Импликация и другие логические связки

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635882 писал(а):

3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.

(Оффтоп)

Цитата:

Какой у вас глубокий взгляд, как он влечет и манит!

[epros]

Vladimir Pliassov, поскольку Вы очевидно необучаемы, я настоятельно предлагаю Вам прежде, чем Вы начнёте постить очередные простыни бессмысленных рассуждений о комбинациях конъюнкций каких-то непонятных $p$, $q$, $\neg p$ и $\neg q$, а также сочинять собственные варианты понятий логики, ответить на мой вопрос:

epros в сообщении #1635786 писал(а):

Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1635786 писал(а):

Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

Как я понимаю, для всей импликации это не получится.

Здесь две высказывательные функции: $x<10$ и $x>100$. Можно обозначить

через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (или наоборот),

и

через $q$ произвольное истинное, а через $\neg q$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (или наоборот).

Пусть $p$ и $q$ -- истинные высказывания, тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$;

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" не выйдет.

Над Вашим выводом ex falso quodlibet и оправданием перед инквизицией думаю.

2.

mihaild в сообщении #1635846 писал(а):

Тогда уж $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$.

Спасибо! Успел исправить.

3.

Я придумал, как вывести импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, которые не выводятся при исключении третьей конъюнкции (а то я уже думал, что это невозможно), и вообще как вывести все восемь возможных импликаций, и это оказалось так просто!

При исключении первой конъюнкции выводятся импликации $\neg p\to q$ и $\neg q\to p$,

при исключении второй конъюнкции выводятся импликации $\neg p\to \neg q$ и $q\to p$,

при исключении третьей конъюнкции выводятся импликации $p\to q$ и $\neg q\to \neg p$,

при исключении четвертой конъюнкции выводятся импликации $p\to \neg q$ и $q\to \neg p$:

$$\begin {matrix} 1.&\boxed {\neg p\wedge \neg q},\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\boxed {\neg p\wedge q},\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&\boxed {p\wedge q}. \end {matrix} \eqno (6)$$

4.

Alpha AXP в сообщении #1635882 писал(а):

Vladimir Pliassov
Не это ли совпадение вводило Вас в заблуждение из-за которого Вы исключали именно третью конъюнкцию?

$$\begin {matrix} 1.&(\neg p\wedge \neg q ) \rightarrow (\bot \rightarrow \bot) \\ \\ 2.&(\neg p\wedge q) \rightarrow (\bot \rightarrow \top)\\ \\ 3.&\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}\\ \\ 4.&(p\wedge q) \rightarrow (\top \rightarrow \top) \end {matrix} $$

Правая сторона получается из левой путем замены конъюнкции на импликацию.

1. Ложь и ложь влекут ложь, влекущую ложь.
2. Ложь и истина влекут ложь, влекущую истину.
3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.
4. Истина и истина влекут истину, влекущую истину.

Кстати, прекрасные стихи!

Но их, по-моему, надо понимать не так, что из одной конъюнкции следует импликация, а так, что если при одних и тех же операндах заменить связку $\wedge$ на связку $\to$, то вместо конъюнкции получим импликацию.

Говоря "при одних и тех же операндах", я имею в виду, что $p$ и $q$ заменяются на $\top$, а $\neg p$ и $\neg q$ -- на $\bot$.

Нет, это не было заблуждение. Третья конъюнкция (как и любая другая) исключается либо произвольно, либо под давлением обстоятельств.

Например, при делении натуральных чисел на $2$ и на $3$, можно произвольно исключить третью конституенту $N_3$ (и вместе с ней третью конъюнкцию $p\wedge \neg q$), то есть исключить все числа, которые делятся на $2$ и не делятся на $3$, или произвольно исключить четвертую конституенту $N_4$ (и вместе с ней четвертую конъюнкцию $p\wedge q$), то есть исключить все числа, которые делятся на $2$ и на $3$ (см. п. 3 в сообщении #1635592 и плюс к этому:

Обозначим через $A$ подмножество $\mathbb N$ чисел, которые делятся на $2$, и через $B$ подмножество $\mathbb N$ чисел, которые делятся на $3$, тогда

$N_1=\overline A\cap \overline B, \;\;\; N_2=\overline A\cap B, \;\;\;N_3=A\cap \overline B, \;\;\;N_4=A\cap B$:

).

Но при делении натуральных чисел на $4$ и на $2$ третью конъюнкцию приходится исключать по необходимости: третья конституента, которая ей соответствует -- пустая (нет чисел, которые делились бы на $4$, и не делились на $2$.).

Кстати, в Вашем выражении $\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}$ будет $p=\top$ и $\neg q=\bot$, если $p$ и $q$ истинны, а если нет, то будет по-другому. Правильно?

tolstopuz в сообщении #1635845 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).

Например, к импликации $GRH\to A$, доказанной в статье. Или вам наконец-то без дополнительных заклинаний, подпрыгиваний и подмигиваний понятно, что она эквивалентна $GRH\wedge A\vee\neg GRH\wedge\neg A\vee\neg GRH\wedge A$ и дальнейшие пояснения к ней не требуются?

Нет, эта-то выводится. Я имел в виду, что при исключенной конъюнкции $GRH\wedge \neg A$ не выводятся импликации $\neg GRH\to \neg A$ и $\neg GRH\to A$.

Но теперь я знаю, как их вывести:

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge A$ выводится импликация $\neg GRH\to \neg A$,

а

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge \neg A$ выводится импликация $\neg GRH\to A$.

Об этом подробнее в п. 3.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge A$ выводится импликация $\neg GRH\to \neg A$,

а

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge \neg A$ выводится импликация $\neg GRH\to A$.

(Оффтоп)

Студент сдает зоологию. Знает только про блох. На экзамене достается вопрос про собак. Судент начинает:
- Собаки это млекопитающие, покрыты шерстью. В шерсти водятся блохи...
дальше все про блох....
Препод:
- Ладно молодой человек, расскажите про кошек.
Студент:
- Кошки - это млекопитающие, покрыты шерстью. В шерсти водятся блохи...
дальше все про блох....
Препод:
- Давайте-ка про рыб.
Студент:
- Рыбы это не млекопитающие. Шерстью не покрыты. Покрыты чешуей, но если бы они были покрыты шерстью, то в ней бы водились блохи....

К чему эта графомания? Мы говорили про одну истинную импликацию: $GRH\to A$. До этого говорили про еще одну истинную импликацию $(500<10)\to (500>100)$. Не пора ли вернуться к ним?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):

Можно обозначить

через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (или наоборот)

Пример пожалуйста!

[Alpha AXP]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):

Как я понимаю, для всей импликации это не получится.

a). при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$;--"из истины ложь"

b). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

c). при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина";

d). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50>10 \to 50<100$, то есть $p\to q$ -- "из истины истина".

$(\lnot a \leftrightarrow c) \leftrightarrow ((5>10 \to 5<100) \leftrightarrow (500<10 \to 500>100)) $,
$(\lnot b \leftrightarrow d) \leftrightarrow ((\lnot (50<10 \to 50>100) \leftrightarrow (50>10 \to 50<100))$,

Конечно это не классика.
(Это классика далекого будущего)

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1635948 писал(а):

Пример пожалуйста!

Если обозначить через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое при подстановке соответствующего значения вместо $x$ превращается функция $x<10$, то, например, при $x=5$ будет $p=, а при $x=10$ будет $\neg p=.

При $x<10$ определено $p$, и не определено $\neg p$.

При $x\geqslant 10$ определено $\neg p$, и не определено $p$.

Или что-то не так?

Alpha AXP в сообщении #1635957 писал(а):

d). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50>10 \to 50<100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из истины истина".

Но здесь Вы заменили функции: вместо $x<10$ и $x>100$ взяли $x>10$ и $x<100$.

[Alpha AXP]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635960 писал(а):

Но здесь Вы заменили функции: вместо $x<10$ и $x>100$ взяли $x>10$ и $x<100$.

Но можно же посмотреть на это по другому: было произведено отрицание утверждения b , которое и есть утверждение d.

Просто я несколько иначе посмотрел на отрицание.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635960 писал(а):

например, при $x=5$ будет $p=, а при $x=10$ будет $\neg p=.
...
Или что-то не так?

Или что-то не так. $10<10$ это не отрицание $5<10$. Я же говорю: обозначения, вводящие в заблуждение.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1635972 писал(а):

Или что-то не так. $10<10$ это не отрицание $5<10$. Я же говорю: обозначения, вводящие в заблуждение

Правда!

Напишу заново.

Имеем две высказывательные функции: $x<10$ и $x>100$.

Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

и

через $q$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg q$ ложное высказывание, которое является отрицанием $q$,

Тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$ -- "из истины ложь";

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" невозможно.

Однако можно сделать наоборот.

Обозначим через $\neg p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $\neg p$,

и

через $\neg q$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $q$ ложное высказывание, которое является отрицанием $\neg q$,

Тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $\neg p\to q$-- "из истины ложь";

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $p\to q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $p\to \neg q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" невозможно.

Теперь правильно?

Alpha AXP в сообщении #1635961 писал(а):

Но можно же посмотреть на это по другому: было произведено отрицание утверждения b , которое и есть утверждение d.

Просто я несколько иначе посмотрел на отрицание.

Утверждение b это $\neg p\to \neg q$, его отрицанием является не $p\to q$, а $\neg p\wedge q$. Это можно увидеть на диаграмме Венна на рис. 2 в сообщении #1635938, если провести аналогию между конъюнкциями и конституентами.

epros в сообщении #1633101 писал(а):

Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция
. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

У меня возникло сомнение в основной (как я понимаю) аксиоме логики высказываний, то есть в $A \to (B \to A)$.

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):

Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию, и поэтому вывод, который за ним следует:

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):

Таким образом, $A\to(B\to A)$.

мне кажется в общем случае неверным.

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число, и пусть оно делится на $2$, то есть пусть высказывание $A= справедливо.

Возьмем еще два высказывания: $C= и $D=, и пусть они оба тоже будут справедливы.

То есть $\lambda$ может быть равно, например, $40$.

Мы исходили из того, что высказывание $A$ справедливо, не приводя причин, по которым оно справедливо. Тем не менее причины этому могут найтись, и одна такая причина нашлась: это справедливое (по условию) высказывание $C= -- из того, что натуральное число делится на $8$, следует, что оно делится и на $2$.

При этом (также справедливое) высказывание $D= не служит причиной тому, что высказывание $A$ является справедливым, -- из того, что натуральное число делится на $5$, не следует, что оно делится на $2$.

Таким образом, мы имеем импликацию $C\to A$ и, конечно, конъюнкцию $C\wedge A$, и имеем конъюнкцию $D\wedge A$, но не имеем импликации $D\to A$.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

Приведите пример.

[tolstopuz]

epros в сообщении #1636006 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

Приведите пример.

Если почитать чуть ниже, видно, что это уже стало фигурой речи и означает конкретное высказывание. "Обозначим через $p$ произвольную сумму сдачи, которую мне дадут с $10$ рублей при покупке товара стоимостью в $x$ рублей при подстановке вместо $x$ соответствующего значения".

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

мне кажется в общем случае неверным

Тем не менее, формула $A\to(B\to A)$ всегда верна.
Дальше Вы вроде как приводите контрпример, но непонятно, где в нём $B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число, и пусть оно делится на $2$, то есть пусть высказывание $A=$"$\lambda$ делится на $2$" справедливо.

Возьмем еще два высказывания: $C=$"$\lambda$ делится на $8$" и $D=$"$\lambda$ делится на $5$", и пусть они оба тоже будут справедливы.

То есть $\lambda$ может быть равно, например, $40$.

<...>

Таким образом, мы имеем импликацию $C\to A$ и, конечно, конъюнкцию $C\wedge A$, и имеем конъюнкцию $D\wedge A$, но не имеем импликации $D\to A$.

Нет, для $\lambda=40$ (и вообще для любого $\lambda$, для которого верны $A$, $C$ и $D$) верно и $C\to A$, и $D\to A$.

Просто $C\to A$ верно вообще для всех $\lambda$, а $D\to A$ верно не для всех $\lambda$ (и, таким образом, утверждение $\forall\lambda,\,D\to A$ неверно). Подразумевая квантор $\forall\lambda$ вначале, можно для краткости сказать и просто: $D\to A$ неверно (но если мы так говорим, то обязательно подразумеваем, что имели в виду неверность $\forall\lambda,\,D\to A$. А само $D\to A$ при некоторых $\lambda$ может быть и верным).

Замечание: было бы лучше везде писать не $A,C,D$, а $A(\lambda)$, $C(\lambda)$, $D(\lambda)$ - чтобы акцентировать внимание на том, что это предикаты, зависящие от переменной $\lambda$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Мы исходили из того, что высказывание $A$ справедливо, не приводя причин, по которым оно справедливо. Тем не менее причины этому могут найтись, и одна такая причина нашлась
<...>
При этом (также справедливое) высказывание $D$ не служит причиной тому, что высказывание $A$ является справедливым

Справедливость или несправедливость импликации не связана с "причинами".

-- 11.04.2024, 22:16 --

P.S. Пожалуйста, не пишите кавычки " внутри формулы (внутри долларов). Такие формулы потом плохо цитируются из-за какого-то сбоя. Можно писать например так: $A=$"$\lambda$ делится на $2$".

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):

Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию

В последнем предложении есть две импликации, и оно не говорит прямо об истинности ни утверждения $A$, ни утверждения $B$. Ваша же версия с конъюнкцией означает, что утверждения $A$ и $B$ оба одновременно истинны. Замечаете, насколько вы извратили смысл?

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):

Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию

Нет. Когда я говорю "если $A$, то $B$", то я всегда имею в виду импликацию и ничего не говорю про истинность ни $A$, ни $B$. Когда я говорю "если завтра пойдёт дождь, то я не пойду на прогулку", я не имею в виду, что завтра обязательно пойдёт дождь. И тем более не имею в виду, что обязательно останусь дома (а отказаться от прогулки я могу, даже если дождя не будет).