Элементарная алгебра для отстающих

[electron2501]

Хм... Всё же удивителен мир разума Простые вещи можно объяснять разным способом, каждый мыслит по своему и передаёт это другому тоже по разному. Подозреваю, что либо EUgeneUS когда-то сам был двоечником и научился (соответственно, понимает мышление новичков более глубоко), либо он имеет опыт преподавания у детей. Тут я скорее сообразила, что если 2 в 3n, то 2 в 2n+14 говорит о том, что 14 это и есть n. Попробую решить остальные примеры. Эти задания на нетривиальность мышления больше, конечно. Нужно суметь увидеть особым образом. Буду развивать этот навык. Очередной раз всем спасибо за помощь!

[electron2501]

Здравствуйте! Нашлось время на эти пропущенные задания. С 9 я так и не разобралась, к сожалению.
б) $2^{k+13}=32 \cdot 8^k$

У меня получилось следующее преобразование: $$2^{k+13}=2^{8k}$, так как правая часть вроде как $2^{5}+2^{3k}$ Верное ли это преобразование и что с ним дальше делать? Я не могу этого увидеть. Того, то есть, каким образом ответом станет 4.

[Dedekind]

electron2501 в сообщении #1603835 писал(а):

$2^{5}+2^{3k}$

Умножить, а не плюс.
И как у Вас $8k$ получилось, напишите подробно.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1603835 писал(а):

У меня получилось следующее преобразование: $2^{k+13}=2^{8k}$, так как правая часть вроде как $2^{5}+2^{3k}$

Смысл приведения уравнения к одинаковым основаниям (здесь $2$) заключается в возможности применения такой теоремы.

Теорема 1. Если $2^x=2^y,$ то $x=y$ (для любых натуральных $x,\ y$).

Перед применением теоремы 1 надо применить такую теорему.

Теорема 2. $2^x\cdot 2^y= 2^{x+y}$ (для любых натуральных $x,\ y$).

Применяйте теорему 2 ровно так, как написано: вместо $x$ подставляйте $5$, а вместо $y$ подставляйте $3k$ (то же, что $3\cdot k$).

Теорема 1 упрощает равенство. Получаете упрощённое равенство, из которого надо вывести значение $k.$ Вспоминайте как решать уравнение первой степени с одним неизвестным.

Вторая часть решения данного уравнения состоит в проверке того, что подстановка в уравнение полученного значения $k$ (именно $4$) даёт истинное высказывание-равенство.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1604875 писал(а):

Что не так?

Вывод из уравнения $\frac{2x+y}{4}=-2.$
$\frac{2x+y}{4}$ это условная запись для произведения $(2x+y)\cdot\frac{1}{4}$, где $\frac{1}{4}$ число, которое умноженное на $4$ даёт $1.$
Поэтому $(2x+y)\cdot\frac14=-2.$ Это равенство умножьте на $4$ слева и справа, чтобы истинность не менялась: $(2x+y)\cdot\frac14\cdot 4=-2\cdot 4.$
Попробуйте из этого равенства выразить $y$ и подставить выражение в первое уравнение.


$\begin{cases}2x-3y=-24\\\dfrac{2x+y}{4}=-2\end{cases}$

[electron2501]

Здравствуйте, уважаемый Гефест, а также другие участники форума! Мне решительно необходима помощь. Я сейчас прохожу параграф "Решение систем линейных уравнений методом подстановки". В целом сам принцип я поняла и пару упражнений успешно решила. Но столкнулась с заданием 17.6. Вчера я уже спрашивала по примеру "г", но удалила пост, так как там всё было просто, я по невнимательности не так от знаменателя избавлялась и до меня это дошло самостоятельно (даже ранее, чем поступил ответ здесь). Однако опять двадцать пять! И суть посложнее. Моих знаний на данный момент не хватает. Я сейчас приложу фото со своими вариантами решения. Больше ничего сообразить не могу.

Тут ещё дело вот в чём. Все мои решения сводятся к уравнениям типа $-3X+3Y = 4-4$. То есть, получается 0=0 В предыдущем упражнении (тоже пример "д", кстати) у меня была такая ситуация и там ответ был (4;-4). Я пока в ответы не заглянула долго голову ломала над этим парадоксом, ведь в учебнике ничего о такой ситуации не говорилось на данный момент. Там (в 17.5.) всё сошлось при подстановке. Тут же учебник даёт решение (-9;10) к которому я не могу прийти. Объясните что я делаю не так и что это за решения, где 0=0

(на фото карандашом эта система из упражнения написана)

https://postimg.cc/DJPT2Lxc

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1604963 писал(а):

Все мои решения сводятся к уравнениям типа $-3X+3Y = 4-4$. То есть, получается 0=0

Так это же хорошо. Ибо справа - тождественный ноль (то есть всегда ноль), а слева некоторое выражение от $X$ и $Y$.
Продолжая, можно написать:

$-3X+3Y = 4-4$
$-3X+3Y = 0$
$3Y = 3X$
$Y=X$

И получили выражение для $Y$, которое можно подставлять в уравнения системы, содержащее $Y$

electron2501 в сообщении #1604963 писал(а):

(на фото карандашом эта система из упражнения написана)

Извините, это уже неприлично. Во-первых, Вы уже освоил ЛаТеХ, пусть и с LaTeX-помощником. А во-вторых, чес-слово разглядывать что-то написанное карандашом, ломать глаза - вот зачем мне это надо?

[electron2501]

Извините, пожалуйста. Просто на фото были записаны мои рассуждения и они, вроде бы верные, хотела именно так к пониманию сути ошибки прийти.

Сейчас попытаюсь записать изначальную систему в ЛаТеХ.

https://postimg.cc/yk8kbXjB

Извините, ещё раз. Просто я как вижу этот латекс-помощник у меня начинается головокружение Тут ещё дроби со скобками и вообще целая система. А когда что-то ещё не получается, сами понимаете, не очень подходящее состояние для освоения чего-либо. (Не сочтите за лень или за неуважение тем более, пожалуйста). Прикрепляю фото страницы учебника. Упражнение "д". Так быстрее будет.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1604967 писал(а):

Просто на фото были записаны мои рассуждения

Так и рассуждения, если они в виде формул, надо в ЛаТеХе писать...

[electron2501]

EUgeneUS в сообщении #1604965 писал(а):

electron2501 в сообщении #1604963 писал(а):

Все мои решения сводятся к уравнениям типа $-3X+3Y = 4-4$. То есть, получается 0=0

Так это же хорошо. Ибо справа - тождественный ноль (то есть всегда ноль), а слева некоторое выражение от $X$ и $Y$.
Продолжая, можно написать:

$-3X+3Y = 4-4$
$-3X+3Y = 0$
$3Y = 3X$
$Y=X$

И получили выражение для $Y$, которое можно подставлять в уравнения системы, содержащее $Y$
----------------------------------------------------
Кстати, тут я тоже не поняла как из этого хода мысли следует решение (4;-4). Ведь если Y равен X, то должно быть 4=4

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1604971 писал(а):

Кстати, тут я тоже не поняла как из этого хода мысли следует решение (4;-4). Ведь если Y равен X, то должно быть 4=4

Значит в Ваших выкладках, в которых получено $-3X+3Y = 4-4$, ошибка.

[electron2501]

Попыталась решить упражнение "е", тоже ничего не вышло. Видимо, я не понимаю что делать с выражениями типа $\frac{x}{5}$+$\frac{y}{3}$=$\frac{1}{5}$ Я привожу его к $3X+5Y$=$\frac{1}{5}$
Однако из этого ничего не выходит.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1604979 писал(а):

Я привожу его к $3X+5Y=\frac{1}{5}$
Однако из этого ничего не выходит.

Как же не выходит. Выходит, но неправильно
Тут правило простое: Вы имеете право умножить уравнение на любое число, кроме нуля. Но умножать нужно и левую часть, и правую часть, на одно и тоже число.

Если уравнение:

electron2501 в сообщении #1604979 писал(а):

$\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=\frac{1}{5}$

умножить на $15$, то получится:
$15(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})=15(\frac{1}{5})$
И слева получится как у вас; а справа получится $3$ а не как у Вас.

Кстати, знак доллар не нужно вставлять внутри формул. Нужно только по краям.

[electron2501]

Хм... Как я могла упустить такие важные преобразования... Это какая тема, не подскажете? Должно быть что-то вроде "Приведение к общему знаменателю алгебраических выражений", но не помню такой в учебниках за 5-6 класс.

А как быть с выражениями по типу $X+Y=\frac{1-3Y}{4}$?

В интернете нашла "Линейные уравнения с дробями", но в моих учебниках на данный момент программы такая тема не всплывала почему-то Ладно, буду разбираться.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1604985 писал(а):

А как быть с выражениями по типу $X+Y=\frac{1-3Y}{4}$?

Смотря, что хотим получить.
Например
1. Хотим выразить $X$
$X+Y=\frac{1-3Y}{4}$
$X=\frac{1-3Y}{4} - Y$

Вообще говоря, уже выразили.
Но для удобства можно привести к такому виду:
$X=\frac{1-3Y}{4} - Y = \frac{1-7Y}{4}$

2. Хотим выразить $Y$
Первый шаг такой же - "все игреки в одну сторону, все иксы - в другую"
$X=\frac{1-3Y}{4} - Y$
Дальше есть два варианта - кому какой удобнее.
2.1. Умножаем всё на $4$
$4X = 1 - 7Y$
далее:
$7Y = 1-4X$
$Y = \frac{1-4X}{7}$

2.2. Не умножаем на $4$
$X = \frac{1}{4} - \frac{7Y}{4}$
$\frac{7Y}{4} = \frac{1}{4} - X$
$Y = \frac{1}{7} - \frac{4X}{7} = \frac{1-4X}{7}$