Как ещё можно получить минимальное нетривиальное решение для уравнения Пелля
![$$x^2 - Dy^2 = 1$$ $$x^2 - Dy^2 = 1$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/a/85a1d79ac72a0bde2f786f3522654f0e82.png)
с
![$D=61$ $D=61$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/4/ad46c9878df416868c9cc6f7a2391d9f82.png)
, которое имеет решение
![$(x=1766319049,y=13795392780)$ $(x=1766319049,y=13795392780)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/8/4d8fd822c77a7a52237b7867571a68b482.png)
.
Замечено, что для уравнения Пелля с простым числом
![$D = 4n + 1$ $D = 4n + 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/9/64943651055ffc50a1c6d81742e3b3d482.png)
одно из значений имеет вид
![$x = 2Dk^2 - 1$ $x = 2Dk^2 - 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/b/7cb52717989f52891151ced4edb336f982.png)
для минимального нетривиального решения. Подставив такое
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в уравнение Пелля получим, что
![$Dk^2 + 1$ $Dk^2 + 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/3/a93a7600d979cc653e456587ec1bc9db82.png)
должно быть квадратом, т.е.
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
должно быть решением уравнения
![$$x^2 - Dy^2 = -1$$ $$x^2 - Dy^2 = -1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/f/f9fca910dfe0276435b290475d42772582.png)
Значение
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
минимального решения даёт значение для
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, через которое можно получить значение
![$x = 2Dk^2 - 1$ $x = 2Dk^2 - 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/b/7cb52717989f52891151ced4edb336f982.png)
начального уравнения Пелля. В англинской википедии можно прочесть следующее
Цитата:
For the following transformations,[11] if fundamental {u,v} are both odd, then it leads to fundamental {x,y}.
1. If u^2 − dv^2 = −4, and {x,y} = {(u^2 + 3)u/2, (u^2 + 1)v/2}, then x^2 − dy^2 = −1.
Получив минимальное решение уравнения
![$x^2 - Dy^2 = -4$ $x^2 - Dy^2 = -4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75f4d4f2c6831880502e20135e0a3ca782.png)
, и если оба значения нечетные, то из него уже можно посчитать значение
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
уравнения
![$x^2 - Dy^2 = 1$ $x^2 - Dy^2 = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/3/c6385d62898aef66747d089def965e9c82.png)
, затем же получить
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
, подставив
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в начальное уравнение. Так как минимальное решение уравнения
![$x^2 - Dy^2 = -4$ $x^2 - Dy^2 = -4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75f4d4f2c6831880502e20135e0a3ca782.png)
равно
![$(x=39,y=5)$ $(x=39,y=5)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/f/82fbe193b8718b6b24eb951f9bdaba7182.png)
, из него уже вычислить значение
![$k=3805$ $k=3805$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88ee328b15cc07070f4610a5613b32e282.png)
, и далее получить решение
![$(x=1766319049,y=13795392780)$ $(x=1766319049,y=13795392780)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/8/4d8fd822c77a7a52237b7867571a68b482.png)
для начального уравнения Пелля.
Также возможно сразу посчитать по следующим формулам из википедии
Цитата:
3. If u^2 − dv^2 = −4, and {x,y} = {(u^4 + 4u^2 + 1)(u^2 + 2)/2, (u^2 + 3)(u^2 + 1)uv/2}, then x^2 − dy^2 = 1.