Забавная алгебраическая система, я раньше с подобным не встречался.
Боюсь, что тождества
![$\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$ $\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/4/ad4b45f9ab5ab86fbf5eca62b698ea3d82.png)
,
![$\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$ $\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a48cdcb1adc85ba7cbf91f24d3122b82.png)
и
![$\overline{\overline{x}} = x$ $\overline{\overline{x}} = x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/8/4f823c9c5795cb9a402f08a842db5a7682.png)
--- это единственное, что есть общего у полученной системы с алгеброй множеств (не считая довольно часто встречающихся коммутативности и ассоциативности бинарных операций). Прежде всего нет идемпотентности, то есть
![$x \bullet x \neq x \neq x \circ x$ $x \bullet x \neq x \neq x \circ x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/6/666fb4e5c4ed673fc414cf41e6b81aaa82.png)
, а идемпотентность --- одно из самых характерных свойств теоретико-множественных операций, задающее их уникальную специфику. Далее, отсутствуют нейтральные элементы, то есть ни для какого
![$e \in \mathrm{Q^+}$ $e \in \mathrm{Q^+}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/8/1e89a763b339f6e137124bc99b26079482.png)
не выполняются тождества
![$x \bullet e = x$ $x \bullet e = x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bd7f1211decaac6f198bea149c9164482.png)
,
![$x \circ e = x$ $x \circ e = x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/2/fd222940e32369e797c5d7adccb13bfb82.png)
. Наконец, не выполняется ни одно из тождеств дистрибутивности:
![$x \circ (y \bullet z) = (x \circ y) \bullet (x \circ z)$ $x \circ (y \bullet z) = (x \circ y) \bullet (x \circ z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/c/eac24b2d555e56188f1baf54fa4a93a382.png)
,
![$x \bullet (y \circ z) = (x \bullet y) \circ (x \bullet z)$ $x \bullet (y \circ z) = (x \bullet y) \circ (x \bullet z)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/3/523101a884e6d508946a41f6fc7d632a82.png)
. Так что с утверждением
Свободный Художник писал(а):
...в системе
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
будут справедливы многие законы, имеющие место быть в булевой алгебре...
я, пожалуй, не соглашусь. Больше всего мне здесь не нравится слово "многие"
"Двойственность" --- довольно широкое понятие, под ним в разных местах понимается разное. В векторных пространствах одно, в частичных порядках другое, в булевых алгебрах третье. Поскольку здесь Вы аппелируете к булевым алгебрам, то я полагаю, что под двойственностью Вы понимаете следующий факт: все тождества, имеющие место в
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
, останутся верными при замене
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
на
![$\circ$ $\circ$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/4/c0463eeb4772bfde779c20d52901d01b82.png)
и наоборот. Этот факт, безусловно, верен, ибо отображение
![$x \mapsto \overline{x}$ $x \mapsto \overline{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/2/162d598fe9cdebb06861c7387248e5fd82.png)
есть биекция
![$\mathrm{Q^+}$ $\mathrm{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034c2f9f22c8029c1874fff950c92dcc82.png)
на себя, "меняющая местами" бинарные операции. Так что феномен однозначно присутствует
Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:
P. S. Было бы очень интересно попытаться найти список аксиом
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
. Заняться, что ли, на досуге
Добавлено спустя 31 минуту 23 секунды:
Итак, предлагаю следующий список тождеств (алгебры с двумя бинарными операциями
![$\circ$ $\circ$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/4/c0463eeb4772bfde779c20d52901d01b82.png)
,
![$\bullet$ $\bullet$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fcde5697fb6ff191e860c19adb9cf682.png)
и одной бинарной операцией
![$\overline{\phantom{x}}$ $\overline{\phantom{x}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/c/c4c4cc69d0eb855792041ab317b6905c82.png)
):
1)
![$x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z$ $x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e17e8545118f756417584ef28adafed82.png)
;
2)
![$x \bullet (y \bullet z) = (x \bullet y) \bullet z$ $x \bullet (y \bullet z) = (x \bullet y) \bullet z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/5/e857134f7783e4133bd1c0f5d34402c782.png)
;
3)
![$x \circ y = y \circ x$ $x \circ y = y \circ x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/8/958b4012dfa7eddb823b7424738c571082.png)
;
4)
![$x \bullet y = y \bullet x$ $x \bullet y = y \bullet x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/8/918c0535af1b6e07f5ee1cda7035d2af82.png)
;
5)
![$\overline{\overline{x}} = x$ $\overline{\overline{x}} = x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/8/4f823c9c5795cb9a402f08a842db5a7682.png)
;
6)
![$\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$ $\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a48cdcb1adc85ba7cbf91f24d3122b82.png)
;
7)
![$\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$ $\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/4/ad4b45f9ab5ab86fbf5eca62b698ea3d82.png)
;
8)
![$(x \circ x) \bullet (x \circ x) = x$ $(x \circ x) \bullet (x \circ x) = x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffdfe53cfc11056d9562f01a403bac9282.png)
;
9)
![$(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$ $(x \bullet x) \circ (x \bullet x) = x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/9/dc9634914f3d0be5e3328e03d6fc1c8f82.png)
.
Все эти тождества выполняются на
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
. Они не являются независимыми (к примеру,
![$5+6+7+1 \Rightarrow 2$ $5+6+7+1 \Rightarrow 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/2/072ae76b7ad51cf61f9cf192eb4ed05582.png)
и т. п., вообще, тождества
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
,
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
и
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
влекут "двойственность"). Насколько они "достаточны" для задания
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
? То есть какие свойства
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
из них можно вывести, какие нельзя? Какие ещё тождества, "задающие"
![$\mathbf{Q^+}$ $\mathbf{Q^+}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/b/ceb25ff6d20767385ecfdb7de534e27582.png)
, было бы естественным добавить в этот список?