Дилетантские вопросы по линейной алгебре

[dsge]

Евгений Машеров в сообщении #1708979 писал(а):

строить характеристический полином, чтобы находить его корни, уже не практикуется

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений и вычисление определителя разложением по строке можно добавить к бесполезным или даже вредным темам, которые иногда появляются и в современных учебниках.

[lel0lel]

dsge в сообщении #1709167 писал(а):

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений и вычисление определителя разложением по строке можно добавить к бесполезным или даже вредным темам, которые иногда появляются и в современных учебниках.

Это ведь шутка, правда?

[Sender]

lel0lel в сообщении #1709172 писал(а):

Это ведь шутка, правда?

Для второго-третьего порядка, может, и шутка, а потом уже не так смешно.

[lel0lel]

Так одно дело задачники, другое учебник. Неужели разложение Лапласа теперь бесполезная тема.

[Евгений Машеров]

Просто надо различать теоретический анализ и практическую вычислительную процедуру. Расчёт по правилу Крамера, как и определителя разложением по строке, позволяет понять его смысл. Но вычислять на практике процедурой сложности $O(n!)$ не стоит. Есть куда более быстрые способы решения уравнений и вычисления определителей (они, определители, например, в статистике появляются, в частности в формуле для многомерного нормального распределения). Из возможности считать по правилу Крамера можно вывести некоторые свойства решения (без собственно решения). Вот есть такая транспортная задача. Где из того, что определитель некоей матрицы и её подматриц равен $\pm 1$, следует, что решение ТЗ целочисленное. Но собственно решается ТЗ не через "правило Крамера".

[Anton_Peplov]

sydorov в сообщении #1709153 писал(а):

Если я правильно понимаю, прообраз (новый для меня термин) нуля - это ядро линейного оператора.

Да, ядро линейного оператора - это прообраз нуля. По определению.

Прообраз - это очень простая вещь. Рассмотрим функцию $f \colon X \to Y$, где $X, Y$ - произвольные множества (не обязательно линейные пространства или еще какие-то стандартные структуры). Зафиксируем элемент $x_0 \in X$. Элемент $y \in Y$ такой, что $f(x_0) = y$, называется образом элемента $x_0$. С другой стороны, множество $M$ всех $x \in X$ таких, что $f(x) = y$, называется прообразом элемента $y$. Прообраз может состоять из нескольких элементов или быть пустым. Например, рассмотрим $f(x) = x^2, \mathbb R \to \mathbb R$. Прообразом элемента $y = 1$ будет, очевидно, множество $\{-1, 1\}$. Прообраз любого отрицательного числа будет пустым. А, например, для функции, отображающей все $\mathbb R$ в единицу, прообразом единицы будет все $\mathbb R$, а прообразы всех остальных чисел будут пусты.

Функция $f \colon X \to Y$ взаимно-однозначна, когда прообраз каждого элемента $y \in Y$ состоит ровно из одного элемента $x \in X$. У термина "взаимно-однозначная функция" есть короткий и красивый синоним: биекция. Изоморфизм - это линейная биекция между линейными пространствами.

[sydorov]

Уважаемый Anton_Peplov,

Спасибо. Очень прозрачное объяснение. Действительно, совсем не сложное понятие.

Anton_Peplov в сообщении #1709216 писал(а):

У термина "взаимно-однозначная функция" есть короткий и красивый синоним: биекция. Изоморфизм - это линейная биекция между линейными пространствами.

Как можно было о нем забыть ). Функция является биективной, если она одновременно сюръективна и инъективна. Эти термины мне ясны.

(Оффтоп)

Из крайне неудачного опыта изучения книги Андерсон "Дискретная математика и комбинаторика". Бросил. Был недостаточно подготовлен. Проработал только четвертую часть. Ушло чудовищно много времени.

A. $f_1(\vec v) = \vec v;$

$\vec v = x\vec i + y\vec j + z\vec k.$

1) $f_1(\vec v) = xf_1(\vec i) + yf_1(\vec j) + zf_1(\vec k).$

Можно ли сказать, что координаты $\vec v$ не меняются из-за свойства линейности автоморфизма?

Базис $f_1(\vec i), f_1(\vec j), f_1(\vec k): \vec i, \vec j, \vec k.$

ЛО не изменяет базис.

2) Координаты вектора $\vec v$ в базисе $f_1(\vec i), f_1(\vec j), f_1(\vec k): (x, y, z).$

3) Координаты вектора $f_1(\vec v)$ в базисе $f_1(\vec i), f_1(\vec j), f_1(\vec k): (x, y, z).$



Б. $f_2(\vec v) = - \vec v$

1) $f_2(\vec v) = - xf_2(\vec i) - yf_2(\vec j) - zf_2(\vec k) = - \vec v.$
Сначала показалось, что координаты изменились.

Базис $f_2(\vec i), f_2(\vec j), f_2(\vec k): - \vec i, - \vec j, - \vec k.$

2) Координаты вектора $\vec v$ в базисе $f_2(\vec i), f_2(\vec j), f_2(\vec k): (-x, -y, -z).$

3) Координаты вектора $f_2(\vec v)$ в базисе $f_2(\vec i), f_2(\vec j), f_2(\vec k): (x, y, z).$



Оставшиеся упражнения проделаю.

Разрешите задать Вам вопрос. В предыдущих сообщениях Вы привели несколько геометрически наглядных примеров автоморфизмов.
А возможно представить геометрически наглядно изоморфизм? У меня не получилось придумать, исходя из моих знаний.

[Anton_Peplov]

Упражнения потом проверю.

sydorov в сообщении #1709258 писал(а):

В предыдущих сообщениях Вы привели несколько геометрически наглядных примеров автоморфизмов.
А возможно представить геометрически наглядно изоморфизм?

Если уж Вы так хотите наглядную аналогию, то вообразите - ну, не два трехмерных координатных пространства, это сложно, а просто две плоскости. Вспомните мою аналогию с двумя базисами и берите первый базис в одной плоскости, а второй - в другой. Вот Вам и будет изоморфизм между двумя плоскостями, т.е. между двумерными линейными пространствами.

Но на самом деле в этом нет особой необходимости, потому что разница между авто- и изоморфизмом чисто формальная. И сейчас я объясню, почему.

Строго говоря, разница, конечно, есть. Автоморфизм - это изоморфизм пространства с самим собой. А бывает ведь изоморфизм с другими пространствами. Например, рассмотрим $\mathbb R$ и $\mathbb R^2$ как линейные пространства с естественными операциями сложения и умножения на скаляр. Все скаляры берутся из $\mathbb R$, в $\mathbb R^2$ сложение покоординатное: $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$. В пространстве $\mathbb R^2$ есть подпространство $(\mathbb R, 0) =\{(x, 0) | x \in \mathbb R\}$, состоящее из всех пар, второй элемент которых равен нулю. Также как есть подпространство $(0, \mathbb R) =\{(0, y) | y \in \mathbb R\}$, состоящее из всех пар, первый элемент которых равен нулю.

Упражнение.
1) покажите, что $(\mathbb R, 0)$ и $(0, \mathbb R)$ - это подпространства линейного пространства $\mathbb R^2$
2) постройте изоморфизм между $(\mathbb R, 0)$ и $(0, \mathbb R)$
3) постройте изоморфизм между $(\mathbb R, 0)$ и $\mathbb R$, а также между $(0, \mathbb R)$ и $\mathbb R$.

Так вот. По построению, $\mathbb R$, и $(0, \mathbb R)$, и $(\mathbb R, 0)$ - это три разных множества. Первое состоит из чисел, а второе и третье - из пар чисел. Причем в одном первый элемент пары тождественно равен нулю, а в другом - второй. Но эти линейные пространства изоморфны. А что это значит - изоморфны? Формально только то, что между ними есть линейная биекция. А на самом деле много большее.

Это большее можно выразить простой фразой: наука о линейных пространствах изучает те и только те свойства, которые сохраняются при их изоморфизме. Пусть есть изоморфизм $f \to X \to Y$. Размерность пространства $X$ равна $n$? Значит, размерность $Y$ такая же. Выделили некоторое подпространство $X' \subset X$ размерности $m < n$? Его изоморфный образ $f(X') \subset Y$ тоже будет подпространством $Y$ размерности $m$. Определили некоторый линейный оператор $g \colon X \to X$, вычислили его ядро $\operatorname{Ker} g$, образ $\operatorname{Im} g$, ранг $r$? Значит, есть точно такой же линейный оператор $h \colon Y \to Y$, причем для любого $y \in Y$ имеем $h(y) = f(g(x))$, где $y = f(x)$, и ранг $h$ будет тоже $r$, и $\operatorname{Ker} h = f(\operatorname{Ker} g)$, и $\operatorname{Im} h = f(\operatorname{Im} g)$ И т.д. и т.п. Все эти факты можно строго доказать (при желании займитесь).

То есть, изоморфные линейные пространства имеют одни и те же "линейно-пространственные" свойства. А не "линейно-пространственные" свойства (например, из чисел оно там состоит, из пар или из чертей в ступах) нам в рамках этой науки не интересны, мы от них отвлекаемся. Так что получается? То, что с точки зрения науки о линейных пространствах изоморфные пространства - это в некотором смысле одно и то же пространство. Ну как с точки зрения экономики монета в 10 рублей и купюра в 10 рублей - это одинаковое количество денег, а их физические различия экономику не интересуют.

Кстати, этот подход - выделять "главную биекцию" и изучать только те свойства, которые сохраняются при этой биекции - распространяется далеко за пределы теории линейных пространств. Например, у пространств со скалярным произведением (евклидовых, унитарных и других) есть свой изоморфизм, более сложный, чем у линейных пространств. И у аффинных пространств свой. И эти разделы линейной алгебры изучают те свойства, которые сохраняются этими изоморфизмами. Линейной алгеброй дело не ограничивается: например, теория групп изучает свойства, которые сохраняются изоморфизмом групп. Там тоже можно считать, что изоморфные группы - это одна и та же группа. И даже алгеброй дело не огранивается. Например, метрическая геометрия изучает только те свойства, которые сохраняются при изоморфизме метрических пространств, он же изометрия (это биекция, сохраняющая расстояния). В топологии тоже есть свой изоморфизм, он называется гомеоморфизм, и предмет топологии - свойства, которые он сохраняет. Но это уже в сторону разговор, Вам пока рано вдаваться в такие высокие обобщения.

P.S. Вам, sydorov, на редкость приятно что-то объяснять. Вы понятливы и старательны.

[svv]

Anton_Peplov в сообщении #1709216 писал(а):

Прообраз - это очень простая вещь. Рассмотрим функцию $f \colon X \to Y$, где $X, Y$ - произвольные множества (не обязательно линейные пространства или еще какие-то стандартные структуры). Зафиксируем элемент $x_0 \in X$. Элемент $y \in Y$ такой, что $f(x_0) = y$, называется образом элемента $x_0$. С другой стороны, множество $M$ всех $x \in X$ таких, что $f(x) = y$, называется прообразом элемента $y$. Прообраз может состоять из нескольких элементов или быть пустым.

Распространена и несколько иная терминология. Рассмотрим функцию (отображение) $f: X\to Y$. Пусть $y\in Y$.
$\bullet$ Прообразом элемента $y$ называется любой элемент $x\in X$, такой, что $f(x)=y$. Т.е. «$x$ есть прообраз $y$» — то же, что «$y$ есть образ $x$», или $f(x)=y$. У данного $y$ может быть один прообраз, несколько или ни одного.
$\bullet$ Полным прообразом элемента $y$ называется множество $A$ таких элементов $x\in X$, что $f(x)=y$. Это множество может содержать один элемент, больше одного или быть пустым. Обозначение: $A=f^{-1}(y)$.
$\bullet$ Прообразом множества $B\subset Y$ называется множество $A$ таких элементов $x\in X$, что $f(x)\in B$. Обозначение: $A=f^{-1}B$.

[Anton_Peplov]

svv в сообщении #1709262 писал(а):

Распространена и несколько иная терминология.

Спасибо за уточнение. Правда, не помню, чтобы где-то встречал эту иную терминологию, но Вам верю. Вы больше учебников видели. Может, даже на порядок.

[svv]

Anton_Peplov, хорошо. Ниже использую Вашу терминологию.

sydorov в сообщении #1709153 писал(а):

Для доказательства нужно убедиться, что ЛО - взаимно однозначный.

Пусть $f$ произвольный линейный оператор, действующий из пространства $V \to V$ на $\vec 0.$

$\exists ! \vec 0 \in V, \vec 0 \in \ker(f)$

Так как по утверждению $\ker(f) = \vec 0,$
заключаем, что $\operatorname{Im} f = V,$ а это значит, что для оператора $f$ существует обратный.

Отображение $f: X\to Y$ биективно, если прообраз каждого элемента $y\in Y$ содержит ровно один элемент.

Но в Вашем случае линейного оператора $f: V\to V$ есть специфика. Пусть мы хотим показать биективность $f$. Тогда достаточно проверить, что прообраз нулевого вектора есть $\{0\}$. (Это гораздо проще, чем перебирать все элементы $V$!) Например, если в конкретном базисе оператор представляется матрицей $A$, достаточно убедиться, что $A$ невырождена (или, равносильно, что система $Ax=0$ имеет лишь нулевое решение).

Давайте разберёмся, почему этого достаточно. Попробуйте ответить на два вопроса:
1) Почему не надо проверять, что у любого вектора прообраз содержит не более одного элемента? Почему достаточно это проверить лишь для нулевого вектора?
2) Почему не надо проверять, что у любого вектора прообраз непуст?