2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
mathematician123
Спасибо. Идея в целом понятна и интересна: Давенпорт доказал, что для многочленов $x=P_x(t), y=P_y(t)$ степень полученного из них многочлена $\deg(P_x^3(t)-P_y^2(t))\geq \frac{1}{2}\deg(P_x(t))+1$ ограничена снизу. В вашем примере $\deg(x)=10$ и удалось подобрать точно $\deg(x^3-y^2)=10/2+1=6$, но в отношении $q=\frac{\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}$ хорошее качество обеспечивается только в самом начале при $t=3,9$ (поскольку в знаменателе так $t$ по Давенпорту и остаётся):
$x(3)=8158, q=3,76$ - получаем известное,
$x(9)=390620082, q=1,33$ - опять известное.
Дальше $q<1$.
Также там еще одна зубодробильная формула для $x,y$ приведена, степень у $\sqrt{x}$ получается 26, степень $|x^3-y^2|$ получается 31, т.е. качество деградировать будет быстрее, но в самом начале возможны рекордсмены (думаю все известные, не проверял).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Несколько тождеств — кому полезных, а кому красивых. $$(a^3 + b^3)^2 - (a^2 - b^2)^3=b^2(a+b)^2\left (a^2+2(a-b)^2 \right )$$ $$(a^2+b^2)^3-(a^3+b^3)^2=a^2b^2\left ( (a+b)^2+2(a-b)^2 \right )$$ $$(m^2+3qn^2)^3-\left ( m(m^2-3qn^2) \right )^2=q\left ( n(3m^2-qn^2) \right )^2$$ Малые значения в правой части последнего тождества можно получить разложением $\sqrt{\dfrac{q}{3}} \approx \dfrac{m}{n}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11485
juna в сообщении #1577529 писал(а):
Не обижайтесь, но эта мотивация "Я так хочу, чтобы лето не кончалось." Процессу познания она мешать не должна.
Я, конечно, всячески приветствую любую турбулентность мысли, но в данном случае вы игнорируете часть условий задачи, фактически заменяя её другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1577601 писал(а):
$$(m^2+3qn^2)^3-\left ( m(m^2-3qn^2) \right )^2=q\left ( n(3m^2-qn^2) \right )^2$$ Малые значения в правой части последнего тождества можно получить разложением $\sqrt{\dfrac{q}{3}} \approx \dfrac{m}{n}.$
Ошибка, первые скобки без тройки: $$(m^2+qn^2)^3-\left ( m(m^2-3qn^2) \right )^2=q\left ( n(3m^2-qn^2) \right )^2$$
Интересный пример: $m=2,n=1,q=8.$ Подстановкой получаем $12^3-40^2=128,$ но после сокращения на $2^6$ имеем $3^3-5^2=2.$ Пропорциональное решение. По мере разложения $\sqrt{\dfrac{q}{3}}$ качество $\dfrac{\sqrt{x}}{x^3-y^2}$ падает, но через подобные сокращения может восстанавливаться. Хотя, что-то не очень мне нравится эта оценка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11485
Тоже пытаюсь строить всякие полиномы, но упёрся в один вопрос. Нужно описать все пары целых чисел, произведение которых - квадрат. Есть какая-то полезная/общепринятая параметризация таких пар?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Утундрий в сообщении #1577636 писал(а):
параметризация таких пар

В целых числах: $(abc)^2=ab^2 \cdot ac^2.$
Если считать пару $b,c$ взаимно простой, то решение единственное. Для уравнения $x \cdot y = z^2$ пара $b,c$ следует из несократимой дроби $\dfrac{b}{c}=\sqrt{ \dfrac{x}{y}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4984
ФТИ им. Иоффе СПб
Утундрий в сообщении #1577636 писал(а):
параметризация таких пар?
$$m^2=ab,\,b>a\Rightarrow b=\frac{m}{a}m.$$ Значит $a$ - делитель $m,$ а $b$ - см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11485
Andrey A
amon
Два раза не понял.

Уточню, мне нужно развалить $a^2$ на произведение двух чисел $b$ и $c$. Пусть простое $p$ входит в $a$ в степени $k$. Тогда для каждого такого множителя получается столько вариантов, сколько представлений $2k$ в виде суммы двух слагаемых. И так для каждого простого делителя $a$. И потом всё это ещё и перемножить. Получается некая астрономическая фигня, которую описывать непонятно как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4984
ФТИ им. Иоффе СПб
Утундрий в сообщении #1577650 писал(а):
Получается некая астрономическая фигня
Тут мне мудрый человек указал, что написанное мной верно только если $a$ и $b$ свободны от квадратов ($36=9\cdot4$), так что все еще хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Утундрий в сообщении #1577650 писал(а):
мне нужно развалить $a^2$ на произведение двух чисел $b$ и $c$.
Количество решений уравнения $x \cdot y = z^2$ конечно, но вообще говоря, может быть сколь угодно большим. Описать их все для фиксированного $z$ еще возможно, а так... не знаю. Но давайте не будем делать из пьянки тяжелую работу. Есть каноническое разложение $a.$ Формально, каждому способу разложения $a$ на $3$ множителя соответствует некоторое решение уравнения. Обозначим $a=pqr,b=rp^2,c=rq^2.$ Неприятность в том, что переменная $r$ не симметрична остальным, каждый из трех множителей можно назначать $r$ и иметь различные результаты, которые еще станут повторяться. Лучше, конечно, договориться употреблять множителем единицу не более одного раза, и считать параметры $p,q$ взаимно простыми (тут хотя бы обратная задача решается однозначно). Тогда для каждой пары вз. простых делителей $p,q$ (без учета порядка следования) строго определено $r=a/(pq),$ и $b=rp^2,c=rq^2.$ Со способом упорядочить вз. простые пары делителей, думаю, Вы сами определитесь (чистая комбинаторика). А впрочем... да, есть о чем подумать. Было бы проще, если тройка $(p,q,r,)$ была бы попарно вз. проста, но $r$ вполне может иметь общие делители с $p,q. $ Такие ограничения с потолка не берутся. Хм... Кажется, на практике для многомерных чисел легче составить квадратную таблицу со списком всех делителей по оси $X$ и $Y$ и вычеркивать все не вз. простые пересечения, а также произведения по координатам, которые не делят $a.$ Да, морока. Ладно, машина-то железная, ей не до пьянки )
Утундрий в сообщении #1577650 писал(а):
Тогда для каждого такого множителя получается столько вариантов, сколько представлений $2k$ в виде суммы двух слагаемых. И...
Честно говоря, не очень понял о чем это.
Утундрий в сообщении #1577650 писал(а):
Andrey A
amon
Два раза не понял.
Так мне казалось, мы об одном и том )

P.S. Да именно так. Если условия не выполняются, ячейка остается пустой. Если координаты вз. просты и произведение координат делит $a$, то в ячейку заносится частное от деления. Тогда квадрат будет заполнен всеми возможными параметрами $r$, которые могут и повторяться, а проекции их задают нужные $p,q.$ Правда, не квадрат, а треугольник — там ведь полная симметрия возникнет по диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1577692 писал(а):
Если координаты вз. просты и произведение координат делит $a$, то...
Второе "если" лишнее, оно вытекает из первого. То есть, если два делителя числа $a$ взаимно просты, то их произведение также делитель $a$. Понял причину Ваших недоумений. Комбинаторика отвечает за количество решений, а упорядочить их практически — думаю проще таблицы ничего нет. Еще раз:
1) Из начала координат выписываются все делители $a$ по возрастанию в столбец и в строку. Диагональ образовавшейся квадратной таблицы отсекает треугольник с активными ячейками.
2) В каждую ячейку треугольника со вз. простыми координатами заносится частное от деления $a$ на произведение координат, остальные остаются пустыми. Множество непустых ячеек суть множество всех возможных $r_i.$ Произведения каждого из них на квадраты своих координат образуют пары $b_i,c_i$. Без повторений и пересечений.

Было бы проще, если задавалось бы не $a,$ а $b:$ списки простых делителей, входящих в канонические разложения $b$ и $c$ в нечетных степенях должны совпадать. Единственное требование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11485
Пусть $a^2=bc$, тогда $b=u^2 d$ и $c=v^2 d$. В силу чего $a=u v d$. Здесь $u$ и $v$ - произвольны, а $d$ - свободно от квадратов.

Если это верно, то можно двигаться дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 09:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
$d$ — любой делитель $a$ от $1$ до $a$, причем взятый неоднократно. Если $d$ свободно от квадратов, Вы получите не все решения.
$u,v$ взаимно просты. Если $u,v$ произвольны, будете получать одно и то же решение по нескольку раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11485
Andrey A в сообщении #1577722 писал(а):
$d$ — любой делитель $a$ от $1$ до $a$, причем взятый неоднократно.
И что мне помешает выделить из этой неоднократности чётную часть и приписать её $u$ и $v$?
Andrey A в сообщении #1577722 писал(а):
Если $u,v$ произвольны, будете получать одно и то же решение по нескольку раз.
Это не страшно. Главное - ничего не пропустить. Мне нужны своего рода "обобщённые координаты", тождественно удовлетворяющие уравнению связи $a^2=bc$. Вроде бы данное представление эту идею реализует.

Опишу подробно. Поскольку произведение $b$ и $c$ даёт квадрат, то любое простое входит в каждое из них в степенях одинаковой чётности. Выделяя чётную часть степеней в квадраты, замечаем, что остатки являются свободными от квадратов, дающими при перемножении квадрат. Следовательно, они равны.

Кстати, при убийстве очередных степеней полинома возникла похожая задача: параметизовать решения уравнения $a^3=b^2 c$. Похожими рассуждениями получается представление $a=u^2 v d, \ b=u^3 d, \ c=v^3 d$, где $d$ на этот раз свободно от кубов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
Утундрий в сообщении #1577800 писал(а):
Главное - ничего не пропустить.
Именно для этого берутся вз. простые пары делителей. Их ровно $\dfrac{\tau (a^2)+1}{2},$ можно хотя бы проконтролировать количество: $\dfrac{\tau (360^2)+1}{2}=53$. Об остальном судить не возьмусь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group