Еще зацепка.
![$799^{\frac{3}{2}}=22585,00385...$ $799^{\frac{3}{2}}=22585,00385...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/a/c8a35f50e72b8ba9744d5f16b657b3a982.png)
![$31779^{\frac{3}{2}}=5665136,00385...$ $31779^{\frac{3}{2}}=5665136,00385...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/e/03ea04a48201a4e8102e7e38d2d5580682.png)
![$107759^{\frac{3}{2}}=35373687,00385...$ $107759^{\frac{3}{2}}=35373687,00385...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/7/7176ba8ac50ce230b7faefc33b4e5d1c82.png)
![$228739^{\frac{3}{2}}=109398238,00385...$ $228739^{\frac{3}{2}}=109398238,00385...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/b/15b37e11d1562042e11366d14bbf4c6082.png)
![$394719^{\frac{3}{2}}=247988789,00385...$ $394719^{\frac{3}{2}}=247988789,00385...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/876f20fc45e931a5695e050b302fc51f82.png)
![$605699^{\frac{3}{2}}=471395340,00385...$ $605699^{\frac{3}{2}}=471395340,00385...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a9052c21df87167e91c1bdd1e3db7b9782.png)
И т.д.
Тут удачный пример, а общий подход следующий: если дробные части некой последовательности образуют "квазиарифметическую прогрессию", можем разложить разность соседних дробных частей в непрерывную дробь и выписать несколько подходящих дробей. Их знаменатели суть периоды повторения дробной части членов последовательности с возрастающей точностью. Возьмем уравнение
![$a^2X-b^2Y=c,$ $a^2X-b^2Y=c,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/3/5131964b20f30d24cd17ae3f4d1cb23982.png)
где
![$\left | c \right |\leqslant 2.$ $\left | c \right |\leqslant 2.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/b/f3b72c78802e0598e2fd7d0ced24ff5f82.png)
Если пара
![$X_0,Y_0$ $X_0,Y_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/4/404e83e60ced2a52c20cf88c5a0d00d582.png)
— решение, то
![$X_k=X_0+kb^2,Y_k=Y_0+ka^2$ $X_k=X_0+kb^2,Y_k=Y_0+ka^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/7/3b7883bdcf9b0f45a823949a996c789582.png)
образуют полное решение уравнения. Тогда последовательность
![$X_kY_k$ $X_kY_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/9/469caadb1d63a491d034003593399d8b82.png)
обладает нужным свойством, то есть дробные части
![$\left ( X_kY_k \right )^{\frac{3}{2}}$ $\left ( X_kY_k \right )^{\frac{3}{2}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/a/e8afa068bed79fb6387230afe22c364c82.png)
составляют "почти" арифметические прогрессии, начало которым можем брать от наименьшей дробной части. Пример из начала удобен тем, что период
![$=10$ $=10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/8/3b8bc4145f69ad1d0fe9c144f1f93f1382.png)
, и арифметическая прогрессия дробных частей видна на глаз. Он взят из равенства
![$5^2\cdot 1-3^2\cdot 3=-2$ $5^2\cdot 1-3^2\cdot 3=-2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/5/215bb7d6109498482954b0fe1cc08dd682.png)
при
![$k=-2,-12,-22,-32,-42,-52,...$ $k=-2,-12,-22,-32,-42,-52,...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/c/3ece162ec2f2fa8c88ee1c5129ea5f5582.png)
и по сути тиражирует маленькое решение из списка
Утундрия ![$3^{\frac{3}{2}}=5,196...$ $3^{\frac{3}{2}}=5,196...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/2/882eab271a5a4411ecc0788da29d8d1682.png)
Правда, при
![$k \equiv -2 \pmod {10}$ $k \equiv -2 \pmod {10}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e6644f2bdc16687ca5d35ea8b0e79c4882.png)
найдено более точное приближение, но можно протиражировать и буквально
![$(k \equiv 0 \mod {10})$ $(k \equiv 0 \mod {10})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/7/067c3d3a5803d3c16559c380cea81a4482.png)
:
![$3^{\frac{3}{2}}=5,196...$ $3^{\frac{3}{2}}=5,196...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/2/882eab271a5a4411ecc0788da29d8d1682.png)
![$23023^{\frac{3}{2}}=3493356,196...$ $23023^{\frac{3}{2}}=3493356,196...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/5/d95f874dfd46c4ec90f60e7aa450171882.png)
![$91043^{\frac{3}{2}}=27470707,196...$ $91043^{\frac{3}{2}}=27470707,196...$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/0/bd065412988eeb5f911f6f651ffe8e9c82.png)
И т.д.
Хотя,
![$x=799$ $x=799$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/8/0a8f0892c41ef2bdb269d37bb52bc1a882.png)
тоже из списка. Сама идея брать за основу некоторое решение мне нравится, тем более что для любого
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
найдется пара множителей
![$XY=m$ $XY=m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/8/f98a612f8059d53b5966e2d2d50ddf2e82.png)
, для которой разрешимо уравнение
![$Xa^2-Yb^2=\pm1,2.$ $Xa^2-Yb^2=\pm1,2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/4/5c4f10c8d804bbce4baeaafd0a6a943782.png)
Об этом
было тут.