Импликация и другие логические связки

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены

Вся суть в том, что можно доказать импликацию, не зная ничего про истинность или ложность её посылки или заключения.
Этим импликация и ценна.
Доказать $A\to B$ можно, сделав логический вывод утверждения $B$ из утверждения $A$ (не зная при этом, верно $A$ или нет).

Конечно, если мы знаем, истинны или ложны утверждения $A$ и $B$, мы можем установить истинность импликации по таблице истинности. Но можем и не знать ничего про истинность $A$ и $B$, но всё равно доказать истинность импликации $A\to B$. Эта истинность нам пригодится, если мы потом всё-таки докажем истинность $A$ - потому что тогда мы сможем сразу сделать вывод, что $B$ тоже истинно. Если же мы опровергнем $A$, то доказательство импликации $A\to B$ окажется бесполезным (но оттого всё равно не перестанет быть верным).

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.

Я вообще не понял эту фразу.

1. Верна ли обобщенная гипотеза Римана, сейчас никто не знает (подозревают, что верна, но может оказаться и неверной).
2. Корректен ли детерминированный тест Миллера, в данный момент не доказано (подозревают, что корректен, но может оказаться и некорректным).
3. А вот импликация "если верна обобщенная гипотеза Римана, то детерминированный тест Миллера корректен" доказана (G. L. Miller, “Riemann’s Hypothesis and tests for primality,” J. Computer and System Sciences 13 (1976), 300–317.)

И в принципе может оказаться, что обобщенная гипотеза Римана неверна, а детерминированный тест Миллера все же корректен. Эта ситуация совершенно аналогична истинности импликации $(500 < 10) \to (500 > 100)$, которую я не так давно доказывал.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1635357 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.

Я вообще не понял эту фразу.

Может быть я ошибаюсь, но я понял словосочетание "исключается конъюнкция" таким образом, что:

epros в сообщении #1635322 писал(а):

из $GRH \land \neg A$ выводится $\bot$

что с моей точки зрения равносильно тому, что:

epros в сообщении #1635322 писал(а):

из $GRH$ выводится $A$

Это было пояснение для Vladimir Pliassov к моему предыдущему комментарию.

-- Пт апр 05, 2024 10:10:01 --

Vladimir Pliassov, вот Вам пример юридического казуса. Представьте, что Вас в средние века схватила инквизиция и говорит: "Признай, что если ты применял колдовство, то по нашим законам ты должен быть подвергнут аутодафе". С точки зрения логики, каков должен быть Ваш ответ в своё оправдание?

(ответ)

Ex falso quodlibet

[Vladimir Pliassov]

1.

tolstopuz в сообщении #1635357 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.

Я вообще не понял эту фразу.

Здесь я имел в виду, что когда мы имеем дело с бинарными логическими операциями, то берем два высказывания $p$ и $q$ и к ним контрвысказывания $\neg p$ и $\neg q$, составляем из них четыре конъюнкции

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (1)$$

и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется, а как только они исключены, она определяется (об этом подробнее ниже). На каком же основании они исключаются, для логики безразлично.

Например, ситуация с выбрасыванием вазы из окна.

Имеем четыре утверждения:

$p=\text {, $\neg p=\text {, $q=\text {, $\neg q=\text {, --

и список (1) конъюнкций.

Любую из них можно исключить на каком-то житейском основании, например, первую: "Да ничего ее не выбросят, и она не разобьется, что вы мне тут!.." Здесь возникает вопрос: тот, кто это говорит, правда думает, что вазу не выбросят, или у него коварный замысел?

Но логика этим вопросом не задается, она ждет, когда решат, исключить эту конъюнкцию или нет, и когда решат, что исключить -- и только ее одну, -- логика ее исключит, то есть проведет операцию "дизъюнкция".

Тут, правда, можно сказать, что да, логическая структура определяется после исключения конъюнкций, но логика начинается уже с их исключения, а не после, потому что их исключение это логическая операция, в результате которой определяется логическая структура, и с этим я согласен, можно и так смотреть, и это будет правильнее, теперь я это вижу (за эти несколько дней мои представления развились).

В данном случае в результате логической операции "дизъюнкция" мы получили логическую структуру, которая тоже называется "дизъюнкция". То есть логическая операция и структура, которая получается в результате ее проведения, называются одинаково.

Тут встает еще один вопрос: всегда ли мы можем произвольно решать, какие конъюнкции исключать? Нет, не всегда. В случае с вазой можем, потому что вазы бывают разные: крепкие и некрепкие, -- так что если ваза упадет, то, может быть, не разобьется, а, может быть, разобьется.

Или из множества $\mathbb N$ натуральных чисел мы можем по произволу исключить все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$ -- и при этом исключить соответствующую конъюнкцию, -- и тогда из оставшихся любое число, которое делится на $2$, будет делиться и на $3$. А можем их не исключать, и тогда не будет такого, что если число делится на $2$, то оно делится и на $3$. То есть можем исключать, а можем не исключать.

Но вот если мы возьмем деление чисел на $4$ и на $2$, то соответствующую конъюнкцию нам придется исключить не по нашему произволу, а по объективной необходимости: если число делится на $4$, то оно не может не делиться на $2$.

Почему я так много говорю об исключении конъюнкций, попытаюсь объяснить ниже. При этом попробую увязать логику, теорию множеств и булевы функции.

2.

Цитата:

Говорят, что объект $a$ удовлетворяет высказывательной функции $\Phi (x)$, если высказывание, полученное из $\Phi (x)$ подстановкой вместо аргумента $x$ названия предмета $a$, т. е. высказывание $\Phi (a)$, истинно.

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 55

При подстановке в $\Phi (x)$ вместо $x$ всевозможных значений $x$ получим множество $A$ высказываний, оно разбито на два непересекающихся подмножества: $A_1$, которому принадлежат все истинные высказывания, и $A_2$, которому принадлежат все ложные высказывания. Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Цитата:

Высказывание не $p$ называем отрицанием $p$ и записываем в виде $\neg p$. Оно истинно, если $p$ ложно, и ложно, если $p$ истинно. Таким образом, отрицание $p$ имеет логическое значение, противоположное логическому значению $p$.

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 12

3.

Снова возьмем следующий пример.

Пусть мы имеем множество $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$). Каждый элемент этого множества либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

Множества $N_1, N_2, N_3, N_4$ представляют собой конституенты.

(О конституентах можно посмотреть здесь https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 29 и здесь topic146418.html)

Возьмем две высказывательные (пропозициональные) функции: $\mathcal P(x)= и $\mathcal Q(x)=, $x\in \mathbb N$.

Обозначим через $p$ произвольное истинное и через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $\mathcal P(x)$ при подстановке вместо $x$ конкретного значения.

Обозначим через $q$ произвольное истинное и через $\neg q$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $\mathcal Q(x)$ при подстановке вместо $x$ конкретного значения.

Тогда

для каждого $x\in N_1$ обе функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превратятся в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно;

для каждого $x\in N_2$ функция $\mathcal P(x)$ превратится в ложное высказывание $\neg p$, а функция $\mathcal Q(x)$ -- в истинное высказывание $q$;

для каждого $x\in N_3$ функция $\mathcal P(x)$ превратится в истинное высказывание $p$, а функция $\mathcal Q(x)$ -- в ложное высказывание $\neg q$;

для каждого $x\in N_4$ обе функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превратятся в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно.

Таким образом, имеем конъюнкции высказываний: $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$, $(p\wedge \neg q)$, $(p\wedge q)$. Эти конъюнкции соответствуют конституентам $N_1, N_2, N_3, N_4$.

Обозначим через $P(x)$ и $Q(x)$ истинности высказываний, в которые при подстановке вместо $x$ конкретных значений превращаются функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ соответственно. Пусть функции $P(x)$ и $Q(x)$ принимают значение $1$, когда функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превращаются в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно, и пусть функции $P(x)$ и $Q(x)$ принимают значение $0$, когда функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превращаются в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно.

Обозначим $P(x)$ просто как $P$, а $Q(x)$ просто как $Q$.

Используем $P$ и $Q$ в качестве переменных булевых функций. Схема для записи любой бинарной булевой функции выглядит так:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q& f_i(P, Q)\\ \hline 0& 0& \\ \hline 0& 1& \\ \hline 1& 0& \\ \hline 1& 1& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

только в ней нужно в третьем столбце указать, в какой элемент множества $\{0, 1\}$ отображается каждая из пар $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$, и в верхней клетке этого столбца вместо $i$ подставить при $f$ конкретный индекс (от $0$ до $15$, если пользоваться системой, представленной в статье "Булева функция" в Википедии), например, вот запись функции "прямая импликация":

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&f_{13}(P, Q)\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (3)$$

Парам $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$ соответствуют конъюнкции $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$, $(p\wedge \neg q)$, $(p\wedge q)$ и конституенты $N_1, N_2, N_3, N_4$:

$(0, 0)\sim (\neg p\wedge \neg q)\sim N_1$,

$(0, 1)\sim (\neg p\wedge q)\sim N_2$,

$(1, 0)\sim (p\wedge \neg q)\sim N_3$,

$(1, 1)\sim (p\wedge q)\sim N_4$.

Когда пара отображается в $0$, соответствующая ей конституента исключаются из множества $\mathbb N$, и соответствующая конъюнкция исключаются из списка:

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q. \end {matrix} \eqno (1)$$

При исключении некоторых конъюнкций из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- получим набор конъюнкций, соответствующий одной из 16 бинарных булевых функций и набору конституент (которые при этом объединяются). То есть получим логическую структуру, соответствующую теоретико-множественной структуре и структуре, представляющей собой одну из бинарных булевых функций. Например,

если исключим первые три конъюнкции (обведем их траурными рамками):

1) $\boxed {\neg p\wedge \neg q}$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $p\wedge q$, --

получим набор из одной конъюнкции $p\wedge q$, соответствующий булевой функции "конъюнкция" и набору из одной конституенты $N_4$ -- то есть проведем логическую операцию $\mathcal P(x)\wedge \mathcal Q(x)$ ("конъюнкция")

(здесь, конечно, может быть недоразумение, поскольку имеем дело и с конъюнкциями из упомянутого списка и с операцией "конъюнкция"), --

если исключим вторую и третью:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $p\wedge q$, --

получим набор из двух конъюнкций $\neg p\wedge \neg q$ и $p\wedge q$, соответствующий булевой функции "эквиваленция" и набору из двух конституент $N_1$ и $N_4$ (которые при этом объединяются) -- то есть проведем операцию $\mathcal P(x)\equiv \mathcal Q(x)$ ("эквиваленция"),

если исключим все:

1) $\boxed {\neg p\wedge \neg q}$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $\boxed {p\wedge q}$, --

то тем самым проведем операцию $\mathcal P(x) 0 \mathcal Q(x)$ ("$\textbf 0$"),

если не исключим ни одной:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$, --

проведем операцию $\mathcal P(x) 1 \mathcal Q(x)$ ("$\textbf 1$").

Таким образом

логическая операция $\mathcal P(x)\circ \mathcal Q(x)$ -- где $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ это высказывательные функции, -- состоит в исключении некоторого числа конъюнкций из списка (1), и результатом этой операции является логическая структура, которая представляет собой набор оставшихся конъюнкций.

(Хотя, конечно, можно сказать, что эта операция состоит в выборе некоторых конъюнкций из этого списка.)

Логическая операция $\mathcal P(x)\circ \mathcal Q(x)$ и соответствующая ей булева функция называются одинаково.

Логическая операция и получающиеся в результате ее проведения структуры -- логическая, теоретико-множественная и структура "булева функция" -- называются одинаково.

Здесь

a) логическая структура это набор конъюнкций из списка (1),

b) теоретико-множественная структура это набор конституент из списка "$N_1, N_2, N_3, N_4$ ",

c) структура "булева функция" это булева функция.

Эти три структуры эквивалентны друг другу.

А

a) логическая операция это исключение конъюнкций из списка (1),

b) теоретико-множественная операция это исключение конституент из списка "$N_1, N_2, N_3, N_4$ ",

c) булева операция это отображение пар $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$ в элементы множества $\{0, 1\}$.

Эти три операции эквивалентны друг другу.

Логическая операция это и логическая функция, ее функциональность проявляется в том, что, когда конъюнкция исключается, то это можно представить так, что она отображается в $0$, а когда не исключается то -- в $1$.

Таким образом, здесь логические операции между высказывательными функциями $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ определены только через конъюнкции и отрицание.

Правильно ли я понимаю?

........................

О гипотезе Римана и о юридическом казусе надеюсь написать позже.

[epros]

Vladimir Pliassov, не надоело Вам постить длинные простыни ни о чём?

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):

и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется

Логическая структура чего?

-- Пн апр 08, 2024 09:35:28 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):

Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Кстати, это обозначения, вводящие в заблуждение. Потому что $\neg p$ - это не произвольное ложное высказывание, а именно отрицание высказывания $p$.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1635638 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):

и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется

Логическая структура чего?

Логическая структура не чего-то, а просто логическая структура. Имеется логическая структура (логическая конструкция), состоящая из нескольких конъюнкций -- числом от $0$ до $4$ -- из списка

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (1)$$

Пусть это будет структура

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (2)$$

из которой исключена третья конъюнкция, она называется "прямая импликация". Ее можно изучать, в ней можно обнаружить

прямую однозначную импликацию $p\to q$,

обратную однозначную импликацию $\neg q\to \neg p$,

прямую двузначную импликацию $\neg p\to (\neg q\oplus q)$,

обратную двузначную импликацию $q\to (\neg p\oplus p)$,

дизъюнкцию $\neg p\vee q$ (а дизъюнкций $(\neg p\vee \neg q)$, $(p\vee \neg q)$ и $(p\vee q)$ в ней нет).

Интересно, что если мы возьмем структуру

$$\begin {matrix} 1.&\boxed {\neg p\wedge \neg q},\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (3)$$

из которой исключена первая конъюнкция и которая называется "дизъюнкция", то в ней можно обнаружить те же связки (то есть в принципе те же, но в общем случае на других операндах):

прямую однозначную импликацию $\neg p\to q$,

обратную однозначную импликацию $\neg q\to p$,

прямую двузначную импликацию $p\to (\neg q\oplus q)$,

обратную двузначную импликацию $q\to (\neg p\oplus p)$,

дизъюнкцию $p\vee q$ (а дизъюнкций $(\neg p\vee \neg q)$, $(\neg p\vee q)$ и $(p\vee \neg q)$ в ней нет).

И те же связки обнаруживаются в структурах

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\boxed {\neg p\wedge q},\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (4)$$

-- "обратная импликация", и

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&\boxed {p\wedge q}, \end {matrix} \eqno (5)$$

-- "штрих Шеффера".

2.

epros в сообщении #1635638 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):

Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Кстати, это обозначения, вводящие в заблуждение. Потому что $\neg p$ - это не произвольное ложное высказывание, а именно отрицание высказывания $p$.

По-моему, заблуждения быть не должно, потому что я написал: "Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2)$", -- то есть рассматривается два варианта: $p\in A_1$ и $p\in A_2$. Аналогично и соответственно с $\neg p$.

3.

Mikhail_K в сообщении #1635324 писал(а):

Вся суть в том, что можно доказать импликацию, не зная ничего про истинность или ложность её посылки или заключения.
Этим импликация и ценна.
Доказать $A\to B$ можно, сделав логический вывод утверждения $B$ из утверждения $A$ (не зная при этом, верно $A$ или нет).

Конечно, если мы знаем, истинны или ложны утверждения $A$ и $B$, мы можем установить истинность импликации по таблице истинности. Но можем и не знать ничего про истинность $A$ и $B$, но всё равно доказать истинность импликации $A\to B$. Эта истинность нам пригодится, если мы потом всё-таки докажем истинность $A$ - потому что тогда мы сможем сразу сделать вывод, что $B$ тоже истинно. Если же мы опровергнем $A$, то доказательство импликации $A\to B$ окажется бесполезным (но оттого всё равно не перестанет быть верным).

Спасибо! Попробую это проиллюстрировать на примере

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

1. $GRH$ верна и $A$ тоже верна. Ожидаемый с нетерпением вариант.
2. $GRH$ неверна и $A$ тоже неверна. Обидно, но не исключено.
3. $GRH$ неверна, а $A$ тем не менее верна. Вполне возможно. Более того, для некоторых таких $A$ уже есть альтернативные доказательства, не требующие $GRH$, и они перестали быть гипотезами и стали теоремами.
4. $GRH$ верна, а $A$ неверно. Это невозможно, потому что импликация $GRH\to A$ доказана. Даже опубликована в журнале и проверена рецензентами.

Пусть $GRH$ утверждает, что число $\lambda$ делится на $4$, а $A$ утверждает, что число $\lambda$ делится на $2$ (число $\lambda$ пока не найдено).

Возьмем высказывания $p= и $q= и к ним контрвысказывания $\neg p= и $\neg q=. Составим из них четыре конъюнкции:

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (1)$$

Мы не знаем, какие из этих четырех высказываний истинны, а какие ложны. Но знаем, что

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

импликация $GRH\to A$ доказана

так как доказано, что если число делится на $4$, то оно делится и на $2$.

Отсюда следует, что третья конъюнкция должна быть исключена (правда, это надо доказать):

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\ \\ 4.&p\wedge q. \end {matrix} \eqno (2)$$

(Исключается она как невозможная, а не как ложная: если выяснится, какие высказывания являются истинными, а какие ложными, то, например, либо первая, либо третья конъюнкция окажется ложной, однако мы не исключаем ни ту, ни другую.

Но, разумеется, конъюнкция $p\wedge \neg q$ является не только невозможной, но и ложной.)

Поскольку третья конъюнкция исключена, имеем не только прямую однозначную импликацию $p\to q$, но и прямую двузначную импликацию $\neg p\to (\neg q\oplus q)$.

То есть из того, что $GRH$ верна, следует, что и $A$ верна, а из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна.

Другими словами, из того, что $\lambda$ делится на $4$, следует, что $\lambda$ делится и на $2$, а из того, что $\lambda$ не делится на $4$, следует, что $\lambda$ либо делится на $2$, либо нет.

Тут мне хотелось бы сказать, что, по-моему, выражение "двузначная импликация " может иметь применение, и что здесь выражение $\neg p\to (\neg q\oplus q)$ является верным, а выражения $\neg p\to (\neg q\wedge q)$ и $\neg p\to (\neg q\vee q)$ были бы неверными.

Что же касается выражений $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, то, по-моему, они здесь тоже неверны, потому что из того, что число не делится на $4$, следует не то, что оно делится на $2$, или то, что оно не делится на $2$, а то, что оно либо делится на $2$, либо нет.

То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".

................

Над ответом инквизиции думаю.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

То есть из того, что $GRH$ верна, следует, что и $A$ верна

Это и доказано в статье.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

а из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна.

Высказывание "либо $A$ верна, либо $A$ неверна" тождественно истинно, поэтому высказывание "из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна" также тождественно истинно. Вы считаете, что для вящей убедительности к статье стоит добавить тождественно истинное высказывание?

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".

Это высказывание тождественно истинно. Вы предлагаете добавлять к импликации ритуальное истинное высказывание? Типа японского "дэсу"?

-- Пн апр 08, 2024 22:23:06 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):

Таким образом, здесь логические операции между высказывательными функциями $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ определены только через конъюнкции и отрицание.

Вся эта многостраничная графомания заменяется одним словом: СДНФ (по-английски два слова - full DNF).

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

Логическая структура не чего-то, а просто логическая структура.

Продолжаем сочинять собственные бредовые понятия и пытаемся втащить их в логику.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

По-моему, заблуждения быть не должно, потому что я написал: "Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2)$", -- то есть рассматривается два варианта: $p\in A_1$ и $p\in A_2$. Аналогично и соответственно с $\neg p$.

Попытка введения в заблуждение, очевидно, является злостной, ибо автор настаивает на нетрадиционном использовании стандартных обозначений.

Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

Исключается она как невозможная, а не как ложная:

Очередная попытка втащить в логику собственные понятия.

Никакого другого смысла "исключения высказывания" в классической логике нет, кроме доказательства его ложности. "Невозможность" в классической логике означает в точности то же самое, что ложность. Давайте не будем пытаться изобретать модальную логику.

[Vladimir Pliassov]

Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)

следуют импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не следуют импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

[По-моему, это хорошо видно из списка

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (2)$$

(Здесь исключена третья конъюнкция.)]

Разве это не так?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635819 писал(а):

Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)

Что такое "взятых вместе"?
Из $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$ - да, выводится $p \rightarrow q$ и не выводится $p \rigtharrow \neg q$.
Из $(\neg p\wedge \neg q) \wedge (\neg p\wedge q) \wedge (p\wedge q)$ выводится что угодно

[Alpha AXP]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635819 писал(а):

Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)

следуют импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не следуют импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

[По-моему, это хорошо видно из списка

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\ \\ 4.&p\wedge q, \end {matrix} \eqno (2)$$

(Здесь исключена третья конъюнкция.)]

Разве это не так?

Да, исключена, если ее добавить: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ , то никакого вывода $p \rightarrow q$
уже не получится, но если заменить на вторую: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$, то получится $q \rightarrow p$

Какова Ваша мысль, что Вы хотели сказать?

[Vladimir Pliassov]

Alpha AXP в сообщении #1635825 писал(а):

Да, исключена <третья конъюнкция>, если ее добавить: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ , то никакого вывода $p \rightarrow q$
уже не получится, но если заменить на вторую: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$, то получится $q \rightarrow p$

Именно это я имел в виду!

mihaild в сообщении #1635820 писал(а):

Что такое "взятых вместе"?

Да, что такое "взятых вместе"? Я задал этот вопрос сам себе, потому что не очень хорошо представлял, что это такое. Но подумав, решил, что это дизъюнкция $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$, которая соответствует объединению конституент $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$:

mihaild в сообщении #1635820 писал(а):

Из $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$ - да, выводится $p \rightarrow q$ и не выводится $p \rightarrow \neg q$.

Для полноты картины скажу, что

выводятся импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не выводятся импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

Но ограничимся импликацией $(p\to q)$, которая выводится, и импликациями $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, которые не выводятся.

Alpha AXP в сообщении #1635825 писал(а):

Какова Ваша мысль, что Вы хотели сказать?

Приведу пример.

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число.

Возьмем высказывания $p= и $q= и к ним контрвысказывания $\neg p= и $\neg q=.

Конъюнкция $p\wedge \neg q$ исключается, потому что если натуральное число делится на $4$, то оно не может не делиться на $2$. Поэтому

из того, что $\lambda$ делится на $4$, следует, что $\lambda$ делится на $2$.

При этом

из того, что $\lambda$ не делится на $4$, не следует, что $\lambda$ не делится на $2$,

и

из того, что $\lambda$ не делится на $4$, не следует, что $\lambda$ делится на $2$.

Итак, вопрос:

если импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$ не выводятся, то почему о них говорят (так, как если бы они выводились)?

Пусть $p$ и $q$ -- истинные высказывания, тогда $(\neg p\to \neg q)$ это импликация типа "из лжи следует ложь", а $(\neg p\to q)$ это импликация типа "из лжи следует правда".

Но почему говорят, что ложь и правда "следуют", если эти импликации не выводятся?

tolstopuz в сообщении #1635746 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):

То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".

Это высказывание тождественно истинно. Вы предлагаете добавлять к импликации ритуальное истинное высказывание? Типа японского "дэсу"?

Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).

Например, к импликации $GRH\to A$, доказанной в статье. Или вам наконец-то без дополнительных заклинаний, подпрыгиваний и подмигиваний понятно, что она эквивалентна $GRH\wedge A\vee\neg GRH\wedge\neg A\vee\neg GRH\wedge A$ и дальнейшие пояснения к ней не требуются?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

$(\neg p\cap \neg q) \vee (\neg p\cap q) \vee (p\cap q)$:

Тогда уж $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

если импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$ не выводятся, то почему о них говорят (так, как если бы они выводились)?

Кто говорит так, как если бы они выводились? О них просто говорят. Можно говорить и о формулах, которые не выводятся.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

Но почему говорят, что ложь и правда "следуют", если эти импликации не выводятся?

Потому что формулы $\bot \rightarrow \top$ и $(\lambda \equiv 0 \pmod 2) \rightarrow (\lambda \equiv 0 \pmod 4)$ - это разные формулы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):

Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет

Нет понятия "импликации нет". Есть понятия "импликация истинна", "импликация ложна", "импликация общезначима" (в немного разных контекстах).

(Оффтоп)

Понятие "импликация есть" на самом деле есть в модальной логике, но оно там имеет строгий смысл, и Вам это не надо.

[Alpha AXP]

Vladimir Pliassov
Не это ли совпадение вводило Вас в заблуждение из-за которого Вы исключали именно третью конъюнкцию?

$$\begin {matrix} 1.&(\neg p\wedge \neg q ) \rightarrow (\bot \rightarrow \bot) \\ \\ 2.&(\neg p\wedge q) \rightarrow (\bot \rightarrow \top)\\ \\ 3.&\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}\\ \\ 4.&(p\wedge q) \rightarrow (\top \rightarrow \top) \end {matrix} $$

Правая сторона получается из левой путем замены конъюнкции на импликацию.

1. Ложь и ложь влекут ложь, влекущую ложь.
2. Ложь и истина влекут ложь, влекущую истину.
3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.
4. Истина и истина влекут истину, влекущую истину.