x \vartriangleright y = \dfrac{ac}{bc - ad}$.
(т. е. ко-вычитать мы можем только из меньшего большее, тогда как вычитать – только из большего меньшее)
-----------------------------

На странице http://www.px-pict.com/10/4/4/4.html расположен калькулятор, в котором можно поэкспериментировать с приведенными выше соотношениями (калькулятор будет гарантированно работать в Internet Explorer). Нужно только в поле “Исходное число” ввести числитель и знаменатель исходного числа $x$; калькулятор сам посчитает все остальное, в частности, определит для $x$ строку $\varphi$, определяемую из условия $x = \varphi(1)$ (эта строка называется там “Программой числа $x$”).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 16:24 


20/03/08
421
Минск
Чтобы записать “законы роста” из предыдущего поста в виде универсальных предложений, нужно спустить фигурирующие там строки символов в алфавите $\{V, H\}$ с мета-уровня на объектный уровень.
Для этого естественно расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$, заставив действовать на ее множестве-носителе $\mathrm{Q^+_{\, 0, \infty}} = \mathrm{Q^+} \cup \{0, \infty \}$ свободную полугруппу строк
$\mathbf{S_{\, V, H}} = \langle \, \{V, H\}^+,\, \cdot \, \rangle$,
где $\{V, H\}^+$ есть множество всех строк в алфавите $\{V, H\}$,
$\cdot$ есть операция конкатенации строк (которую при записи термов будем, как правило, опускать).

Т. е. расширить систему $\mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}$ до системы
$\mathbf{SQ^+_{\, 0, \infty}} = \langle \, \mathbf{S_{\, V, H}} \, ,\, \mathbf{Q^+_{\, 0, \infty}}\,, \, * \, \rangle$,
где $*$ есть операция “действия”:
для любых чисел $x, y$, принадлежащих $\mathrm{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ и для любой строки $\varphi$, принадлежащей $\{V, H\}^+$,
запись $y = \varphi * x$ означает, что число $y$ является результатом действия строки $\varphi$ на число $x$.

Смысл операции $*$ действия определяется смыслом определенных в предыдущих постах операторов $V$ и $H$; например, если $x = 2/3$ и $\varphi = HV$, то $\varphi * x = HV*(2/3) = H(V(2/3)) = 7/5$.
Далее вместо $y = \varphi * x$ будем также писать $y = \varphi(x)$.

На множестве $\{V, H\}^+$ всех строк в алфавите $\{V, H\}$ можно определить и другие полезные операции. Например, операцию $Left(\varphi)$, сопоставляющую каждой строке $\varphi$ символ, стоящий на ее левом конце и операцию $Right(\varphi)$, сопоставляющую каждой строке $\varphi$ символ, стоящий на ее правом конце.
----------------------------

Теперь “законы роста” из предыдущего поста могут быть записаны в виде универсальных предложений в системе $\mathbf{SQ^+_{\, 0,\: \infty}}$. Например, самый первый “закон роста”:

$(M \blacktriangleright N) = ((A \blacktriangleright N) \,\square\, (B \blacktriangleright N))$,
где $N = \varphi(0),\; A = \varphi(1),\; M = (\varphi H)(1),\; B = \varphi(\infty);$
$\square$ есть операция гармонического среднего; $\blacktriangleright$ есть операция вычитания;
может быть записан в виде следующего универсального предложения:

$\forall \varphi \{(Left(\varphi) = V) \Rightarrow \{[(\varphi H)(1) \blacktriangleright \varphi(0)] = [[(\varphi(1) \blacktriangleright \varphi(0)] \,\square\, [\varphi(\infty) \blacktriangleright \varphi(0)]]\}\}$.
----------------------------

Систему, представляющую собой действие свободной полугруппы на некотором множестве часто называют “автоматом”:
http://en.wikipedia.org/wiki/Semigroup_action
http://en.wikipedia.org/wiki/Automata_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Semiautomaton

Так что арифметика рациональных чисел вполне может рассматриваться как раздел Computer Science :)
http://en.wikipedia.org/wiki/Computer_science
http://en.wikipedia.org/wiki/Theoretical_computer_science

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 03:20 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Свободный Художник писал(а):
Так что арифметика рациональных чисел вполне может рассматриваться как раздел Computer Science :)


Думаю, к этому выводу можно было прийти и более простыми средствами :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
О дереве Штерна-Брока написано также в "Конкретной математике", и пока мы почти не выходим за пределы описанного там. Мне бы было интересно построить это дерево на все $\mathbb Q$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 93 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group