О понятии центростремительной силы

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1655932 писал(а):

И соответственно на вопрос

drzewo в сообщении #1655815 писал(а):

И вот вопрос, который не все осиливают: а где же силы инерции, ведь у нас подвижная система координат?

будет ответом то, что хотя система координат у нас подвижная, но переход в подвижную систему отсчета не выполняется.

Различие между системой отсчёта и системой координат это то, что в системе отсчёта помимо системы координат добавлено Тело отсчёта, связанное с системой координат и часы.

drzewo в сообщении #1655867 писал(а):

Теперь пусть у нас есть еще какая-то система координат $Ay^1y^2y^3$, которая как угодно летит и кувыркается относительно $Ox^2x^2x^3$.

То есть связав с этой кувыркающейся системой координат, кувыркающееся тело отсчёта мы получаем систему отсчёта и ломаем логику drzewo?
На мой взгляд это не так. drzewo просто не выполнил преобразование вектора скорости и всё.
Почему? А не почему, просто захотел не выполнять преобразование вектора скорости и всё, имеет право.

[EUgeneUS]

Конечно, в Сивухине вводятся силы инерции, в полном комплекте.
В Физике10, Мякишев, Синяков, вводятся сила инерции, центробежная сила инерции. Сила Кориолиса - нет.

-- 24.09.2024, 21:17 --

rascas в сообщении #1655967 писал(а):

Различие между системой отсчёта и системой координат это то, что в системе отсчёта помимо системы координат добавлено Тело отсчёта, связанное с системой координат и часы.

"Тело отсчёта" добавлено не из эстетических соображений, а чтобы от него задавать радиус-вектор.
Нет системы отсчета - нет радиус-вектора, и вся кинематика не имеет смысла.

А система координат - это просто линейки и транспортиры, с которыми бегаем (или покоимся) вокруг векторов, и измеряем их.

rascas в сообщении #1655967 писал(а):

То есть связав с этой кувыркающейся системой координат, кувыркающееся тело отсчёта мы получаем систему отсчёта и ломаем логику drzewo?

Не так. Логика drzewo в том, что СО - отдельно, а СК - отдельно.

rascas в сообщении #1655967 писал(а):

drzewo просто не выполнил преобразование вектора скорости и всё.
Почему? А не почему, просто захотел не выполнять преобразование вектора скорости и всё, имеет право.

Выполнять или не выполнять преобразование скорости - тут нет никакого произвола, захотел или не захотел.
а) если переходим в другую СО, то мы по-другому отсчитывает радиус-вектор, и обязаны применять преобразование всех кинематических векторов (производных от радиус-вектора)
б) а если мы не переходим в другую СО, то наоборот - применять нельзя. Причины для этого нет.

[Утундрий]

Вот почитает такое школьник и, чего доброго, решит, что все эти взрослые — того... Малость повредились на почве чрезмерных интеллектуальных усилий. Хотя, впрочем, я больше рад. Самому мне ни в жизнь и вполовину настолько талантливо не запутать вопрос.

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1655971 писал(а):

"Тело отсчёта" добавлено не из эстетических соображений, а чтобы от него задавать радиус-вектор.
Нет системы отсчета - нет радиус-вектора, и вся кинематика не имеет смысла.

Давайте внимательней присмотримся, что написал drzewo в сообщении #1655867.

drzewo в сообщении #1655867 писал(а):

Пусть у нас имеется декартова система координат $Ox^1x^2x^3$ и точка с радиус-вектором $\boldsymbol r=x^i\boldsymbol e_i^x.$

Радиус-вектор у нас задан, следовательно есть и "Тело отсчёта" с которого задан этот радиус-вектор.
Т.о. система координат $Ox^1x^2x^3$ это система координат с телом отсчёта. Следовательно $Ox^1x^2x^3$ является и системой отсчёта.

drzewo в сообщении #1655867 писал(а):

Теперь пусть у нас есть еще какая-то система координат $Ay^1y^2y^3$, которая как угодно летит и кувыркается относительно $Ox^1x^2x^3$.

Что мы можем сказать про систему координат $Ay^1y^2y^3$?
Закон её движения относительно системы отсчёта $Ox^1x^2x^3$ известен - $Ay^1y^2y^3$ кувыркается относительно СО $Ox^1x^2x^3$.

Теперь что значит в определении системы отсчёта фраза: система координат связана с телом отсчёта?
Обязательно ли в системе отсчёта, тело отсчёта должно быть неподвижно относительно системы координат?
На мой взгляд необязательно, главное чтобы закон движения тела отсчёта в системе координат был известен.
Т.о. и $Ay^1y^2y^3$ является системой отсчёта, с системой координат $Ay^1y^2y^3$ и телом отсчёта из системы отсчёта $Ox^1x^2x^3$.

Итого: $Ox^1x^2x^3$ и $Ay^1y^2y^3$ - это системы отсчёта.

Продолжаю придерживаться мнения, что drzewo не выполнял преобразования вектора скорости при переходе к $Ay^1y^2y^3$ потому что так захотел.

[realeugene]

rascas в сообщении #1655980 писал(а):

Радиус-вектор у нас задан, следовательно есть и "Тело отсчёта" с которого задан этот радиус-вектор.
Т.о. система координат $Ox^1x^2x^3$ это система координат с телом отсчёта.

Так радиус-вектор откладывается от вот этой самой точки $O$ в названии системы координат $Ox^1x^2x^3$. У системы координат $Ay^1y^2y^3$ он откладывается от точки $A$. Когда задаётся система координат в пространстве, одновременно задаётся и точка, относительно которой отсчитываются все радиус-вектора.

-- 24.09.2024, 23:54 --

Утундрий в сообщении #1655975 писал(а):

Вот почитает такое школьник и, чего доброго, решит, что все эти взрослые — того... Малость повредились на почве чрезмерных интеллектуальных усилий.

Тема о том, как не надо преподавать физику в школе.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1655986 писал(а):

Тема о том, как не надо преподавать физику в школе.

Вздорный и нелепый труд. Число заблуждений бесконечно и их заведомо не перечислить.

[Батороев]

amon в сообщении #1655938 писал(а):

Возможно, я чего-то глубоко не понимаю, но... По ссылке уравнение
$I\boldsymbol {\dot \omega}=m\boldsymbol {SP}(\boldsymbol {SP},\boldsymbol {\dot\omega})+[\boldsymbol d,\boldsymbol B],\quad I=J+mr^2\qquad$
записано относительно точки касания. В ветке везде считается, что орты от времени не зависят, что будет не так для реально кувыркающейся системы координат. Что я упускаю?

Вы упускаете то, что точка касания - это мгновенное понятие или мгновенный центр скоростей, т.к. в этой точке шарик неподвижен.
Для поверхности же точки касания перемещаются равномерно и прямолинейно, что не приводит к переходу системы ИСО в НеИСО.
Я извиняюсь! Первоначально не дошел до условия исходной задачи, которую Вы рассматривали. Свое сообщение снимаю.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1655961 писал(а):

Формально дифференцирую это равенство по времени:

$$\dot{\mathbf{r}}=\dot{x}\mathbf{e}+x\dot{\mathbf{e}}$$

Вот только drzewo орты не дифференцирует. То есть вы расписали хоть и всё правильно, но совершенно не то, что подразумевал он.

-- 25.09.2024, 11:15 --

Мне кажется, тут проблема терминологическая. В физике просто повёрнутый мгновенно неподвижный базис - это никакая не "кувыркающаяся система". Штука нестандартная и, поэтому требующая кучи длинных оговорок.

Физики скажут, что в каждый момент времени рассматривается движение в своей инерциальной системе. В разные моменты времени системы отсчёта разные, поэтому, нет одной системы, которая "кувыркается".

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1656034 писал(а):

Физики скажут, что в каждый момент времени рассматривается движение в своей инерциальной системе. В разные моменты времени системы отсчёта разные, поэтому, нет одной системы, которая "кувыркается".

Нет. Финт drzewo в том, что движение (в векторной форме) рассматривается ровно в одной инерциальной системе отсчета. Но векторы (в частности, вектор ускорения, отсчитанный в этой одной ИСО) раскладываются по ортонормированному базису движущейся системы координат.

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1655980 писал(а):

Обязательно ли в системе отсчёта, тело отсчёта должно быть неподвижно относительно системы координат?
На мой взгляд необязательно, главное чтобы закон движения тела отсчёта в системе координат был известен.

Эко, как Вас унесло. Такого не бывает

Начнем с того, что drzewo описывал своё предложения в терминах теоретической механики.

Вот и посмотрим, что там с СО и СК. Например, в "Теоретическая механика" Болотин и др.
А там такое:
1. И СО, и СК в любом виде в предметном указателе отсутствуют. То есть в рамках курса эти термины не вводятся.
2. На первой странице курса (стр. 6 в книге) указано:

Цитата:

В классической механике предполагают, что пространство евклидово и выбрана ортогональная система координат $O\mathbf{e_x}\mathbf{e_y}\mathbf{e_z}$, называемая абсолютной системой отсчета

То есть система координат (как-то специально выбранная) $\equiv$ система отсчета.

Поэтому про все эти "тела отсчета" будем смотреть в курсе общей физики, например, у Сивухина.

Цитата:

Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел, называется пространственной системой отсчета

Никакого "движения" тела отсчета относительной самой системы отсчета не предполагается. Конечно, можно пофантазировать какие-то процедуры определения положения остальных тел, если тело отсчета движется относительно самой СО... Но зачем? В любом случае они сведутся к тому, что радиус-вектор будет отсчитываться от начала системы отсчета, которое очевидно в этой СО будет неподвижным.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1656046 писал(а):

Финт drzewo в том, что движение (в векторной форме) рассматривается ровно в одной инерциальной системе отсчета. Но векторы (в частности, вектор ускорения, отсчитанный в этой одной ИСО) раскладываются по ортонормированному базису движущейся системы координат.

Берётся с потолка зависящий от времени базис векторного пространства и по нему раскладываются вектора. Вот только тогда $\dot u^i \ne w^i$. Так какую динамику можно на этом построить? Только перейти к исходной ИСО, и в ней всё считать. И что делать с радиус-векторами при несовпадении начал координат, которые преобразуются между разными системами координат афинно? Наплевать и всё равно только вращать их? Не удивительно, что про таких зверушек в физике мало кто слышал. Общее правило: считать всё в ньютоновской механике нужно в выбранной системе отсчёта. В большинстве случаев, в ИСО. В отдельных случаях, в тщательно подобранной неинерциальной системе отсчёта, в которой псевдосилы упрощают рассмотрение.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

Берётся с потолка зависящий от времени базис векторного пространства и по нему раскладываются вектора.

Не с потолка, а удобный.

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

Вот только тогда $\dot u^i \ne w^i$.

Да, не равно, если $\mathbf{u}$ и $\mathbf{w}$ - скорость и ускорение в неподвижной СО, а проекции в движущейся СК.

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

Так какую динамику можно на этом построить? Только перейти к исходной ИСО, и в ней всё считать.

Так в ней всё и считается с самого начала. В векторной форме.

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

И что делать с радиус-векторами при несовпадении начал координат, которые преобразуются между разными системами координат афинно?

У нас нет никаких радиус-векторов в движущейся системе координат (в данном случае, конечно, а не вообще). Радиус-векторы в данном случае в движущейся системе координат не отсчитываются. (Поэтому, в этом случае, движущаяся СК не является СО )
Ничего не делать (никак не преобразовывать).

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

Не удивительно, что про таких зверушек в физике мало кто слышал.

Смутно припоминаю, что на каком-то семинаре эта тонкая разница между СО (где отсчитываем радиус-вектор) и СК (где записываем координаты векторов) объяснялась. Но это была инициатива семинариста, АФАИР.

realeugene в сообщении #1656076 писал(а):

Общее правило: считать всё в ньютоновской механике нужно в выбранной системе отсчёта. В большинстве случаев, в ИСО. В отдельных случаях, в тщательно подобранной неинерциальной системе отсчёта, в которой псевдосилы упрощают рассмотрение.

Так-то согласен, что грузить голову таким подходом школьников - излишне. Тем более и сам drzewo утверждает, что это в некотором смысле эквивалентно и заменяет понятие сопутствующей ИСО, которое в курсах общей физики таки даётся.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Поскольку обсуждение того решения продолжилось, то решил добавить подробное пояснение с явным описанием перехода в неинерциальную систему отсчёта (как я это понимаю; без философии, голая векторная алгебра).

Пусть $\mathbf{e}_1,$ $\mathbf{e}_2,$ $\mathbf{e}_3,$ - орты инерциальной системы отсчёта; их будем считать неподвижными.

Пусть $\mathbf{n}_1(t),$ $\mathbf{n}_2(t),$ $\mathbf{n}_3(t)$ - орты вращающейся (неинерциальной) системы отсчёта. Общий случай произвольного движения и кувыркания неинерциальной системы отсчёта я не рассматриваю, а ограничиваюсь случаем, когда начала обеих систем отсчёта всё время совпадают, причём тройка ортов $\mathbf{n}_k(t)$ вращается с постоянным вектором угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ относительно неподвижных ортов $\mathbf{e}_k.$

Пусть $\mathbf{r}$ - радиус-вектор материальной точки $m,$ движение которой в инерциальной системе отсчёта подчиняется обычному уравнению Ньютона: $m\mathbf{a}=\mathbf{F},$ где $\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{r}}.$ Речь пока идёт не обязательно о грузе на верёвке, а об общем случае - точка $m$ как-то движется относительно обеих систем отсчёта. Задача: найти выражение для ускорения $\mathbf{a}'$ той же материальной точки в неинерциальной системе отсчёта.

Можно написать разложение $\mathbf{r}$ и по одной, и по другой тройке ортов; компоненты векторов в неинерциальной системе отсчёта буду отмечать штрихом:

$$\mathbf{r}(t)=\sum_k x_k(t)\,\mathbf{e}_k = \sum_k x'_k(t)\,\mathbf{n}_k(t)=\mathbf{r}'(t)$$

Дифференцирую по времени один раз разложение $\mathbf{r}$ по вращающимся ортам:

$$\dot{\mathbf{r}} = \sum_k \dot{x}'_k\mathbf{n}_k + \sum_k x'_k \dot{\mathbf{n}}_k $$

Видно, что здесь появился вектор скорости $\mathbf{v}'$ материальной точки в неинерциальной системе отсчёта:

$$\mathbf{v}'=\sum_k \dot{x}'_k\mathbf{n}_k$$

Дифференцирую второй раз:

$$\ddot{\mathbf{r}} = \sum_k \ddot{x}'_k\mathbf{n}_k + 2\sum_k \dot{x}'_k\dot{\mathbf{n}}_k + \sum_k x'_k\ddot{\mathbf{n}}_k$$

Видно, что здесь появилось ускорение $\mathbf{a}'$ материальной точки относительно неинерциальной системы отсчёта:

$$\mathbf{a}'=\sum_k \ddot{x}'_k\mathbf{n}_k$$

Замечаем также, что $\dot{\mathbf{n}}_k=[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{n}_k],$ и что $\ddot{\mathbf{n}}_k=[\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{n}_k ]]$ при постоянном $\boldsymbol{\omega}.$ Таким образом с учётом уравнения Ньютона $\ddot{\mathbf{r}} =\frac{1}{m}\mathbf{F}$ результат можно записать так:

$$\frac{1}{m}\mathbf{F}=\mathbf{a}'+2[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}'] + [\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}']]\qquad(1)$$

Когда интерпретируют ускорение $\mathbf{a}'$ как делённую на $m$ силу, действующую на материальную точку в неинерциальной системе отсчёта, то переносят все остальные слагаемые в другую сторону уравнения (1) и записывают тот же результат так:

$$\mathbf{a}'=\frac{1}{m}\mathbf{F}-2[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}'] - [\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}']]\qquad(2)$$

При этом второе слагаемое в правой стороне (2) назвается силой Кориолиса в расчёте на единицу массы, а третье слагаемое - центробежной силой на единицу массы. (Знаменитые силы инерции :)

Применим всё это к задачке о вращающемся грузике на верёвке. В этой задачке $\frac{1}{m}\mathbf{F}=\mathbf{g}+\frac{1}{m}\mathbf{T}.$ Выберем вектор $\boldsymbol{\omega}$ угловой скорости вращения ортов $\mathbf{n}_k(t)$ равным вектору угловой скорости вращения грузика. Тогда координаты грузика $x'_k$ в такой неинерциальной системе отсчёта не изменяются со временем, и поэтому скорость и ускорение грузика относительно неё равны нулю:

$$\mathbf{v}'=0,\qquad\mathbf{a}'=0.$$

Следовательно, равенства (1) и (2) принимают вид

$$\mathbf{g}+\frac{1}{m}\mathbf{T}=[\boldsymbol{\omega}\times [\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}']] \qquad(1') $$

$$0=\mathbf{g}+\frac{1}{m}\mathbf{T}-[\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}']]\qquad(2')$$

Т.е. это одно и то же равенство, и как раз из него и получался ответ для $\omega^2$

(В том решении лишь обозначения ортов были другие и был более конкретно указан выбор их направлений. Вращающийся орт $\mathbf{n}_1(t)$ был у меня обозначен как $\mathbf{e},$ вращающийся орт $\mathbf{n}_2(t)$ остался невостребованным в тех вычислениях, орт $\mathbf{n}_3=\mathbf{e}_z$ совпадал с неподвижным вертикальным ортом. При этом $x'_1=L\sin\alpha,$ $x'_2=0,$ $x'_3=0,$ так что $\mathbf{r}'=L\sin\alpha\,\mathbf{e}.$ Выражение $[\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}']]=-L\sin\alpha\,\omega^2\mathbf{e},$ присутствовавшее в том решении, можно при желании ответить на вопрос "а где же силы инерции?" назвать взятой с минусом центробежной силой (на единицу массы)).

[Утундрий]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1656085 писал(а):

Замечаем также, что $\dot{\mathbf{n}}_k=[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{n}_k]$

Вообще-то, это тоже нужно выводить. Или из матричного автоморфизма, или из кватернионного (по вкусу).

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1656083 писал(а):

Тем более и сам drzewo утверждает, что это в некотором смысле эквивалентно и заменяет понятие сопутствующей ИСО, которое в курсах общей физики таки даётся.

Э, не: в ИСО проекции ускорений равны производным по времени соответствующих проекций скорости.

В сопутствующих ИСО можно записывать второй закон Ньютона как и в любых ИСО. Но не в этой зверушке.