Правильное определение работы силы

[мат-ламер]

Как правильно определить работу силы по траектории (пути)?

Будем считать, что у нас есть некоторая траектория $S$ и некоторая сила $\vec{F}$ , заданная на этой траектории (пути). Вне этой траектории она возможно и не задана. Я нашёл три разных подхода к определению работы силы на этой траектории.

Первый подход - самый абстрактный. В нём никаких материальных точек не рассматривается. Работа силы $\vec{F}$ по пути $S$ определяется через криволинейный интеграл $A=\int \vec{F} \cdot d\vec{S}$ . Иногда с этим путём ассоциируют некоторую абстрактную точку, которая движется вдоль пути. Такой абстрактный подход реализован, в частности, в учебнике механики Арнольда (параграф 6).

Второй подход - конкретный. В нём рассматривается некоторая материальная точка. И определяется работа силы над материальной точкой вдоль пути. Определяется через интеграл, как и в первом подходе.

Третий подход - хитрый. Вначале параграфа рассматривается некая материальная точка и говорится много интересных слов. Когда доходит дело до определения, то говорится просто о точке. И тут очень трудно догадаться, о какой точке идёт речь - об абстрактной или материальной.

Теперь предположим, что нам надо разобраться в том, что следует понимать под работой силы над телом, которое мы рассматриваем как систему точек. Мы можем рассматривать работу силы над каждой точкой по отдельности. Затем просуммировать (проинтегрировать) эти работы по всем точкам. Но тут возникает трудность. Если сила задана в большой области, в котором движется тело, то тут проблем нет. В данном случае мы можем говорить о работе силового поля над телом (системой точек). А вот, если сила у нас задана только на некотором пути? Этот путь не ассоциирован ни с какой конкретной точкой. Точнее, на этом пути расположено множество (возможно бесконечное) точек нашего тела (системы точек). Я так думаю, что в этом случае лучше всего воспользоваться первым абстрактным определением в духе учебника Арнольда. Но сильно в этом не уверен. Помогите разобраться с этим случаем.

И вообще, какой из трёх первоначально рассмотренных подходов лучше брать за основу определения работы силы?

[sergey zhukov]

мат-ламер
Давайте без абастрактных точек. Сила $F$ прикладывается всегда к точке конкретного тела. У этой точки этого тела в любой момент времени есть вполне конкретная мгновенная скорость $u$. Тогда элеменарная работа силы этой силы за время $dt$ будет $dA=Fudt$ (считаем для простоты, что сила и скорость сонаправлены, так то скалярное произведение). Теперь интегрируйте вдоль пути.
Если в момент $t$ сила приложена к одной точке, а в момент $t+dt$ - уже к другой, расположенной от первой на расстоянии $dS$, так это не значит, что сила $F$ совершила работу $dA=FdS$. Это просто разные силы были проложены к разным точкам в разные моменты времени. Как в примере с катящимся колесом.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1616821 писал(а):

Тогда элеменарная работа силы этой силы за время $dt$ будет $dA=Fudt$.

Можно ли эту элементарную работу назвать мощностью силы относительно данной материальной точки в данный момент времени?

[sergey zhukov]

мат-ламер
Ну что за ерунда? Работа - это работа (Дж). А мощность - отношение работы к промежутку времени, в течение которого она выполняется (Дж/сек). Не нужно работу называть мощностью. Мощность силы - это просто $Fu$.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1616825 писал(а):

мат-ламер
Ну что за ерунда? Работа - это работа (Дж). А мощность - отношение работы к промежутку времени,

У нас вроде промежуток времени бесконечно малый - $dt$ , а не конечный. Пока туплю. Буду разбираться.

[Anton_Peplov]

мат-ламер в сообщении #1616826 писал(а):

У нас вроде промежуток времени бесконечно малый - $dt$ , а не конечный.

Да. И чтобы получить мощность, нужно разделить элементарную работу $dA$, совершенную за время $dt$, на это самое время $dt$. Ибо заповедано: $P = \dfrac {dA}{dt}$. Вспоминайте дифференциальное исчисление, в физике без него никуда.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1616820 писал(а):

в учебнике механики Арнольда

Это ученик Колмогорова? Тогда, по идее, там должно быть всё математически строго: связи определяют конфигурационное пространство, работа совершается, если меняется энергия системы... и никаких тебе реакций)

(Оффтоп)

Пришла мысль - запретить реакции называть силами! А также частично запретить употреблять слово "реакция". В лексиконе механика оставить слово "связь" и хватит

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

ihq.pl в сообщении #1616832 писал(а):

Пришла мысль - запретить реакции называть силами! А также частично запретить употреблять слово "реакция".

Весьма реакционная мера.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1616820 писал(а):

Будем считать, что у нас есть некоторая траектория $S$

Траектория чего?

Начните с определений. Траектория - это ...

-- 08.11.2023, 14:01 --

мат-ламер в сообщении #1616823 писал(а):

относительно данной материальной точки

Нет никакого относительно точки. У силы есть точка приложения. Сила, совершая работу, передаёт ей энергию. Закон сохранения энергии фундаментален, и всё, что его игнорирует, подлежит выкидыванию. Относительно бывает только относительно системы отсчёта. В другой системе отсчёта работа силы будет другая.

Но не забывайте, что физика и теорфизика - разные физики, изучаемые в разных курсах. Хоть и плотно связанные друг с другом, конечно. Но требовать полного совпадения моделей и терминологии от них странно. Не лезьте в учебники Арнольда, если плаваете в школьной физике. В большинстве технических приложений достаточно общей физики, и используется именно базовая физическая терминология.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1616841 писал(а):

Траектория чего?

Начните с определений. Траектория - это ...

Допустим каждому моменту времени $t$ из некоторого отрезка мы поставили в соответствие некий вектор $\vec{a}(t)$ , то есть некое положение некой абстрактной точки. Тем самым описываем движение этой точки. На это движение желательно наложить некие условия. Допустим, оно должно быть непрерывным. Более того, нам желательно находить скорость этой точки. То есть отображение $t \to \vec{a}(t)$ должно быть дифференцируемым. Может надо добавить и какие-то другие условия. Выяснится в процессе обсуждения.

-- Ср ноя 08, 2023 15:51:28 --

мат-ламер в сообщении #1616823 писал(а):

Можно ли эту элементарную работу назвать мощностью силы относительно данной материальной точки в данный момент времени?

realeugene в сообщении #1616841 писал(а):

Нет никакого относительно точки. У силы есть точка приложения.

Данную материальную точку рассматриваем как точку приложения силы.

realeugene в сообщении #1616841 писал(а):

Сила, совершая работу, передаёт ей энергию.

Поскольку я рассматривал конкретный момент времени, я заикнулся о мощности.

realeugene в сообщении #1616841 писал(а):

Относительно бывает только относительно системы отсчёта

Возможно я слово "относительно" не так употребил. Но память мне подсказывает. что где-то такую формулировку я видел. Но спорить не буду.

realeugene в сообщении #1616841 писал(а):

В другой системе отсчёта работа силы будет другая.

Это потому как скорость точек приложения силы будет другая? Ведь сама сила и траектория её приложения останется той же.

[sergey zhukov]

мат-ламер
Вот вы поставили фломастером точку на чем-то. На эту точку сила действует. Так вот траектория этой точки имеется ввиду, которая фломастером отмечена. Если нельзя ее фломастером отметить, это точка плохая. Нам не подходит.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1616848 писал(а):

то есть некое положение некой абстрактной точки.

Понятие траектории изучается в школе. Вы, на самом деле, думаете, что школьники рассуждают про "некую абстрактную точку"? И про дифференцируемые отображения? Большинство школьников ничего про это ещё не знает.

Спуститесь к основам. Понятие траектории формулируется изначально именно в терминах материальной точки.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1616850 писал(а):

Так вот траектория этой точки имеется ввиду, которая фломастером отмечена.

Вы про какую траекторию тут говорите? Ту траекторию, на которой задана сила? Или траектория точки, на которую сила действует?

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1616848 писал(а):

Это потому как скорость точек приложения силы будет другая?

Это потому, что само понятие энергии зависит от системы отсчёта. В другой системе отсчёта и кинетическая энергия, и работы сил будут другими. Впрочем, и траектория тоже будет другой. И, кстати, для понятия энергии очень важно, что система отсчёта инерциальная.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1616851 писал(а):

Понятие траектории изучается в школе.

Да, я уже забыл всё.

realeugene в сообщении #1616851 писал(а):

Вы, на самом деле, думаете, что школьники рассуждают про "некую абстрактную точку"?

Про школьников не думал.

realeugene в сообщении #1616851 писал(а):

Понятие траектории формулируется изначально именно в терминах материальной точки.

У меня мнение, что можно говорить о траектории как абстрактной точки, так и о траектории материальной точки.