Преподавание разных вопросов линейной алгебры

[пианист]

dsge
А как студентам предлагается решать системы два на два? Емнис они много где появляются в разных курсах.

[dsge]

пианист в сообщении #1709454 писал(а):

А как студентам предлагается решать системы два на два?

Метод исключения. Выразим х через у в одном уравнении и подставим в другое.

[nnosipov]

dgwuqtj в сообщении #1709448 писал(а):

И с основным свойством $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ будут сложности.

Так если определитель задан явной формулой (сумма $n!$ произведений), то какие проблемы? Понятно, что сначала нужно будет доказать простейшие свойства (правило сложения определителей в том числе), но это довольно просто (см. учебник Куроша "Курс высшей алгебры").

dgwuqtj в сообщении #1709448 писал(а):

То есть вы как-то предполагаете рассказать про собственные значения и их кратности до определителей? Мне это сложно представить. В любом случае, над произвольными кольцами так не получится, разве что ввести сначала универсальный определитель в $\mathbb Z[x_{ij}] \subset \mathbb Q(x_{ij})^{\mathrm{alg}}$, а тут как минимум конструкция алгебраического замыкания.

А вот с этим полностью согласен.

-- Вс ноя 16, 2025 16:46:10 --

dsge в сообщении #1709459 писал(а):

Метод исключения.

То есть, метод Гаусса? Хорошо. Вы не ответили: как будете решать задачи с параметром? При исключении неизвестных придется делить на коэффициенты, а они зависят от параметра и, следовательно, иногда будут нулевыми. Не замучаетесь рассматривать много-много случаев?

Или Вы предлагаете сразу рассматривать $\lambda$-матрицы и приводить матрицу к нормальной форме Смита (т.е. предполагать, что система линейный уравнений решается над евклидовым кольцом)? Не слишком ли это для 1-го семестра, когда как раз и решают подобные задачи?

Да, и Вы перепутали: обычно сначала идет курс высшей алгебры, а потом курс линейной алгебры.

-- Вс ноя 16, 2025 16:55:38 --

dsge в сообщении #1709444 писал(а):

Если заглянуть в учебники Кострикина и Манина или Дьендоне с таким же названием, то слово минор матрицы там нет.

Да ладно :) Откройте "Линейную алгебру и геометрию" Кострикина и Манина (1986) и по cntr-F поищите слово "минор".

[dgwuqtj]

nnosipov в сообщении #1709461 писал(а):

Так если определитель задан явной формулой (сумма $n!$ произведений), то какие проблемы?

Никаких проблем. Просто dsge предлагал вообще вводить определитель как произведение собственных чисел, без какой-то явной формулы от коэффициентов.

[nnosipov]

dgwuqtj
А, понял, что Вы имели ввиду.

dgwuqtj в сообщении #1709471 писал(а):

Просто dsge предлагал вообще вводить определитель как произведение собственных чисел

Бр-р-р. Конечно, красиво жить не запретишь, но... минусы очевидны, а плюсы как раз не видны.

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709461 писал(а):

Откройте "Линейную алгебру и геометрию" Кострикина и Манина (1986)

У меня только бумажная версия, в предметном указателе такого слова нет. Пробежался по главе полилинейная алгебра, это слова не попалось.

[пианист]

dsge в сообщении #1709459 писал(а):

Метод исключения

Заморочно. Пара лишних действий.
В уме легче посчитать (на лекции, или читая учебник) определитель, чем выражать, а потом подставлять.

[nnosipov]

dsge в сообщении #1709475 писал(а):

У меня только бумажная версия

Электронная версия гораздо удобнее, хотя бы с этой точки зрения. Посмотрите "Критерий Сильвестра", например, это точно есть в предметном указателе.

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709483 писал(а):

Электронная версия гораздо удобнее, хотя бы с этой точки зрения. Посмотрите "Критерий Сильвестра", например, это точно есть в предметном указателе.

Нашел в интернете только djv-версию, но там поиска нет. Похоже, что миноры в книге появляются только для того чтобы мельком упомянуть "Критерий Сильвестра".
Для этого критерия намного проще и понятнее оперировать собственными значениями матрицы, или приведением симметричной квадратичной формы к диагональному виду. Все очевидно и критерии не нужны.

[nnosipov]

dsge в сообщении #1709491 писал(а):

Нашел в интернете только djv-версию, но там поиска нет. Похоже, что миноры в книге появляются только для "Критерия Сильвестра".

Нет, не только. Найдите нормальный (распознанный) файл книги и убедитесь.

dsge в сообщении #1709491 писал(а):

Все очевидно и критерии не нужны.

Ну, Вам, может быть, и не нужны. Но это совсем не означает, что другим тоже не нужны.

[Евгений Машеров]

Набрал ответ, но увидел, что "тема закрыта"...

dsge в сообщении #1709399 писал(а):

Абсолютно серьезно. Бесполезная тема как в теоретической математике (нигде больше не используется), так и в прикладной. Если вычислять этим методом детерминант матрицы общего положения размерности 25 на 25 (небольшая по нынешним временам ) всеми современными суперкомпьютерами, то оставшейся жизни Вселенной будет недостаточно.
В тоже время, чтобы привести к треугольному виду матрицу размерности 100500 на 100500 на приличном ноутбуке потребуется менее секунды.

Тоже касается метода Крамера - неэффективен и бесполезен (в остальной математике не используется (почти)). Специалисты по линейному программированию, исследованию операций и балансовым моделям Леонтьева еще 80 лет назад сообразили, что метод исключения Гаусса-Жордана является только возможностью решать линейные системы из 25-ти уравнений, тогда это считалось "большие системы".
Хотя, возможно, Гаусс с Жорданом это сообразили 200 лет ранее.

Вот как раз в линейном программировании и правило Крамера, и вычисление определителя разложением по строке востребовано. Потому как общая задача ЛП не гарантирует целочисленности решения, и если "два землекопа и две трети" недопустимо, приходится использовать куда более сложные, чем симплекс-метод и более расходные по времени счёта (и, вообще говоря, неполиномиальные) методы. Но есть важная, хоть и частная постановка - транспортная задача. Записываем её решения, как решения некоей системы линейных уравнений, показываем (через разложение), что определитель, стоящий в знаменателе, может быть один или минус один, а в числителе определитель целочисленной матрицы (соответственно, целое число), и понимаем, что целочисленность у нас получается без дополнительных усилий. Конечно, считать в смысле получать численное значение не надо, нам надо выяснить свойства.
Но "Цель расчётов понимание, а не числа".
Для числовых расчётов правило Крамера малопригодно. И считать определитель рекурсивно через разложение и $O(n!)$ операций не стоит - "продолжай так далее, и получишь числа, которые язык отказывается произнести и рука записать" - а ведь древний автор лишь до 7! досчитал! Но никто не считает так. Хотя, если определитель нужен (в статистике для многомерных распределений появляется определитель корреляционной матрицы), лучше всё же привести к верхней треугольной и перемножить диагональные. Перемножать собственные значения - разве что они уже посчитаны. Из вычисление существенно дороже приведения к треугольному виду.
Но замечу, что собственные значения вводятся через характеристический полином, полученный из определителя $|A-\lambda I|=0$. И опять же - считать так уже не считают, но вот свойства с.ч. так выводятся.

[nnosipov]

А я вот учу студентов вычислять определитель так: сначала с помощью элементарных преобразований сделай в какой-нибудь строке/столбце много нулей (все нули, кроме одного), потом разложи по этой строке/столбцу (то есть, понизь порядок определителя), и так делай, пока не получишь определитель 2-го порядка, который вычисли по формуле. Ну, кто объяснит мне, почему это плохой алгоритм? (Для учебных-то задач, по крайней мере.)

[dsge]

nnosipov в сообщении #1709501 писал(а):

Ну, кто объяснит мне, почему это плохой алгоритм? (Для учебных-то задач, по крайней мере.)

Замечательный алгоритм, и не только для учебных задач. Большинство математических пакетов именно так и считают определители. Он как раз в какой-то степени эквивалентен приведению матрицы к треугольной форме.

Евгений Машеров в сообщении #1709498 писал(а):

Но замечу, что собственные значения вводятся через характеристический полином, полученный из определителя $|A-\lambda I|=0$

Собственные значения и собственные вектора определяются из равенства $Ax-\lambda x=0$, а равенство для определителя уже следствие этого определения.

[Red_Herring]

Правило Крамера очень удобно для маленьких матриц $2\times2$ (и в гораздо меньшей степени $3\times3$). А вот обсуждая обучение следует иметь в виду целевую аудиторию.

[Евгений Машеров]

dsge в сообщении #1709503 писал(а):

Собственные значения и собственные вектора определяются из равенства $Ax-\lambda x=0$, а равенство для определителя уже следствие этого определения.

А чтобы понять, что собственных значений n, надо воспользоваться правилом Крамера и расписать определитель.