Элементарная алгебра для отстающих

[electron2501]

gefest_md в сообщении #1605558 писал(а):

electron2501 в сообщении #1605548 писал(а):

2) $y=13(\frac{y+28}{9})+12$
3) $-12y=472$ и далее $y=-39\frac{1}{3}$

$-12$

Извиняюсь за очередной глупый вопрос (я глазам своим не могу поверить просто)... -25y=472$?

[wrest]

electron2501 в сообщении #1605548 писал(а):

и точку пересечения прямых $y=9x-28$ и $y=13x+12$.

Ну тут я бы думал в такую сторону.
Пусть точка пересечения двух прямых будет $(x_0;y_0)$ - тогда $y_0=9x_0-28$ и $y_0=13x_0+12$
Если $a=b$ и $a=c$, то очевидно $b=c$. Значит $9x_0-28=13x_0+12$ откуда находим $x_0$, подставляем его в любое из двух уравнений и находим $y_0$
Пусть уравнение искомой прямой будет $y=kx+m$. Посольку она походит через начало координат, то $0=k\cdot 0+m$ откуда находим $m$. Она так же проходит через выше найденную точку $(x_0;y_0)$ так что $y_0=kx_0+m$ откуда, уже зная $x_0;y_0;m$, находим $k$.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1605804 писал(а):

$ -25y=472$?

Пока тоже неверно.

Уравнение $y=13\cdot\dfrac{y+28}{9}+12$ умножаете на $9:$

$9\cdot y=9\cdot 13\cdot\dfrac{y+28}{9}+9\cdot 12$

Дробь пишите развёрнуто:
$9\cdot y=9\cdot 13\cdot\dfrac19\cdot(y+28)+9\cdot 12$

В произведении чисел порядок сомножителей не важен:
$9\cdot y=9\cdot\dfrac19 \cdot 13\cdot(y+28)+9\cdot 12$

Дальше умножаете $9$ на $\dfrac19$, открываете скобки по закону дистрибутивности, всё, что с игреком переносите правильно в одну сторону, без игрека - в другую. Напишите к чему пришли.

[electron2501]

Скажите, я правильно понимаю в правой части. По сути $13(\frac{1}9{y}+\frac{28}{9})$ это один член и корректно тогда $9(\frac{13}{1}(\frac{1}9{y}+\frac{28}{9})$. То есть, я могу сначала умножить 13 на $\frac{1}{9}$ и 13 на $\frac{28}{9}$, а потом уже получившееся умножать на 9, так?

И таким образом получается $-4y=472$

Да, в этот раз всё получилось! Спасибо большое, в следующий раз буду внимательней с процедурой избавления от знаменателей, снова та же ошибка

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1605863 писал(а):

То есть, я могу сначала умножить 13 на $\frac{1}{9}$ и 13 на $\frac{28}{9}$, а потом уже получившееся умножать на 9, так?

Тоже верно, но чтобы получить такую сумму всё равно надо писать первоначальную дробь развёрнуто (см. первое равенство ниже), а раз уже так написано, то можно от дроби и избавиться, что, по-моему, желательно делать быстрее.

$\dfrac{y+28}{9}=\dfrac19\cdot(y+28)=\dfrac19\cdot y+\dfrac19\cdot 28=\dfrac{y}{9}+\dfrac{28}{9}$ (сумма, которую Вы умножили на $13$)

[electron2501]

Здравствуйте! Я столкнулась с проблемой избавления от знаменателя в случаях когда в нём присутствуют переменные. В учебнике почему-то нет на данный момент объяснений данного момента, но задания уже есть. Задача следующая. "Если числитель умножить на 3, а из знаменателя вычесть 3, то получится 3. А если из числителя вычесть 3, а знаменатель умножить на 3, то будет $\frac{1}{12}$". Таким образом я получила систему из уравнений $\frac{3X}{Y-3}=3$ и $\frac{X-3}{3Y}=\frac{1}{12}$

Правильно ли я составила систему уравнений и, главное, как её решить?

-- 25.08.2023, 18:16 --

Хм, какой интересный параграф! Вот следующая задача: "Сумма цифр числа равна 12. Если цифры этого числа поменять местами, то будет число на 36 больше изначального. Какое это число?" Методом подбора не сложно понять что ответ 48. Но! Этот параграф называется "Системы уравнений и моделирование реальных ситуаций". Какова же система уравнений здесь? Ведь если за Х и Y брать цифры числа, то ничего не выйдет, т.к. "от перестановки слагаемых сумма не меняется".

[wrest]

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Ведь если за Х и Y брать цифры числа, то ничего не выйдет, т.к. "от перестановки слагаемых сумма не меняется".

Меняется
$48=4\cdot 10 + 8$
$84=8\cdot 10 +4$
То есть
$x+y=12$ - сумма цифр
$10x+y$ - большее число
$10y+x$ - меньшее число
$10x+y-(10y+x)=36$
Откуда $x-y=4$ ну и соответственно $x=8;y=4$
Ну это для двузачных чисел, хотя наверное в условии именно двузначное и имеется в виду.

-- 25.08.2023, 18:35 --

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Правильно ли я составила систему уравнений и, главное, как её решить?

Составили правильно.
Решить можно приведя уравнения к виду
$a_1X+b_1Y=c_1$
$a_2X+b_2Y=c_2$
Ну и далее обычным путём, выражая $X$ через $Y$ в одном уравнении и подставляя его во второе.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Таким образом я получила систему из уравнений $\frac{3X}{Y-3}=3$ и $\frac{X-3}{3Y}=\frac{1}{12}$

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Я столкнулась с проблемой избавления от знаменателя в случаях когда в нём присутствуют переменные.

Уравнения составлены правильно. Избавление от дроби происходит точно также. Раньше было число $9$, теперь число $Y-3$ (в первом уравнении).

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

"Сумма цифр числа равна 12. Если цифры этого числа поменять местами, то будет число на 36 больше изначального. Какое это число?"

Вот число $\overline{xy}$ и дано, что $x+y=12.$ Дальше дано, что $\overline{yx}-\overline{xy}=36.$ Наверное надо левую часть последнего равенства переписать в удобном виде.

[Dedekind]

(Оффтоп)

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

"Сумма цифр числа равна 12. Если цифры этого числа поменять местами, то будет число на 36 больше изначального. Какое это число?"

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Этот параграф называется "Системы уравнений и моделирование реальных ситуаций".

Ммм, какая "реальная" ситуация, однако:)

[electron2501]

gefest_md в сообщении #1606527 писал(а):

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Таким образом я получила систему из уравнений $\frac{3X}{Y-3}=3$ и $\frac{X-3}{3Y}=\frac{1}{12}$

electron2501 в сообщении #1606518 писал(а):

Я столкнулась с проблемой избавления от знаменателя в случаях когда в нём присутствуют переменные.

Уравнения составлены правильно. Избавление от дроби происходит точно также. Раньше было число $9$, теперь число $Y-3$ (в первом уравнении).
[quote="electron2501 в сообщении #1606518"]

Не понимаю. Каким образом происходит перемножение и последующее избавление от знаменателя? Получается выражение $3X(Y-3)$, так? Далее $3XY-9X$. Что делать с новой переменной XY и как это выражение избавляет от знаменателя Y-3?

[wrest]

electron2501 в сообщении #1606594 писал(а):

Не понимаю. Каким образом происходит перемножение и последующее избавление от знаменателя?

Тут, возможно, надо вспомнить, что вообще такое операция деления. То есть - что есть частное?

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1606594 писал(а):

Получается выражение $3X(Y-3)$, так?

Не так, если хотите проще. Когда говорят умножить равенство $\dfrac{3x}{y-3}=3$ на число $y-3$, это значит сначала поставить рядом к левой части и правой части равенства это число: $(y-3)\cdot\dfrac{3x}{y-3}=(y-3)\cdot 3.$

Дробь $\dfrac{3x}{y-3}$ равна по определению произведению $\dfrac{1}{y-3}\cdot 3x.$ Дальше, конечно, можно умножить $y-3$ на $3x$, как Вы сделали, а можно умножить $y-3$ на $\dfrac{1}{y-3}$, тогда, возможно, получится проще. Об этом было сказано уже.
Почему, кстати, Вы умножили уравнение на $y-3$, а не на какое-нибудь другое число?

[electron2501]

Здравствуйте! У меня вопрос по задаче "найдите число 48". Почему там именно на 10 нужно умножать? Я попробовала интереса ради умножить на 2. То есть, большее число $2y+x$ и так далее. в результате $y=24$, а $x=-12$ вообще. Почему так?

-- 27.08.2023, 15:13 --

gefest_md в сообщении #1606599 писал(а):

electron2501 в сообщении #1606594 писал(а):

Получается выражение $3X(Y-3)$, так?

Не так, если хотите проще. Когда говорят умножить равенство $\dfrac{3x}{y-3}=3$ на число $y-3$, это значит сначала поставить рядом к левой части и правой части равенства это число: $(y-3)\cdot\dfrac{3x}{y-3}=(y-3)\cdot 3.$

Дробь $\dfrac{3x}{y-3}$ равна по определению произведению $\dfrac{1}{y-3}\cdot 3x.$ Дальше, конечно, можно умножить $y-3$ на $3x$, как Вы сделали, а можно умножить $y-3$ на $\dfrac{1}{y-3}$, тогда, возможно, получится проще. Об этом было сказано уже.
Почему, кстати, Вы умножили уравнение на $y-3$, а не на какое-нибудь другое число?

Потому что для избавления от знаменателя нужно взять наибольшее общее кратное и на него умножить все части уравнения, а потом сокращать. Кстати, в предыдущей главе был более сложный случай подобного уравнения (помеченного как "усложнённое задание"), я его пропустила пока, но это же теперь как "простое задание" в данной главе, хотя случаи с переменными в знаменателях не рассматривались в учебнике на данный момент. Нужно в этом разобраться. Я сегодня не могу нормально позаниматься, к сожалению, а вот завтра займусь сосредоточенно и приведу и то задание, так как там в знаменателях совсем разные переменные и как из них НОК делать не ясно вообще

[wrest]

electron2501 в сообщении #1606821 писал(а):

Здравствуйте! У меня вопрос по задаче "найдите число 48". Почему там именно на 10 нужно умножать?

Вот если бы было 58... пятьдесят восемь - там сразу ясно что пять десятков. А когда "сорок", то не ясно. Во если бы 48 читалось "четыредесять восемь" (как в болгарском), то откуда там "десять" вопрос бы наверное не возник. Или все равно неясно?

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1606821 писал(а):

Почему там именно на 10 нужно умножать? Я попробовала интереса ради умножить на 2.

В школьной математике имеют дело с десятичной системой счисления. Поэтому когда пишут число $a$ в виде $\overline{xy},$ то имеют в виду, что это равносильно, по определению, следующим условиям:

$a=x\cdot(\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{десять раз}})^1+y\cdot (\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{десять раз}})^0;$

$x\in\{1,2,\dots, 9\};$

$y\in\{0,1,2,\dots, 9\}.$


Если бы Вам сказали в начальных классах, что будете работать в двоичной системе счисления, тогда Вы рассматривали бы такие условия:

$a=x\cdot 2^1+y\cdot 2^0;$

$x\in\{1\};$

$y\in\{0,1\}.$