Жесткость сооружений из палочек.

[EUgeneUS]

Кстати, рассмотрение подвижности графа - это частный случай, всё таки.

Вот в этой теме обсуждался шестизвенный патентованный механизм "Турбула".
И некоторые близкие темы.

Анализ подвижности "турбулы" не может быть выполнен через анализ подвижности графа.
А вот через запись системы механических связей (а далее тот же подход - анализ геометрических соотношений, параметров, при котором она вырождается) дает верный ответ.

-- 04.02.2026, 17:11 --

mihaild в сообщении #1717235 писал(а):

В левой части я многоточие потерял. Индексы справа - это концы ребра как раз.
Т.е. если $i$-е ребро соединяет вершины $a$ и $b$, то $f(\vec v_1, \ldots, \vec v_n)_i = \|\vec v_a - \vec v_b\|^2$.

Спасибо!
Так и думал, но не был уверен.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1717237 писал(а):

Кстати, рассмотрение подвижности графа - это частный случай, всё таки.

Это стало понятно после поста mihaild. Однако даже на графах, если слегка подправить Ваши подсчеты степеней свободы, можно получить некоторое "необходимое условие жесткости", дающее иногда забавные результаты. В двумерии (палки на столе) взаимное положение $N$ точек определяется $2N-3$-мя независимыми уравнениями. На физическом уровне строгости это получается из того, что каждая вершина имеет две степени свободы, и из полного числа таких степеней надо вычесть три степени свободы (два сдвига и поворот) всех точек как целого.
Поэтому минимальное число палок (связей), необходимое для того, чтобы обеспечить жесткость системы, аккурат равно этому числу. Вопрос о независимости тонкий, и как его решить в общем случае я не придумал. Однако, уже этот почти тривиальный критерий позволяет получить кое-какие забавные результаты. Например, вот такая штука

$$ \begin{tikzpicture} \draw (-2,0) -- (-1,-1) -- (1,-1) -- (2,0) -- (1,1.3) -- (-1,1.3) -- cycle; \draw (-2,0) -- (2,0); \draw (-1,-1) -- (1,1.3); \draw (1,-1)--(-1,1.3); \fill (-2,0) circle (2pt); \fill (-1,-1) circle (2pt); \fill (1,-1) circle (2pt); \fill (2,0) circle (2pt); \fill (1,1.3) circle (2pt); \fill (-1,1.3) circle (2pt); % \fill (0,0.15) circle (2pt); % \fill (0.5,0.725) circle (2pt); \end{tikzpicture}$$

жесткая. А такая

$$\begin{tikzpicture} \draw (-2,0) -- (-1,-1) -- (1,-1) -- (2,0) -- (1,1.3) -- (-1,1.3) -- cycle; \draw (-2,0) -- (2,0); \draw (-1,-1) -- (1,1.3); \draw (1,-1)--(-1,1.3); \fill (-2,0) circle (2pt); \fill (-1,-1) circle (2pt); \fill (1,-1) circle (2pt); \fill (2,0) circle (2pt); \fill (1,1.3) circle (2pt); \fill (-1,1.3) circle (2pt); % \fill (0,0.15) circle (2pt); \fill (0.5,0.725) circle (2pt); \end{tikzpicture}$$

не жесткая. А такая (из дополнительного узла выходят четыре палки)

$$ \begin{tikzpicture} \draw (-2,0) -- (-1,-1) -- (1,-1) -- (2,0) -- (1,1.3) -- (-1,1.3) -- cycle; \draw (-2,0) -- (2,0); \draw (-1,-1) -- (1,1.3); \draw (1,-1)--(-1,1.3); \fill (-2,0) circle (2pt); \fill (-1,-1) circle (2pt); \fill (1,-1) circle (2pt); \fill (2,0) circle (2pt); \fill (1,1.3) circle (2pt); \fill (-1,1.3) circle (2pt); \fill (0,0.15) circle (2pt); % \fill (0.5,0.725) circle (2pt); \end{tikzpicture}$$

опять жесткая. Как учит уважаемый mihaild, патологические случаи, когда графа мало и надо изучать метрику, имеют меру ноль, и большую часть того что пригодно в народном хозяйстве можно охватить графами.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1717248 писал(а):

Как учит уважаемый mihaild, патологические случаи, когда графа мало и надо изучать метрику, имеют меру ноль, и большую часть того что пригодно в народном хозяйстве можно охватить графами.

Сильно сомневаюсь, что он учит такому.
Ибо кривошипно-шатунные механизмы широко применяются в народном хозяйстве, в каждом ДВС и не только

Да, я расширил тут тему стартовую тему топика, где скользящие связи не применялись.

amon в сообщении #1717248 писал(а):

В двумерии (палки на столе) взаимное положение $N$ точек определяется $2N-3$-мя независимыми уравнениями. На физическом уровне строгости это получается из того, что каждая вершина имеет две степени свободы, и из полного числа таких степеней надо вычесть три степени свободы (два сдвига и поворот) всех точек как целого.

Если посчитать, как "палки движутся", а соединения ограничивают, то через формулу подвижности в двумерии, условие на жёсткость:
$3(N-1-j)+j \le 0$, где $N$ - количество ребер, $j$ - количество соединений, "шарниров".

Можно перейти от количества шарниров к количеству вершин и их степеням:

EUgeneUS в сообщении #1717118 писал(а):

$3(e-1) - \sum_v 2(d_v - 1)$.

тут $e$ - количество ребер, $d_v$ - степень вершины $v$, суммирование по всем вершинам.

-- 05.02.2026, 11:00 --

Можно ли свести одно к другому - не знаю

-- 05.02.2026, 11:10 --

В 3D в условиях стартового поста тоже можно сделать формулу подвижности.

1. Количество степеней свободы несвязанных ребер: $6N$
2. Движение системы, как единого целого не интересует: $6(N-1)$
3. Вращательное движение ребер вокруг оси ребра не интересует, итого степеней свободы: $6(N-1)-N = 5(N-1)-1$

4. Каждое соединение сохраняет 3 вращательные степени свободы, и запрещает три поступательных.

5. Итого, формула мобильности и условие жёсткости:

$5(N-1)-1 - 3j = 5N- 6 - \sum_v 3(d_v - 1) \le 0$

Интересно, что по этой формуле мобильность треугольника ноль, а не отрицательное число. И это хорошо.

Понятно, что формулы мобильности не учитывают вырождение системы связей, в частности появление подвижности, когда формула подвижности запрещает.
Но вот таких случаев количество меры ноль. Но они-то как раз могут быть интересны.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1717276 писал(а):

Можно ли свести одно к другому - не знаю

mihaild в сообщении #1717138 писал(а):

$\sum d_v = 2e$

Ну и понятно $\sum_v 1 = V$.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1717276 писал(а):

В 3D в условиях стартового поста тоже можно сделать формулу подвижности...
$5(N-1)-1 - 3j = 5N- 6 - \sum_v 3(d_v - 1) \le 0$

У меня в трехмерии как-то проще получается, если считать степени свободы вершин:

$$N\ge 3j-6$$

в Ваших обозначениях: $N$ - число ребер (палок), $j$ - число вершин.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1717289 писал(а):

mihaild в сообщении #1717138

писал(а):
$\sum d_v = 2e$ Ну и понятно $\sum_v 1 = V$.

Спасибо!

amon в сообщении #1717295 писал(а):

в Ваших обозначениях: $N$ - число ребер (палок), $j$ - число вершин.

Нет, нет. В моих обозначениях $j$ - количество соединений, "шарниров".
А для количества вершин предлагаю продолжать использовать $V$.
Тогда

$$N\ge 3V-6$$

И формула подвижности в виде: $5N- 6 - \sum_v 3(d_v - 1) \le 0$ сводится к нему ровно тем же способом, который показал уважаемый mihaild выше для плоского случая.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1717313 писал(а):

В моих обозначениях $j$ - количество соединений, "шарниров".

У меня все проще. Все шарниры стоят в вершинах графа. Осталось разобраться с независимостью связей, и тривиальная часть будет закончена. Нетривиальную можно оставить математикам, надо же и им чем-нибудь развлечься;)

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1717317 писал(а):

У меня все проще. Все шарниры стоят в вершинах графа.

Так и у меня шарниры стоят в вершинах графа.
Разница в том, что
а) Вы рассматриваете вершины, как материальные точки, которые двигаются, а ребра - как связи, ограничивающие движение.
б) А а я использую подход, в котором двигаются ребра, как твердые тела, а соединения в вершинах - это связи, которые ограничивают движение.

Для подвижности графа формулы получаются одинаковые, что и показали выше.
Но для других типов соединений вариант а) как-то слабо подходит, а вариант б) продолжает работать.

amon в сообщении #1717317 писал(а):

Осталось разобраться с независимостью связей, и тривиальная часть будет закончена.

Так это и есть самое нетривиальное

1. для каких графов формула подвижности показывает положительную подвижность, но существуют неподвижные вложения?
1.2. как найти такие вложения?

2. для каких графов формула подвижности показывает нулевую или отрицательную подвижность, но существуют подвижные вложения?
2.1. как найти такие вложения?

[mihaild]

3. Верно ли, что подвижность регулярных вложений совпадает с предсказанной по формуле?

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1717321 писал(а):

3. Верно ли, что подвижность регулярных вложений совпадает с предсказанной по формуле?

Очевидно, что в общем случае - нет. Что печально.

Назовём граф "графом с избыточной жёсткостью", если формула подвижности для него даёт отрицательное значение.
Очевидно, такие графы существуют, примеры: полный граф порядка четыре на плоскости и полный граф порядка пять в 3D.

Если граф содержит подграф с избыточной жёсткостью, то формула подвижности будет занижать количество степеней свободы для регулярных вложений.
Гипотеза: если граф не содержит подграфы с избыточной жёсткостью, то формула подвижности будет правильно указывать количество степеней свободы для регулярных вложений.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1717319 писал(а):

Так это и есть самое нетривиальное

Есть, на мой взгляд, относительно простая задачка, которая, возможно, имеет относительно простое решение. Рассмотрим двумерную систему. Пусть $N=2V-3.$ В каких случаях такая конструкция жесткая?

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1717450 писал(а):

Рассмотрим двумерную систему. Пусть $N=2V-3.$ В каких случаях такая конструкция жесткая?

Случаев-то несколько может быть...

1. Граф не содержит подграфов с избыточной жёсткостью. Например, полного графа порядка четыре.
Тогда все регулярные вложения должны быть жёсткими. (Гипотеза)

2. И нет нерегулярных подвижных вложений графа в 2D.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1717459 писал(а):

Граф не содержит подграфов с избыточной жёсткостью.

Это похоже на правду. Как-нибудь формализовать бы.

[mihaild]

amon в сообщении #1717493 писал(а):

Как-нибудь формализовать бы

Вроде же всё формально? Для любого подграфа $N \leq 2V - 3$.

[amon]

mihaild в сообщении #1717494 писал(а):

Вроде же всё формально?

Не то слово использовал. Упростить, что бы не перебирать все подграфы. Но и так неплохо. Я лично удовлетворен.
1. Необходимое условие жесткости: для жесткости необходимо, чтобы для числа палок $N$ и вершин получившегося сооружения $V$ выполнялось соотношение $N\ge 2V-3$
2. Достаточное условие жесткости: $N=2V-3$ и для любого подграфа данного графа $N'\le2V'-3$.
На трехмерию обобщается легко. Всем спасибо!