там такие большие значения, что после только удвоения периода уже легко...
Эта наука
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
лет ржавеет под открытым небом, а казалось бы чего проще — выписать маленькие периоды в общем виде ;)
![$a,(b,2a).$ $a,(b,2a).$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/7/6b78b62f4f34d20e4cee61e68eff20e382.png)
Период пишу в скобочках, но лучше так:
![$(a,b,a,0).$ $(a,b,a,0).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/1/1e16896a2422f6643e5eb6192912367582.png)
Тут это важно, поскольку чистый период. Выписываем палиндром:
![$a,b,a=\dfrac{a}{1},\dfrac{ab+1}{b},\dfrac{a^2b+2a}{ab+1}$ $a,b,a=\dfrac{a}{1},\dfrac{ab+1}{b},\dfrac{a^2b+2a}{ab+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/4/8a481e062b2efa51365e1167486a319c82.png)
и перемножаем две последние дроби:
![$\dfrac{a(ab+2)}{b}=a^2+\dfrac{2a}{b}.$ $\dfrac{a(ab+2)}{b}=a^2+\dfrac{2a}{b}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/5/c751f62e92e3f212da8601bbae2dd89382.png)
Произведение числителя и знаменателя дроби
![$\dfrac{a(ab+2)}{b},$ $\dfrac{a(ab+2)}{b},$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/b/79babbe32f62a181fb95828e6451834182.png)
как видим, есть квадрат без единицы. А для длины периода не очень важно поделить или помножить, поскольку уравнение Пелля можно записать и так
![$X^2-ABY^2=1,$ $X^2-ABY^2=1,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/2/b92a78fc55a34ead3c5c02848afd5d4682.png)
и так
![$X^2-\dfrac{A}{B}(BY)^2=1.$ $X^2-\dfrac{A}{B}(BY)^2=1.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/b/1bb5b0c945bff665e6a65d18a175773682.png)
Имеем
![$\sqrt{a^2+\dfrac{2a}{b}}=(a,b,a,0).$ $\sqrt{a^2+\dfrac{2a}{b}}=(a,b,a,0).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/d/9ed3a0a5eee4e9ec150d40f4ddc0978382.png)
Но нам нужно целое число под радикалом, что достигается подстановкой
![$a \rightarrow bc/2.$ $a \rightarrow bc/2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/a/56a53e4ace57d17c36ee2497b60bd67782.png)
Итак,
![$$\sqrt{(bc/2)^2+c}=(bc/2,b,bc/2,0)$$ $$\sqrt{(bc/2)^2+c}=(bc/2,b,bc/2,0)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/9/3c906ad69908a6bba5af20955233dd0f82.png)
Или, если угодно,
![$\sqrt{(bc/2)^2+c}=bc/2,(b,bc).$ $\sqrt{(bc/2)^2+c}=bc/2,(b,bc).$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/a/33aaecee0adbe2b5e2c59cbb873701ae82.png)
Неудобно. Выпишем это для четных
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
или
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
отдельно плюс подобные выражения для целых радикалов с периодом из
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
-х знаков.
![$$\sqrt{(bc)^2-2c}=bc-1,\left ( 1,b-2,1,2(bc-1) \right ).$$ $$\sqrt{(bc)^2-2c}=bc-1,\left ( 1,b-2,1,2(bc-1) \right ).$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/8/8086a40a2ab3aa1350844cafe5072ea382.png)
Проще говоря, малые периоды соответствуют числам вида
![$(pq)^2 \pm q$ $(pq)^2 \pm q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/1/341fcc4e0d7c6608ff0c04d006dc09cf82.png)
и
![$(pq)^2 \pm 2q$ $(pq)^2 \pm 2q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/0/da0c9cf9009979495356934ea8cc3ee282.png)
под радикалом. Закономерности эти настолько сильны, что, вступая в противоречие с другими, отменяют их как бык овцу. Например, числа вида
![$(4k+2)^2-2$ $(4k+2)^2-2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/5/a15c2e23b3beac6325ab45ecb6e1559782.png)
могут оказаться суммами двух взаимно простых квадратов и должны бы по науке иметь нечетный период разложения, чего не происходит:
![$\sqrt{34}=5,(1,4,1,10);\ \ \sqrt{194}=13,(1,12,1,26).$ $\sqrt{34}=5,(1,4,1,10);\ \ \sqrt{194}=13,(1,12,1,26).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/0/4f0868a69fcabe462a006cdb33d7654b82.png)