кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646575 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646558 писал(а):

Хотя кортеж не кристалл (по-вашему) но по формуле Х-Л подсчитано верно (поправочный коэффициент равен 1).

Да, и для троек я даже расписал от чего он зависит:

Yadryara в сообщении #1646077 писал(а):

 2,3    5    7   11   13

 100  200  150  125  120

Если диаметр делится только на простые 2 и 3, то количество всех минимальное. Его я приравнял к 100.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 5, то количество всех вдвое больше минимального, приравнено к 200.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 7, то количество всех в 1.5 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 11, то количество всех в 1.25 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 13, то количество всех в 1.2 раза больше минимального.

vicvolf в сообщении #1646571 писал(а):

А можно посмотреть результаты работы исправленной программы?

А, ну ввёл поправку PM=2, отлично отработала, хотя данные по Вашей ссылке только до 1е5 :

А почему PM=2, когда диаметр делится на 2 и 3?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646544 писал(а):

Dmitriy40, Спасибо! Опять высоченная точность:

Только странно что она не уменьшилась сильно вновь.

Yadryara в сообщении #1646544 писал(а):

А вот насчёт 9-к сомнение. Я так понимаю, что посчитать 9-144-1 до 1е16 займёт часов 30.

Примерно да. Запускать?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646576 писал(а):

А почему PM=2, когда диаметр делится на 2 и 3?

Потому что это правило работает для троек, а кортеж [0, 6] — двойка.

Yadryara в сообщении #1646575 писал(а):

Да, и для троек я даже расписал от чего он зависит:

Dmitriy40 в сообщении #1646577 писал(а):

Только странно что она не уменьшилась сильно вновь.

Наоборот, не странно, уже говорил: это на предыдущем шаге сильно повезло. Гляньте на динамику погрешностей по другим кортежам, по тем же близнецам.

Dmitriy40 в сообщении #1646577 писал(а):

Запускать?

Если не трудно.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646578 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646576 писал(а):

А почему PM=2, когда диаметр делится на 2 и 3?

Потому что это правило работает для троек, а кортеж [0, 6] — двойка.

А для двоек, четверок, пятерок и.т.д. какие PM?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646581 писал(а):

А для двоек, четверок, пятерок и.т.д. какие PM?

Надо выяснять. Может найдётся универсальное правило. Программу все видели, нужно менять только паттерн, факты по нему, диапазон, ну и PM.

Для некоторых 5-к и 7-к и 9-ки уже показывал PM :

Yadryara в сообщении #1646373 писал(а):

[0, 30, 60, 90, 120] 1
[0, 60, 120, 270, 120] 1
[0, 90, 180, 270, 360] 1

[0, 18, 48, 54, 60, 90, 108] 1 
[0, 24, 48, 54, 60, 84, 108] 1
[0, 24, 30, 54, 78, 84, 108] 4 / 3
[0, 18, 24, 54, 84, 90, 108] 3 / 2

[0, 6, 12, 66, 120, 126, 132] 7 / 4

[0, 12, 30, 42, 72, 102, 114, 132, 144] 3 ?

[Yadryara]

Ну что, будем писать на МатМир Вольфрама об ошибке?

Из этих формул





нельзя получить асимптотические формулы (5) и (6) отсюда:





https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html
https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646575 писал(а):

ввёл поправку PM=2, отлично отработала, хотя данные по Вашей ссылке только до 1е5 :

2     [0, 6]

10^     HL-1 x2      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1    9.672377                        2    3.84
2    27.07098         2.80          16    0.692
3    91.59100         3.38          74    0.238
4    428.4219         4.68         411    0.0424
5    2497.417         5.83        2447    0.0206

У меня такое впечатление, что имеется ошибка в расчете коэффициентов в программе.

[Yadryara]

vicvolf

На всякий случай пересчитал до 1е9:

2     [0, 6]

10^     HL-1 x2      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1         9.672377                    2    3.84
2        27.07098       2.80         16    0.692
3        91.59100       3.38         74    0.238
4       428.4219        4.68        411    0.0424
5      2497.417         5.83       2447    0.0206
6     16496.06          6.61      16386    0.00672
7    117507.6           7.12     117207    0.00256
8    880735.6           7.50     879908    0.000941
9   6850616             7.78    6849047    0.000229

Всё чётко, погрешность падает, причём неуклонно.

То есть формула (5) на МатМире верная, только она подходит не для чистых секспар (A093738), а для всех (A023201), то есть считается не только количество кортежей [0, 6], но и загрязнённых [0, 2, 6] и [0, 4, 6].

https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Там же ниже и сравнение проведено для 1е5-8. Числа те же, что и у меня.

Кроме того, выше уже писал, что формулу (5) нельзя получить из вот этой общей:

Yadryara в сообщении #1646001 писал(а):

$$C(m_1,m_2,...,m_k)=2^k\prod_{p>2}^{\infty}\frac{1-\frac{w(p;m_1,m_2,...,m_k)}p}{{(1-\frac1p)^{k+1}}}$$

Ну и тут конечно не я, а vicvolf должен воскликнуть:

Вы там, на МатМире! Почему вы на 4 умножили в формуле (5), а не на 2, как в формулах (1) и (3) ? Подгонка ??!

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646614 писал(а):

Здесь ничего не сказано, что первая гипотеза Харди-Литтлвуда может применяться только к "кристаллам". Она может применяться к любым кортежам, которые проходят по модулю. Это могут и "чистые" кортежи, по-вашей терминологии, и "грязные". Нигде также не сказано о необходимости применения поправочных коэффициентов. Значит искать ошибки надо у себя.

-- 18.07.2024, 09:43 --

Yadryara в сообщении #1646625 писал(а):

То есть формула (5) на МатМире верная, только она подходит не для чистых секспар (A093738), а для всех (A023201), то есть считается не только количество кортежей [0, 6], но и загрязнённых [0, 2, 6] и [0, 4, 6].

Конечно, она подходит для всех. Формула считает количество кортежей, где на расстоянии 6 стоят простые числа. Ей неважно, какие там "загрязнения".

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646626 писал(а):

Конечно, она подходит для всех. Формула считает количество кортежей, где на расстоянии 6 стоят простые числа. Ей неважно, какие там "загрязнения".

Значит верен 3-й мой тезис:

3. Гипотеза HL-1 с поправкой работает для всех (чистых и грязных) кортежей.

Но именно что с поправкой. То есть либо существует правильная более сложная формула (которая не указана) либо на МатМире применили подгонку.

vicvolf в сообщении #1646626 писал(а):

Нигде также не сказано о необходимости применения поправочных коэффициентов.

Вот именно, что не сказано. А надо было сказать. Потому что $PM=2$ был применён на МатМире в формуле (5).

vicvolf, почему они на 4 умножили в формуле (5), а не на 2, как в формулах (1) и (3) ??

Либо им тогда нужно полностью убрать из примеров кортеж [0, 6]. Тогда общую формулу исправлять будет не надо.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646632 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646626 писал(а):

vicvolf, почему они на 4 умножили в формуле (5), а не на 2, как в формулах (1) и (3) ??

В сравнении $x(x+4)=0(mod3)$ количество решений 2, а в $x(x+6)=0(mod3)$ количество решений 1. А там и там в числителе стоит $p-2$. Смотрите внимательно.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646637 писал(а):

Смотрите внимательно.

Так это Вы смотрите внимательно. $k=1$, на 1-цу меньше длины кортежей. Так что никаких сравнений по модулю 3 выполнять не надо, потому что $3>2$.

-- 18.07.2024, 11:33 --

Вот, кстати, для $k=1$ у них более сложная формула (4) :

$$C(m)=2\prod_{p>2}^{\infty}\frac{p(p - 2)}{(p - 1)^2}\prod_{p|m}\frac{(p - 1)}{(p - 2)}$$

https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

Вот во втором произведении и вычисляется этот поправочный множитель ($PM=2$). Здесь $p=m=3$.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1646532 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1646525 писал(а):

gris
Вот пробная часть статистики, с 1e6 по 1e12, почти 13.8млн кортежей: https://cloud.mail.ru/public/GCsN/mgRC2ALaG (почти 1МБ текста).

Файл обновил, 47.5млн кортежей, по 1e13, 1.5МБ текста.

Снова обновил, почти 169млн кортежей, до 1e14, 2.3МБ текста. Дальше продолжать не буду.

Количество найденных кортежей по количеству единиц в коде (совпадений с паттерном 19-252), т.е. valids, 2...19:
[47868374, 58958158, 37190524, 16570240, 5888279, 1728537, 426615, 88964, 15701, 2383, 309, 44, 5, 0, 0, 0, 0, 0]

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1646640 писал(а):

Так что никаких сравнений по модулю 3 выполнять не надо,

Нет, в некоторых случаях, похоже, что надо сделать ещё одну проверку по модулям. Вот такой кусок кода надо добавить и все известные PM вычисляются вроде правильно:

PM = 1;
forprime(p=#v+1,v[#v]/2, m=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));
PM *= #m/(p - #v));

Да, аж до радиуса делаю, с запасом.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646654 писал(а):

m=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));

Если в m интересует только количество (#m), то можно не делать setminus, а сделать просто m=p-#Set(-v%p) (m будет сразу равно количеству разрешённых остатков как разнице всех и количества запрещённых).