Элементарная алгебра для отстающих

[Dedekind]

electron2501 в сообщении #1584118 писал(а):

На самом деле нет. Следующий вопрос может не относиться к программе 6 класса. А быть, например, уже из 9 даже, но я ещё об этом не знаю. Вот тут-то помощь людей, которые видят эту науку уже весьма широко и будет наилучшим вариантом для получения хорошего и основательного ответа и притом наиболее доступным языком. В данном случае я сделала для себя определённые выводы, которые я в учебнике или в простых объяснениях из поисковика искала бы дольше гораздо, чем просто задав их в специально отведённой теме.

Таких вопросов будет меньше, если вы будете идти по-порядку. И объяснения будут для вас полезнее, если не будете перескакивать через темы. В математике такой подход вреден, она должна строиться последовательно. Просто начните читать 6-й класс, точно так же задавая вопросы, если что-то непонятно.

[electron2501]

С буквенными выражениями пока не могу работать, это ведь и есть отличие алгебры от "математики" Нужно пока "набрать форму", так сказать. Пока всё. Пойду примеры порешаю.

[Sinoid]

(Оффтоп)

electron2501 в сообщении #1584118 писал(а):

захочеться

Что сделает?

[Dedekind]

electron2501 в сообщении #1584128 писал(а):

6 класс я за неделю восстановлю

Так я и не предлагал год на него потратить:) Но сделать это нужно. А там уж смотрите сами, учебники действительно могут различаться. Может Ваш за 7-й класс покрывает материал 6-го, тут уж не знаю.

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1584118 писал(а):

Эта тема несколько другая.

"Та тема", конечно, другая. Но она ценна рекомендациями литературы.

[electron2501]

Я один из рекомендуемых учебников себе и выбрала (с задачником к нему). Ну, почти... Я выбрала тот, который Мордкович и Ко. Так как одна голова Мордковича это хорошо, голова Мордковича и соавтора ещё лучше, а головы Мордковича и Ко это вообще мега! Арифметическая прогрессия это называется, вроде

[wrest]

electron2501 в сообщении #1584128 писал(а):

С буквенными выражениями пока не могу работать, это ведь и есть отличие алгебры от "математики"

Математика это общее понятие. Алгебра, арифметика, геометрия и т.п. -- это разделы математики.
См. статью википедии "Математика", там есть некоторый перечень разделов в том или ином разрезе.
P.S. Ваш вопрос про сокращение дробей скорее относится к арифметике, т.к. затрагивает взаимосвязь чисел.

[electron2501]

Я поэтому в кавычки и взяла. Разумеется, что отличие "алгебры" от "арифметики". Просто до 7 класса "математика" это "арифметика".

[electron2501]

EUgeneUS в сообщении #1584112 писал(а):

electron2501
Про наименьшее общее кратное Вам уже рассказали выше.
Для его нахождения (в простых случаях) удобно раскладывать знаменатели на простые множители.
Ниже некоторые выкладки. Скажите, Вам понятно каждое действие\преобразование?

$\frac{1}{21} + \frac{1}{15} = \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{12}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{4}{35}$

Обратите внимание, что, несмотря на то, что мы приводили к общему знаменателю в виде наименьшего общего кратного, результирующая дробь всё равно получилась сократимой.

Извиняюсь, почему-то пропустила данное сообщение.
Нет, мне не понятны некоторые преобразования.
1) Не ясно почему на 5 умножается первый числитель, а на 7 второй, а не наоборот.
2) И почему в числителе исчезает вторая 3.

Остальное понимаю.

[svv]

electron2501 в сообщении #1584218 писал(а):

1) Не ясно почему на 5 умножается первый числитель, а на 7 второй, а не наоборот.

А так?
$\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1\cdot{\color[rgb]{0,.5,0}5}}{3 \cdot{\color[rgb]{0,.5,0}5}\cdot 7}+\frac{1\cdot{\color[rgb]{0,.5,0}7}}{3 \cdot 5\cdot{\color[rgb]{0,.5,0}7}}=\frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 7}$

electron2501 в сообщении #1584218 писал(а):

2) И почему в числителе исчезает вторая 3.

А так?
$\frac{12}{3 \cdot 5 \cdot 7} =\frac{{\color{magenta}3}\cdot 4}{{\color{magenta}3} \cdot 5 \cdot 7}=\frac{4}{5 \cdot 7}=\frac{4}{35}$

[electron2501]

Второй пример ясен. Там выражение упрощается зачёркиванием одинаковых чисел. А в первом не пойму причин появления зелёных чисел. Я этот метод не знала, да ещё и забыла. Тут логика такая, видимо -> раз в знаменатель добавили для подведения к общему знаменателю, то добавим и в числитель.

[svv]

electron2501 в сообщении #1584224 писал(а):

Второй пример ясен. Там выражение упрощается зачёркиванием одинаковых чисел. А в первом не пойму причин появления зелёных чисел. Я этот метод не знала, да ещё и забыла.

А это в точности обратное действие. Если первый пример прочитать «справа налево» (что допустимо), получится сокращение на зелёные числа. Если же второй пример читать «справа налево» (и это допустимо), получится умножение числителя и знаменателя на пурпурные числа.

electron2501 в сообщении #1584224 писал(а):

Тут логика такая, видимо -> раз в знаменатель добавили для подведения к общему знаменателю, то добавим и в числитель.

Именно. Числитель нужно умножать на то же число, иначе не будет равенства.

Наглядный пример. На столе лежит торт, нарезанный на $11$ равных кусков. Я хочу взять $3$ куска, то есть $\frac 3{11}$ от всего торта. (Да, я обожаю сладкое вообще и торты в частности.)
Не успел я это сделать, как хозяйка разрезала каждый из $11$ кусков на $5$ равных маленьких кусочков, всего получилось $55$ кусочков. Теперь, чтобы положить на тарелку желаемое количество торта, я должен взять $15$ маленьких кусочков. Математически:
$\frac 3{11}=\frac{3 \cdot 5}{11\cdot 5}=\frac{15}{55}$

[EUgeneUS]

electron2501
А вот эти правила нужно запомнить очень хорошо и довести до автоматизма.

1. Если есть отношение двух чисел (простая дробь - это отношение двух натуральных чисел), можно умножить и числитель, и знаменатель на любое число, не равное нулю, тогда результат не изменится. В буквах:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}; c \ne 0$

2. И обратно, сразу в буквах:
$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}; c \ne 0$
Словами это будет звучать так:
Если есть отношение двух чисел (простая дробь - это отношение двух натуральных чисел), можно разделить и числитель, и знаменатель на любое число, не равное нулю, тогда результат не изменится.

При сложении дробей применяются оба этих правила. Сначала первое, чтобы привести дроби к общему знаменателю. Потом второе, чтобы сократить дробь в результате.

-- 04.03.2023, 08:19 --

И ещё про сложение дробей.

Если при переходе к общему знаменателю просто перемножать знаменатели дробей (и соответственно домножать числители), а потом пытаться сократить результат, то это всегда приведет к успеху. Но так умножать придется более большие числа, что сложнее (без калькулятора )

А если при переходе к общему знаменателю приводить его к НОК, а потом пытаться сократить результат, то это тоже всегда приведёт к успеху. Но умножения будут проще.

Сравните:
$\frac{6}{55} + \frac{5}{66} = \frac{6 \cdot 66 + 5 \cdot 55}{55 \cdot 66} = \frac{396 +275}{3630} = \frac{671}{3630} = \frac{61}{330}$
и
$\frac{6}{55} + \frac{5}{66} = \frac{6}{5 \cdot 11} + \frac{5}{6 \cdot 11} = \frac{6 \cdot 6 + 5 \cdot 5}{5 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{61}{330}$

[electron2501]

Почему-то не работает LaTeX-помошник на данный момент. Поэтому просто фото прикреплю. Я правильно решила данный пример? Дело в том, что по какой-то непонятной причине (бумагу с чернилами экономили? ) в конце книги содержатся не все ответы.

-- 04.03.2023, 17:42 --

-- 04.03.2023, 17:49 --

EUgeneUS в сообщении #1584226 писал(а):

electron2501

Сравните:
$\frac{6}{55} + \frac{5}{66} = \frac{6 \cdot 66 + 5 \cdot 55}{55 \cdot 66} = \frac{396 +275}{3630} = \frac{671}{3630} = \frac{61}{330}$
и
$\frac{6}{55} + \frac{5}{66} = \frac{6}{5 \cdot 11} + \frac{5}{6 \cdot 11} = \frac{6 \cdot 6 + 5 \cdot 5}{5 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{61}{330}$

Не поняла почему в последнем примере в конце в числителе 6 и 5 умножаются сами на себя?

[EUgeneUS]

electron2501 в сообщении #1584270 писал(а):

Не поняла почему в последнем примере в конце в числителе 6 и 5 умножаются сами на себя?

Они не "сами на себя умножаются", а на те множители, которых не хватает для приведения к общему знаменателю.

$\frac{6}{5 \cdot 11} + \frac{5}{6 \cdot 11} = \frac{6 \cdot 6}{6 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 6 \cdot 11}$
В первой дроби и числитель и знаменатель умножили на $6$, во второй и числитель и знаменатель умножили на $5$, в результате привели дроби к общему знаменателю.

-- 04.03.2023, 18:09 --

electron2501 в сообщении #1584270 писал(а):

Почему-то не работает LaTeX-помошник на данный момент.

У меня работает.

electron2501 в сообщении #1584270 писал(а):

Я правильно решила данный пример?

Нет.
Вы верно записали "трех этажную дробь" после первого знака "равно", а дальше какое-то странное "вычеркивание"...

Удобнее всего решить так: сделать сложение в одной скобке, вычитание в другой, а уже потом получившиеся дроби поделить одну на другую.