Преподавание разных вопросов линейной алгебры

[dsge]

Ende
Выделено из темы «Дилетантские вопросы по линейной алгебре»

Евгений Машеров в сообщении #1708979 писал(а):

строить характеристический полином, чтобы находить его корни, уже не практикуется

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений и вычисление определителя разложением по строке можно добавить к бесполезным или даже вредным темам, которые иногда появляются и в современных учебниках.

[lel0lel]

dsge в сообщении #1709167 писал(а):

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений и вычисление определителя разложением по строке можно добавить к бесполезным или даже вредным темам, которые иногда появляются и в современных учебниках.

Это ведь шутка, правда?

[Sender]

lel0lel в сообщении #1709172 писал(а):

Это ведь шутка, правда?

Для второго-третьего порядка, может, и шутка, а потом уже не так смешно.

[lel0lel]

Так одно дело задачники, другое учебник. Неужели разложение Лапласа теперь бесполезная тема.

[Евгений Машеров]

Просто надо различать теоретический анализ и практическую вычислительную процедуру. Расчёт по правилу Крамера, как и определителя разложением по строке, позволяет понять его смысл. Но вычислять на практике процедурой сложности $O(n!)$ не стоит. Есть куда более быстрые способы решения уравнений и вычисления определителей (они, определители, например, в статистике появляются, в частности в формуле для многомерного нормального распределения). Из возможности считать по правилу Крамера можно вывести некоторые свойства решения (без собственно решения). Вот есть такая транспортная задача. Где из того, что определитель некоей матрицы и её подматриц равен $\pm 1$, следует, что решение ТЗ целочисленное. Но собственно решается ТЗ не через "правило Крамера".

[dsge]

lel0lel в сообщении #1709172 писал(а):

Это ведь шутка, правда?

lel0lel в сообщении #1709185 писал(а):

Неужели разложение Лапласа теперь бесполезная тема.

Абсолютно серьезно. Бесполезная тема как в теоретической математике (нигде больше не используется), так и в прикладной. Если вычислять этим методом детерминант матрицы общего положения размерности 25 на 25 (небольшая по нынешним временам ) всеми современными суперкомпьютерами, то оставшейся жизни Вселенной будет недостаточно.
В тоже время, чтобы привести к треугольному виду матрицу размерности 100500 на 100500 на приличном ноутбуке потребуется менее секунды.

Тоже касается метода Крамера - неэффективен и бесполезен (в остальной математике не используется (почти)). Специалисты по линейному программированию, исследованию операций и балансовым моделям Леонтьева еще 80 лет назад сообразили, что метод исключения Гаусса-Жордана является только возможностью решать линейные системы из 25-ти уравнений, тогда это считалось "большие системы".
Хотя, возможно, Гаусс с Жорданом это сообразили 200 лет ранее.

Туда же можно добавить вычисление обратной матрицы с помощью миноров.

[lel0lel]

dsge
Спасибо за развернутый ответ. Я с таким подходом категорически не согласен. В первую очередь эти методы дают мощный инструмент для доказательств других результатов. Изучать их необходимо. Считать определители на практике, конечно, не надо. Для закрепления материала, несколько заданий не в очень больших размерностях очень желательно.

[dgwuqtj]

dsge в сообщении #1709399 писал(а):

Бесполезная тема как в теоретической математике (нигде больше не используется)

Вполне себе используется. Например, можно по индукции вычислять определители вида

$$\begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 & \ldots \\ c & a & b & 0 & \ldots \\ 0 & c & a & b & \ldots \\ 0 & 0 & c & a & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.$$

[dsge]

dgwuqtj в сообщении #1709414 писал(а):

dsge в сообщении #1709399 писал(а):

Бесполезная тема как в теоретической математике (нигде больше не используется)

Вполне себе используется. Например, можно по индукции вычислять определители вида

$$\begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 & \ldots \\ c & a & b & 0 & \ldots \\ 0 & c & a & b & \ldots \\ 0 & 0 & c & a & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.$$

Для диагональной матрицы тоже можно вычислять по индукции определители таким образом.
А для этой конкретной матрицы лучше использовать LU разложение и вычислить тот же определитель намного эффективнее и понятнее.

lel0lel в сообщении #1709404 писал(а):

В первую очередь эти методы дают мощный инструмент для доказательств других результатов.

Можете указать примеры других результатов, где эти методы дают мощный инструмент доказательств?

[lel0lel]

dsge в сообщении #1709417 писал(а):

Можете указать примеры других результатов, где эти методы дают мощный инструмент доказательств?

Да могу, но сейчас не буду вытаскивать узкоспециальные результаты. Если хотите, можете это считать, что я уклоняюсь от ответа. Отмечу только, что многие (если не все) результаты можно получить различными способами и подходами. Зачастую, одни проще, другие сложнее, но зато имеют какие-то обобщения. Вы бы стали отбирать у хирургов скальпель, если теперь у них есть лазерный аналог?

[dgwuqtj]

dsge в сообщении #1709417 писал(а):

А для этой конкретной матрицы лучше использовать LU разложение и вычислить тот же определитель намного эффективнее и понятнее.

Так тут уже думать надо, отдельно рассматривать случай $a = 0$ и т.д. Лично мне проще разложить по строке, к тому же это работает для произвольных коммутативных колец.

[nnosipov]

dsge в сообщении #1709417 писал(а):

Можете указать примеры других результатов, где эти методы дают мощный инструмент доказательств?

Легко. Вот есть квадратная система линейных уравнений, небольшого порядка (3-4, например), но ее коэффициенты зависят от параметра (или параметров). Вам нужно ее исследовать на разрешимость в зависимости от значений параметров. Вот здесь формулы Крамера вполне себе адекватный инструмент (в отличие от метода Гаусса).

Вы хотите запретить рассказывать студентам теорию определителей?

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709428 писал(а):

Вы хотите запретить рассказывать студентам теорию определителей?

Не хочу, речь шла не про теорию определителей, а про вычисление определителей разложением по строке. Линейная алгебра это самый первый курс и там должно быть только то, что встретится в последущих курсах, таких, как дифференциальные уравнения, функциональный анализ, численные методы, высшая алгебра, теория групп (Ли).

Никогда не читал курс линейной алгебры. Хуже того, не читал современных учебников линейной алгебры. Но если бы читал курс, то наверное определитель определял как произведение собственных значений.

Если заглянуть в учебники Кострикина и Манина или Дьендоне с таким же названием, то слово минор матрицы там нет. Т.е. для теоретиков всеобщая польза этого понятия сомнительна, а для прикладников просто вредна.

[dgwuqtj]

dsge в сообщении #1709444 писал(а):

если бы читал курс, то наверное определитель определял как произведение собственных значений.

То есть вы как-то предполагаете рассказать про собственные значения и их кратности до определителей? Мне это сложно представить. В любом случае, над произвольными кольцами так не получится, разве что ввести сначала универсальный определитель в $\mathbb Z[x_{ij}] \subset \mathbb Q(x_{ij})^{\mathrm{alg}}$, а тут как минимум конструкция алгебраического замыкания. И с основным свойством $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ будут сложности.

[dsge]

dgwuqtj в сообщении #1709448 писал(а):

И с основным свойством $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ будут сложности.

Этот факт можно доказывать, обращаясь к блочно-треугольным матрицам, не привлекая миноры. Можно использовать также для этого обобщенную декомпозицию Шура.
При приведении матриц к диагональной, Жордана, треугольной и др. формам обходятся без определителей.