Преподавание разных вопросов линейной алгебры

[nnosipov]

Просто берем учебники по линейной алгебре (Воеводин, Тыртышников, Беклемишев) и смотрим, как там излагаются эти вопросы. Авторы этих учебников известные люди именно в прикладной линейной алгебре. И после этого соотносим свои революционные идеи с реальностью.

Да, еще можно заглянуть в задачник Прасолова "Задачи и теоремы линейной алгебры", если захочется посмотреть на какие-нибудь нетривиальные тождества с определителями.

-- Вс ноя 16, 2025 19:24:37 --

Red_Herring в сообщении #1709504 писал(а):

А вот обсуждая обучение следует иметь в виду целевую аудиторию.

В общем, да. Но это в идеале, обычно целевая аудитория такова, что она толком не знает, чего она хочет. (У меня в последнее время так, по крайней мере.)

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709497 писал(а):

Ну, Вам, может быть, и не нужны. Но это совсем не означает, что другим тоже не нужны.

Никому не нужны. Похоже, что вы не поняли о чем речь. Если все собственные числа симметричной матрицы положительны, то все очевидно, и никакие критерии Сильвестра с минорами не нужны.

[Alex Krylov]

IMHO, это все равно, что отказаться от упоминания характеристического полинома, а говорить лишь о "численных методах расчета собственных значений матриц"

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1709501 писал(а):

А я вот учу студентов вычислять определитель так: сначала с помощью элементарных преобразований сделай в какой-нибудь строке/столбце много нулей (все нули, кроме одного), потом разложи по этой строке/столбцу (то есть, понизь порядок определителя), и так делай, пока не получишь определитель 2-го порядка, который вычисли по формуле. Ну, кто объяснит мне, почему это плохой алгоритм? (Для учебных-то задач, по крайней мере.)

Замечательный алгоритм. Только это, скорее, Гаусс

[nnosipov]

dsge в сообщении #1709512 писал(а):

Никому не нужны.

Э, решайте-ка за себя, товарищ революционер.

Red_Herring в сообщении #1709518 писал(а):

Только это, скорее, Гаусс

Но про разложение определителя по строке/столбцу рассказать придется. А тут некоторые этого в упор не хотят видеть.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1709525 писал(а):

Но про разложение определителя по строке/столбцу рассказать придется

Вообще-то нет: нужно просто объяснить, что делать, когда в столбце или строке только один ненулевой элемент. Но тут не очень очевидно, что обнуляя все элементы кроме одного, получим то же самое вне зависимости от выбора этого элемента. Но я не читал линейную алгебру лет 40, а математикам никогда,

[nnosipov]

Red_Herring
Здесь нужно сначала договориться, как мы определяем определитель. А там уже видно будет, трудно или легко будет доказывать его свойства. Вон Кострикин определитель определял рекуррентно (через разложение по фиксированной строке). А я учился на другом потоке, у нас было по Курошу, явной формулой.

[Combat Zone]

nnosipov в сообщении #1709530 писал(а):

А я учился на другом потоке, у нас было по Курошу, явной формулой.

А нам - как антисимметричную нормированную n-линейную форму :) ничего, нам нравилось.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1709530 писал(а):

Red_Herring
Здесь нужно сначала, как мы определяем определитель. А там уже видно будет, трудно или легко будет доказывать его свойства. Вон Кострикин определитель определял рекуррентно (через разложение по фиксированной строке). А я учился на другом потоке, у нас было по Курошу, явной формулой.

При преподавании алгебры (и в частности линейной алгебры) строго доказывается все или почти все. А вот при преподавании многих разделов анализа, даже математикам, это невозможно, и вместо доказательств--правдоподобные рассуждения. Поэтому мне вовсе не очевидно, что и в преподавании линейной алгебры всегда нужны строгие доказательства.

[nnosipov]

Red_Herring в сообщении #1709534 писал(а):

Поэтому мне вовсе не очевидно, что и в преподавании линейной алгебры всегда нужны строгие доказательства.

Наверное, будущим математикам нужно все строго доказывать (им же нужны образцы для подражания), а остальным --- по обстоятельствам. Зависит от целевой аудитории.

-- Вс ноя 16, 2025 22:04:38 --

Combat Zone в сообщении #1709532 писал(а):

А нам - как антисимметричную нормированную n-линейную форму :) ничего, нам нравилось.

А это, кстати, поздний Кострикин, несоветский уже. А советский ("Ведение в алгебру" 1977 года) именно что рекуррентно.

[F111mon]

В Википедии, кстати, написано, что в 2010 году предложили оптимизацию метода Крамера, с количеством операций $O(n^3)$, и теперь он не хуже Гаусса.

[RIP]

dsge в сообщении #1709399 писал(а):

lel0lel в сообщении #1709172 писал(а):

Это ведь шутка, правда?

lel0lel в сообщении #1709185 писал(а):

Неужели разложение Лапласа теперь бесполезная тема.

Абсолютно серьезно. Бесполезная тема как в теоретической математике (нигде больше не используется), так и в прикладной. Если вычислять этим методом детерминант матрицы общего положения размерности 25 на 25 (небольшая по нынешним временам ) всеми современными суперкомпьютерами, то оставшейся жизни Вселенной будет недостаточно.
В тоже время, чтобы привести к треугольному виду матрицу размерности 100500 на 100500 на приличном ноутбуке потребуется менее секунды.

Тоже касается метода Крамера - неэффективен и бесполезен (в остальной математике не используется (почти)). Специалисты по линейному программированию, исследованию операций и балансовым моделям Леонтьева еще 80 лет назад сообразили, что метод исключения Гаусса-Жордана является только возможностью решать линейные системы из 25-ти уравнений, тогда это считалось "большие системы".
Хотя, возможно, Гаусс с Жорданом это сообразили 200 лет ранее.

Туда же можно добавить вычисление обратной матрицы с помощью миноров.

Эти результаты нужны не только (и даже не столько) для численных вычислений.

Как уже написали, из правила Крамера следует весьма полезное утверждение: Если $x$ удовлетворяет системе $Ax=b$, где $A\in\mathbb{Z}^{n\times n}$, $b\in\mathbb{Z}^n$, то $\det(A)x\in\mathbb{Z}^n$. И явная формула через определители бывает полезна для оценки величины решения.

А из явной формулы для обратной матрицы следует важный факт, что целочисленная квадратная матрица имеет целочисленную обратную тогда и только тогда, когда её определитель равен $\pm1$.

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709525 писал(а):

Э, решайте-ка за себя, товарищ революционер.

Аа, за меня уже решили давно Кострикин с Маниным и Дьедонне, господин реакционер. Они на моей стороне, не нашлось места в их учебниках вычислениям определителей разложением по строке.

nnosipov в сообщении #1709509 писал(а):

Просто берем учебники по линейной алгебре (Воеводин, Тыртышников, Беклемишев) и смотрим, как там излагаются эти вопросы. Авторы этих учебников известные люди именно в прикладной линейной алгебре. И после этого соотносим свои революционные идеи с реальностью.

"Известные люди именно в прикладной линейной алгебре" прекрасно понимали бессмысленность вычисления определителя разложением по строке с прикладной точки зрения, но надо принимать во внимание, что в советское время учебники, особенно для младших курсов, должны были строго следовать программе, утвержденной министерством образования СССР. Поэтому и появлялись такие темы в учебниках, написанных прикладниками. Мех-мату позволялись вольности, отдельно взятым личностям, в результате появлялись такие инновационные учебники, как Кострикина-Манина, Зорича, Арнольда и др.

RIP в сообщении #1709682 писал(а):

Как уже написали, из правила Крамера следует весьма полезное утверждение: Если $x$ удовлетворяет системе $Ax=b$, где $A\in\mathbb{Z}^{n\times n}$, $b\in\mathbb{Z}^n$, то $\det(A)x\in\mathbb{Z}^n$. И явная формула через определители бывает полезна для оценки величины решения.

А из явной формулы для обратной матрицы следует важный факт, что целочисленная квадратная матрица имеет целочисленную обратную тогда и только тогда, когда её определитель равен $\pm1$.

Евгений Машеров в сообщении #1709498 писал(а):

Записываем её решения, как решения некоей системы линейных уравнений, показываем (через разложение), что определитель, стоящий в знаменателе, может быть один или минус один, а в числителе определитель целочисленной матрицы (соответственно, целое число), и понимаем, что целочисленность у нас получается без дополнительных усилий.

Теория чисел, целочисленное программирование, что-то дискретное, и если еще матрицы разреженные (содержат много нулей), то да, возможно будет какая-то польза от формулы Крамера. В теории графов, наверняка, может быть подобная ситуация.

Однако, вопрос стоял надо ли знать это всем. В вышеуказанных учебниках нет этих тем (у Дьедонне, правда, есть формула Крамера). Аспирант или специалист, работающие в этих областях, могут освоить всю эту технику за 1-2 дня, при условии, что до того ничего не знали про это.

Евгений Машеров в сообщении #1709508 писал(а):

А чтобы понять, что собственных значений n, надо воспользоваться правилом Крамера и расписать определитель.

При приведении матрицы к Жорданновой форме это получается даром, и даже больше.

пианист в сообщении #1709482 писал(а):

Заморочно. Пара лишних действий.
В уме легче посчитать (на лекции, или читая учебник) определитель, чем выражать, а потом подставлять.

В уме прикинул, выписать определители, перемножить диагонали, вычесть одно из другого, заменить два раза столбец определителя, повторить, разделить определители на определитель.

Итого у меня получилось 12 флопсов, предел возможности человеческой оперативной памяти. В тоже время, решая подстановкой, тратим только 6 флопсов, т.е. в 2 раза меньше.

[Mikhail_K]

dsge в сообщении #1710182 писал(а):

Аа, за меня уже решили давно Кострикин с Маниным и Дьедонне, господин реакционер. Они на моей стороне, не нашлось места в их учебниках вычислениям определителей разложением по строке.

Как я понимаю, в книге Кострикина-Манина понятие и свойства определителя просто предполагаются известными, и поэтому не рассматриваются. В учебнике Кострикина "Введение в алгебру" разложение по строке и формула Крамера, конечно, присутствуют.

Мне сложно представить теорию матриц и определителей без формулы разложения по строке. Конечно, при её изложении не стоит её представлять как инструмент для практического нахождения определителей, как и формула Крамера - это просто математическое утверждение, а не практический метод. Цель учебных примеров на эту тему - помочь студенту свыкнуться с изучаемыми понятиями, покрутить-повертеть их в голове, а вовсе не научиться вычислять что-то практическое. Ну и я согласен, что таких примеров не должно быть много, и умение решать системы методом Крамера не должно представляться как какое-то ключевое умение; а вот чуть-чуть таких примеров - никак не помешает.

[dgwuqtj]

dsge
А как без полиномиальной формулы получить, скажем, непрерывность определителя как функции от матрицы? Я не про конкретно разложение по строке, формула с явной суммой по перестановками даже лучше.