Элементарная алгебра для отстающих

[svv]

Сокращать можно общие для числителя и знаменателя множители, но не слагаемые.

[electron2501]

Я запуталась в этом примере, действия с дробями сохранились лишь частично. Половину примеров решила сразу, ещё некоторые после подсказок-освежителей в поисковике, но тут возникли трудности. Понятно, что после приведения к общему знаменателю получается выражение....
Опять не работает ЛаТеКс Помощник, а как слэш обратный ставить не знаю. Извиняюсь, но напишу тем, что есть под рукой, ясно и так будет.
Понятно, что подводиться к делению 5/6 на 1/6. Понятно, что при делении на единицу получается тоже самое число. Но я не нашла объяснения деления дробей с единицей при общем знаменателе у дробей, а в памяти не всплывает. Будет просто 5/6 или всё сложнее?

-- 04.03.2023, 22:49 --

Подход a/b : c/d равно a/b x d/c актуально только при разных знаменателях, так ведь?

[svv]

electron2501 в сообщении #1584328 писал(а):

Подход a/b : c/d равно a/b x d/c актуально только при разных знаменателях, так ведь?

Не знаю, как насчёт актуальности (задачи разные бывают!), но равенство
$\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\;\frac{d}{c}$
справедливо при любых $a,b,c,d$, исключая случаи $b=0,\;c=0,\;d=0$.

А докажем мы это с помощью того же приёма умножения числителя и знаменателя на одно и то же число.
Конкретнее, умножим числитель и знаменатель большой дроби на число $\frac d c$ (которое само выражается дробью).
$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}}{\frac{c}{d}\cdot \frac{d}{c}}=\dfrac{\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}}{\frac{cd}{dc}}=\dfrac{\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}}{1}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

-- Сб мар 04, 2023 23:04:37 --

svv в сообщении #1584280 писал(а):

Сокращать можно общие для числителя и знаменателя множители, но не слагаемые.

Иначе можно было бы легко превратить $\frac 1 2$ в $\frac 1 4$:
$\frac 1 2=\frac{3}{6}=\frac{1+2}{4+2}{\color{magenta}=}\frac 1 4$

[electron2501]

Здравствуйте! Изучаю учебник по алгебре за 7 класс. Двигаюсь медленно, стараюсь разбирать всё и ничего не пропускать. Столкнулась с двумя моментами. Они на картинках здесь: postimg.cc/gallery/mDTzFLN

Упражнение 11.16 и Задание 9, соответственно. Задание 9 идёт в конце главы как "Дополнительные задания", я не решила и пропустила, скрипя сердцем и с надеждой вернуться позже и решить. Однако сейчас я столкнулась с этой же проблемой, но уже в простом упражнении на повторение. Иными словами, я не могу преобразовывать подобные выражения, хотя параграф "Свойства степени с натуральными показателями" я решила вполне успешно. В Дополнениях я ещё сильно дивилась тому, что имея текущие знания это не решить в принципе, так как таких заданий не было ещё.

Объясните, пожалуйста, на примерах "а)" из обоих заданий что нужно делать.

[svv]

electron2501
Мы все страшно уважаем Ваше стремление двигаться вперёд, несмотря на недетские трудности, возникающие на Вашем пути, и с восхищением наблюдаем за Вашими успехами, но... использование $\TeX$ для записи формул всё же обязательно.
Во-первых, таковы правила.
Во-вторых, у Вас даже ссылка на картинку не оформлена. Безобразие!
Во-третьих, Ваша картинка повёрнута на 90 градусов, и я свернул шею, пытаясь прочитать формулу.
В-четвёртых, я увидел там (уже со свёрнутой шеей) только упражнение 11.16, но не Задание 9.
В-пятых, у меня на набор уравнения из 11.16 а) ушло меньше двух минут, причём безо всякого $\LaTeX$-помощника, с помощью только клавиатуры:
$\dfrac{(2x)^5\cdot(2x)^3\cdot 2}{(4x)^3\cdot 8x^4}=-3;$
Скажете, что у меня уже большой опыт? Ну а откуда он у Вас возьмётся без практики?

[wrest]

electron2501
Я набрал для вас половину упражнения 9. Вторую половину вы уж сами пож-ста наберите.

9. Решите уравнение:
a) $2^{3n}=4^{n+7}$

б) $2^{k+13}=32 \cdot 8^k$

в) $\dfrac{4^x \cdot 3^{2x}}{6^3}=216$

Ну и рассказывайте, что тут у вас не выходит...

[Cuprum2020]

(Оффтоп)

Для любого семиклассника которого я могу себе представить набор формул займёт раз в десять больше времени, чем выписывание их от руки на листе бумаги. Да и это справедливо лишь для тех 10 процентов которые захотят и смогут разобраться

[svv]

(Cuprum2020)

https://dxdy.ru/viewtopic.php?p=1578866#p1578866
И я думаю так же! Но какая разница?

[electron2501]

wrest в сообщении #1602856 писал(а):

electron2501
Я набрал для вас половину упражнения 9. Вторую половину вы уж сами пож-ста наберите.

9. Решите уравнение:
a) $2^{3n}=4^{n+7}$

б) $2^{k+13}=32 \cdot 8^k$

в) $\dfrac{4^x \cdot 3^{2x}}{6^3}=216$

Ну и рассказывайте, что тут у вас не выходит...

Здравствуйте, Wrest! Не выходит вот что. Например, в ответах на "а" дано "14". Я честно и долго искала пути нахождения этого ответа и даже получила головные боли в результате. Так же хотелось бы понять что нужно делать в упр. 11.16 "а" чтобы получить ответ "-3". Всё что предполагается по программе на данный момент это умение складывать и вычитать показатели степеней. Я пробовала разложить 8 на 4 и 2, но это не работает. Прошу вашей помощи.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1602893 писал(а):

Например, в ответах на "а" дано "14". Я честно и долго искала пути нахождения этого ответа и даже получила головные боли в результате

Не нужно так делать. Иначе Вы научитись подгонять ответ к известному, а не решать задачи.
С ответом в задачнике нужно сравнивать только свой ответ, а не использовать его, как подсказку.

electron2501 в сообщении #1602893 писал(а):

Всё что предполагается по программе на данный момент это умение складывать и вычитать показатели степеней

Ещё для решения этих задач нужно уметь "умножать показатели степенией". То есть Вам понадобятся следующие тождества.

1. $A^a \cdot A^b = A^{a+b}$

2. Если $A \ne 0$, тогда $\frac{A^a}{A^b} = A^{a-b}$

3. $(A^a)^b = A^{ab}$

Вам знакомы все три этих тождества или какие-то незнакомы?

-- 28.07.2023, 08:51 --

electron2501 в сообщении #1602893 писал(а):

Я пробовала разложить 8 на 4 и 2, но это не работает

$8$ надо разложить так: $8 = 2^3$, а $4$ так: $4=2^2$

-- 28.07.2023, 09:12 --

Теперь по конкретным задачам.

11.16

Сразу видно, что при $x=0$ знаменатель и числитель левой части обращаются в ноль, а значение левой части оказывается неопределенным, вида $\frac{0}{0}$. Поэтому сразу нужно написать, что $x \ne 0$
Далее, сразу видно, что и числитель и знаменатель левой части можно привести к виду "два в какой-то степени умножить на $x$ в какой-то степени". Вот это и нужно сделать, а потом посмотреть, что получится. Может быть, что-то можно будет скоратить

9 а)

В этом упражнении нам также понадобится вот такое утверждение:
Если $A > 0$ и $A^a = A^b$, то $a=b$.
То есть путь решения такой: и левую, и правую части уравнения нужно привести к виду "степень, причем основание степени слева и справа - одинаковое и больше нуля".

[wrest]

electron2501 в сообщении #1602893 писал(а):

Например, в ответах на "а" дано "14". Я честно и долго искала пути нахождения этого ответа и даже получила головные боли в результате.

Тоска-печаль. Решается устно. Ну раз вы долго искали пути, покажите что вы делали. Что конкретно вы делали тут?:

electron2501 в сообщении #1602893 писал(а):

Я пробовала разложить 8 на 4 и 2, но это не работает.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1602844 писал(а):

я не могу преобразовывать подобные выражения

Допустим $n$ натуральное число. И ещё допустим, что для этого числа истинно равенство $2^{3n}=4^{n+7}.$ Что можно вывести из этого равенства? Можно вывести, что $2^{3n}=\left(2^2\right)^{n+7}$ ?

[electron2501]

Здравствуйте, EUgeneUS! Вы как всегда основательны, понятны и дружественно настроены! Ответы я смотрю только когда уже совсем нет идей, конечно же. И пытаюсь увидеть путь решения, чтобы сделать дальнейшие общие выводы. Это вполне работает. Эти свойства степеней знакомы, разумеется. Без них дальше невозможно было бы. В 11.16 я пробовала все доступные на данном этапе манипуляции, но что-то не выходило. Я вернусь к этим задачам, но чуть позже. Я сегодня намаялась сильно с построениями графиков уравнений. Занимаюсь почти каждый день, так как хочу успеть догнать программу, иногда сильно устаю, аж голова болит, гудит как самолёт (не зря на обложке учебника самолёт нарисован ).

Gefest_md, если я правильно понимаю этого вывести нельзя, ведь степень станет тогда 2n+14

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1603011 писал(а):

если я правильно понимаю этого вывести нельзя, ведь степень станет тогда 2n+14

Иэхх.

Почему же, "нельзя вывести"?
В правой части этого уравнения: $2^{3n}=4^{n+7}$, мы заменяем $4$ на $2^2$ на том основании, что $4=2^2$
Далее Вы совершенно справедливо пишете:

electron2501 в сообщении #1603011 писал(а):

ведь степень станет тогда 2n+14

Но эта степень будет при основании равном .... чему?
И запишите полностью получившееся в этом случае уравнение.

записывать формулы, конечно, нужно в LaTeX.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1603011 писал(а):

Gefest_md, если я правильно понимаю этого вывести нельзя, ведь степень станет тогда 2n+14

$4^{n+7}$ и $\left(2^2\right)^{n+7}$ это числа, которые изображены таким образом потому, что число $n$ неизвестно. Можно считать, что кто-то написал на бумаге некоторое натуральное число из множества $\{1,\ 2,\ 3,\ \dots\ \}$ и бумагу спрятал в карман и нам никогда не сообщит, какое это число. Удобно для рассуждений обозначить это число буквой, например $n.$ Если бы $n$ было известно, можно было бы вычислить $4^{n+7}$ и $\left(2^2\right)^{n+7}$ и получить конкретные числа. Вот так:

$4^{n+7}=\underbrace{4\cdot 4\cdot\ldots\cdot 4}_{n+7\text{ раз}}$

$\left(2^2\right)^{n+7}=\underbrace{2^2\cdot 2^2\cdot\ldots\cdot 2^2}_{n+7\text{ раз}}$

Мой вопрос можно свести к вопросу: равны ли эти числа?

electron2501 в сообщении #1603011 писал(а):

ведь степень станет тогда 2n+14

Если Вы согласны, что из первого равенства следует второе, можно задаться вопросом какое равенство следует из второго и почему.