Как бы нам оквадратить куб?

[Andrey A]

juna в сообщении #1579168 писал(а):

Поэтому мы ничего не теряем, положив $a=Q, n=\frac{P}{2}$.

Ничего. Даже обретаем запятую. На эти целочисленные последовательности я и понадеялся, но нет, они не описывают всех решений, в частности Ваш пример. Что ж, имеем хотя бы ясно выраженный класс $3$х-параметрических решений: $V(P,Q,2n)^3 \approx V(P,Q,3n)^2.$ Хотя, лучше так: $x=V(P,Q,2n), y \approx x^{\frac{3}{2}}.$ А на большее здесь трудно рассчитывать.

[juna]

Почему запятые должны смущать? Мы погрешность $x^3-y^2$ может точно оценить.
Имеем $\alpha=\left(n+\sqrt{n^2+a}\right), \beta=\pm\left(n-\sqrt{n^2+a}\right)$
Положим для определенности $\beta=\sqrt{n^2+a}-n$

$$x=\alpha^{2k}+\beta^{2k}, y=\alpha^{3k}+\beta^{3k}, \alpha\cdot \beta=a$$

$$x^3-y^2=(\alpha^{2k}+\beta^{2k})^3-(\alpha^{3k}+\beta^{3k})^2$$

$$x^3-y^2=\alpha^{6k}+3\alpha^{4k}\beta^{2k}+3\alpha^{2k}\beta^{4k}+\beta^{6k}-\alpha^{6k}-2\alpha^{3k}\beta^{3k}-\beta^{6k}$$

$$x^3-y^2=3\alpha^{4k}\beta^{2k}+3\alpha^{2k}\beta^{4k}-2\alpha^{3k}\beta^{3k}$$

$$x^3-y^2=\alpha^{2k}\beta^{2k}\left(3\alpha^{2k}+3\beta^{2k}-2\alpha^k\beta^k\right)$$

Окончательно имеем:

$$\Delta=x^3-y^2=a^{2k}(3x-2a^k)=3xa^{2k}-2a^{3k}$$

Видно, что $a$ нужно брать малым. Возьмем все тот же пример $x=5234, a=\frac{1}{10},k=1$. Решая уравнение

$$5234=(n+\sqrt{n^2+1/10})^2+(-n+\sqrt{n^2+1/10})^2$$

Находим $n=\frac{\sqrt{26169}}{2\sqrt{5}}$
При данных значениях находим $y=378660.9997702194, \Delta=157.018$
Действительно, проверяем:

$$5234^3-378660.9997702194^2=157.0179138183594$$

Но это, конечно, все еще далеко от правды:

$$5234^3-378661^2=-17$$

Если идти дальше $k=2$ с сохранением прежних $a, n$, то уже получаем просто точное равенство:

$$27394756^3-143384152904^2=0$$

[Andrey A]

Имелось в виду $n$ с точностью до $0,5$, т.е. $P/2$. Дробными параметрами удается одну степень довести до совершенства, другие оказываются не целыми. У Вас как-то по другому. Да, интересно.

[Andrey A]

Еще зацепка.
$799^{\frac{3}{2}}=22585,00385...$
$31779^{\frac{3}{2}}=5665136,00385...$
$107759^{\frac{3}{2}}=35373687,00385...$
$228739^{\frac{3}{2}}=109398238,00385...$
$394719^{\frac{3}{2}}=247988789,00385...$
$605699^{\frac{3}{2}}=471395340,00385...$
И т.д.
Тут удачный пример, а общий подход следующий: если дробные части некой последовательности образуют "квазиарифметическую прогрессию", можем разложить разность соседних дробных частей в непрерывную дробь и выписать несколько подходящих дробей. Их знаменатели суть периоды повторения дробной части членов последовательности с возрастающей точностью. Возьмем уравнение $a^2X-b^2Y=c,$ где $\left | c \right |\leqslant 2.$ Если пара $X_0,Y_0$ — решение, то $X_k=X_0+kb^2,Y_k=Y_0+ka^2$ образуют полное решение уравнения. Тогда последовательность $X_kY_k$ обладает нужным свойством, то есть дробные части $\left ( X_kY_k \right )^{\frac{3}{2}}$ составляют "почти" арифметические прогрессии, начало которым можем брать от наименьшей дробной части. Пример из начала удобен тем, что период $=10$, и арифметическая прогрессия дробных частей видна на глаз. Он взят из равенства $5^2\cdot 1-3^2\cdot 3=-2$ при $k=-2,-12,-22,-32,-42,-52,...$ и по сути тиражирует маленькое решение из списка Утундрия $3^{\frac{3}{2}}=5,196...$ Правда, при $k \equiv -2 \pmod {10}$ найдено более точное приближение, но можно протиражировать и буквально $(k \equiv 0 \mod {10})$:
$3^{\frac{3}{2}}=5,196...$
$23023^{\frac{3}{2}}=3493356,196...$
$91043^{\frac{3}{2}}=27470707,196...$
И т.д.
Хотя, $x=799$ тоже из списка. Сама идея брать за основу некоторое решение мне нравится, тем более что для любого $m$ найдется пара множителей $XY=m$, для которой разрешимо уравнение $Xa^2-Yb^2=\pm1,2.$ Об этом было тут.