2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Сумма всех натуральных чисел
Сообщение29.12.2008, 22:16 
Аватара пользователя


12/11/08
23
Санкт-Петербург
Всем здравствуйте!
Меня последнее время занимает один вопрос. известно, что сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{1}{12}$. Это можно получить вычислив функцию Римана от -1. Эйлер смог доказать этот факт 4 различными способами. Так вот, кто-нибудь знает, как это можно сделать? (не используя функция Римана)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 22:22 


15/09/08
26
Впервые об этом слышу! Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля, то как может получится $-1/12$? Попахивает бредом

Если можете, дайте ссылку, где об этом написано

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Сумма членов любой арифметической прогрессии равна $\frac{5d-6a_1}{12}$, где $d$ - разность, $a_1$ - первый член. И все это неортодоксально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 22:27 
Аватара пользователя


12/11/08
23
Санкт-Петербург
juna писал(а):
Сумма членов любой арифметической прогрессии равна $\frac{5d-6a_1}{12}$, где $d$ - разность, $a_1$ - первый член. И все это неортодоксально.

А можно глупый вопрос? откуда эта формула?

kvanttt писал(а):
Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля, то как может получится $-1/12$?

А что вы имеете в виду, говоря о симметричности натуральных чисел?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Эту формулу получает Варшамов в своей книге
http://dxdy.ru/topic7682.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 22:52 
Аватара пользователя


12/11/08
23
Санкт-Петербург
Спасибо за ссылку.
А как сам Эйлер это доказал?
Я где то встречал доказательство при помощи сложения. то есть там рассматривалась сумма 1-1+1-1+...=a. и из нее выводилось доказательство нужного факта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Кстати говоря, во время Эйлера теория рядов была противоречивой, эту проблему решили после того, как дали "хорошие" определения пределам, рядам...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2008, 23:39 


02/07/08
322
Этому факту даже посвящена статья в Википедии. Оттуда можно пройти по ссылкам на суммирование Рамануджана и в самом низу на небольшую статью о методе суммирования собственно Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 01:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ILYA_First писал(а):
Меня последнее время занимает один вопрос. известно, что сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{1}{12}$.


kvanttt писал(а):
Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля...


ILYA_First писал(а):
...рассматривалась сумма 1-1+1-1+...


Народ! Вы натуральные числа с целыми не перепутали?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #172807 писал(а):
Народ! Вы натуральные числа с целыми не перепутали?

Утверждается, что $1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$
Так что можно даже с рациональными перепутать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Старикаша Эйлер по своему обычаю не волновался о сходимости рядов. Поэтому он рассмотрел степенной ряд
$\sum n x^n$,
путем почленного интегрирования просумировал и, как теперь принято говорить, продолжил результат аналитически до точки $x=1$. Таких вычислений у Эйлера вусмерть

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 01:55 


12/09/08

2262
juna в сообщении #172821 писал(а):
Утверждается, что $1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$

Не, ну раз уж $1+2+4+8+16+... = -1$. то и в этом утверждении нет ничего особо необычного :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 15:25 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Вы не путаете обычную сумму и сумму Рамануджана?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 15:33 


12/09/08

2262
Anton Nonko в сообщении #172907 писал(а):
Вы не путаете обычную сумму и сумму Рамануджана?
А не называете ли Вы суммирование бесконечных сходящихся рядов обычной суммой? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.12.2008, 15:37 
Аватара пользователя


03/06/08
392
Новгород
Неправильно выразился, это предельный переход от обычной суммы. Однако, ряд натуральных чисел не сходится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 82 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group