2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 КПД тепловых двигателей
Сообщение11.12.2022, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8515
Листая свои древние, студенческие еще, конспекты по термодинамике, наткнулся на такое.
Второй закон термодинамики в формулировке Томпсона: "Невозможно построить периодически действующую тепловую машину, единственным результатом работы которой было бы изъятие тепла у одного тела и превращение его в работу".
Задача: доказать, что тепловой двигатель с КПД выше, чем у двигателя Карно, запрещен вторым законом термодинамики в формулировке Томпсона.
Доказательство. Предположим существование супердвигателя - теплового двигателя с КПД выше двигателя Карно. Обозначим $Q_1$ теплоту, которую супердвигатель забирает у нагревателя. По условию, супердвигатель отдает хододильнику теплоту $Q_2' < Q_2$, где $Q_2$ - теплота, которую отдал бы тому же холодильнику двигатель Карно с тем же нагревателем. Понятно, что супердвигатель совершает работу $A' > A$, где $A$ - работа, которую совершил бы двигатель Карно. Передадим часть этой работы в размере $A$ холодильной машине, представляющей собой двигатель Карно, запущенный в обратном направлении. Т.е. пусть над рабочим телом в обратном цикле Карно совершается работа $A$, и за счет этого он отбирает у холодильника теплоту $Q_2$ и отдает нагревателю теплоту $Q_1$.Тогда комбинированная машина "супердвигатель + холодильная машина Карно" все еще совершает над внешними телами работу $\Delta A = A' - A > 0$. При этом она отбирает теплоту только у холодильника, т.к. у нагревателя берется $Q_1$ и возвращается ему $Q_1$, а у холодильника берется $Q_2$, а возвращается ему только $Q_2' < Q_2$. Таким образом, циклическая тепловая машина совершает работу только за счет охлаждения холодильника, что противоречит второму закону термодинамики в формулировке Томпсона.

На лекции юного меня не смутило такое рассуждение. Но теперь я думаю, что с ним что-то не так. Потому что оно нигде не использует тот факт, что холодильная машина работает именно по обратному циклу Карно, а не по любому другому циклу. А значит, с его помощью можно "доказать", что максимальный КПД теплового двигателя равен, скажем, $\eta = 0{,}3$.

Для наглядности я проведу все рассуждения в конкретных числах. Предположим существование супердвигателя - теплового двигателя с КПД $\eta = 0{,}6$. Пусть он забирает у нагревателя теплоту $10 \, \text{Дж}$. Тогда он совершает работу $6 \, \text{Дж}$ и отдает холодильнику теплоту $4 \, \text{Дж}$. Передадим часть этой работы в размере $3 \, \text{Дж}$ холодильной машине, представляющей собой двигатель с КПД $\eta = 0{,}3$, запущенный в обратном направлении. Т.е. пусть над рабочим телом совершается работа $3 \, \text{Дж}$, и за счет этого он отбирает у холодильника теплоту $7 \, \text{Дж}$ и отдает нагревателю теплоту $10 \, \text{Дж}$.Тогда комбинированная машина "супердвигатель + холодильная машина Карно" все еще совершает над внешними телами работу $\Delta A = 6 - 3 = 3 \, \text{Дж}> 0$. При этом она отбирает теплоту только у холодильника, т.к. у нагревателя берется $10 \, \text{Дж}$ и возвращается ему $10 \, \text{Дж}$, а у холодильника берется $7 \, \text{Дж}$, а возвращается ему только $4 \, \text{Дж}$. Таким образом, циклическая тепловая машина совершает работу только за счет охлаждения холодильника, что противоречит второму закону термодинамики в формулировке Томпсона.

Это, разумеется, полная чушь. Хотя бы потому, что КПД цикла Карно при температуре нагревателя 800 К и холодильника 300 К превышает $0{,}6$. Но дело даже не в этом, ведь вместо $\eta = 0{,}3$ мы могли бы взять $\eta =10^{-6}$ и провести точно такое же рассуждение.

Вопрос № 1.1. Где в этом рассуждении ошибка? Ведь она обязана быть. Но я ее не вижу.
Вопрос № 1.2. Лектор-то, скорее всего, имел в виду нечто более разумное. Это был очень знающий лектор. Но то ли он неаккуратно выразился, то ли я плохо записал. Если так, должно существовать доказательство максимальности КПД двигателя Карно, похожее на это, но корректное. И как же оно формулируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение11.12.2022, 18:03 
Аватара пользователя


11/12/16
13859
уездный город Н
С доказательством всё в порядке. Но выводы из этого можно сделать более широкие, тогда когнитивный диссонанс снимется.

Какие факты относительно цикла Карно используются в доказательстве? Только обратимость цикла. Не используется даже известное выражение для КПД: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$. В качестве КПД используется выражение: $\eta = \frac{A}{Q_1}$.

Мы придем к тому же самому противоречию, если вместо "супермашины" возьмем цикл Карно, а в качестве "обратимой машины" вместо цикла Карно возьмем любой другой (гипотетический) обратимый цикл с меньшим КПД ("тепловым" КПД!).
То есть приходим к выводу, что для любого обратимого цикла КПД ("тепловой" КПД!) будет такой же, как и для цикла Карно. Естественно, при одних и тех же холодильниках и нагревателях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение11.12.2022, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8515
EUgeneUS
Интересно. Никогда не думал об этом с такой точки зрения.
Что вообще такое цикл? Исходя из интуитивного понимания, двигатель цикличен, если рабочее тело периодически возвращается в исходное состояние. Но энтропия - функция состояния, следовательно, в циклическом двигателе энтропия рабочего тела не растет. Значит, любой цикл обратим. Следовательно, все циклы при фиксированных обогревателе и холодильнике имеют одинаковый КПД? Мне кажется, или что-то тут не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение12.12.2022, 08:30 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Anton_Peplov в сообщении #1573498 писал(а):
Но энтропия - функция состояния, следовательно, в циклическом двигателе энтропия рабочего тела не растет. Значит, любой цикл обратим.

Нет, не значит. Есть еще изменение энтропии нагревателя и холодильника. Например, пусть нагреватель с температурой $T_h$ передает рабочему телу с температурой $T_g$ малое количество теплоты $\delta Q$. Тогда суммарное изменение энтропии
$$dS_{h+g}=\dfrac{\delta Q}{T_g}-\dfrac{\delta Q}{T_h}\geq 0,$$
поскольку теплопередача возможно только при $T_h\geq T_g$. При рассмотрении теплообмена рабочего тела с холодильником получается аналогично неотрицательная прибавка энтропии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение12.12.2022, 13:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13859
уездный город Н
Anton_Peplov
Иногда можно встретить такое утверждение:

"Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД цикла Карно и равен: $\eta = \frac{T_2-T_1}{T_2}$, где $T_1$ - температура холодильника, $T_2$ - температура нагревателя."

В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение12.12.2022, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8515
EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):
В этой фразе как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?
Нет, не смогу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение12.12.2022, 13:50 
Аватара пользователя


11/12/16
13859
уездный город Н
UPD: первая некорректность связана с тем, что делается некое допущение, которое не объявляется явно. А вот со второй - сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение12.12.2022, 15:16 


30/01/18
639
Anton_Peplov
Создавая тепловую машину, работающую только от нагревателя (без холодильника) мы воспользовались тепловой машиной с КПД больше чем Карно.
Значит, при невозможности тепловой машины работающей только от нагревателя невозможна и тепловая машина с КПД больше чем Карно.
Это Значит может быть опровергнуто только предложением конструкции тепловой машины, работающей только от нагревателя. Ведь у нас феноменологическая теория.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 16:00 
Аватара пользователя


11/12/16
13859
уездный город Н
EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):
В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?


Первая некорректность связана с тем, что неявно предполагается, что температуры холодильника и нагревателя не изменяются при работе тепловой машины. Если холодильник и-или нагреватель имеет конечную теплоёмкость, то (тепловой) КПД будет, очевидно ниже. На эту тему была даже задачка в олимпиадных.
Некорректность тут только в том, что предположение неявное, неозвученное. А так-то оно вполне разумное и даже достижтимое на практике, например: нагреватель постоянно греем сжиганием топлива, а холодильник - что-то очень больше, атмосфера Земли, или океан.

Со второй некорректностью сложнее. Пока не буду её озвучивать, может кому-то будет интересно подумать на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 17:39 


21/07/20
242
EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):
"Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД цикла Карно и равен: $\eta = \frac{T_2-T_1}{T_2}$, где $T_1$ - температура холодильника, $T_2$ - температура нагревателя."

В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

В формуле фигурируют максимальная температура нагревателя и минимальная температура холодильника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 17:48 
Аватара пользователя


11/12/16
13859
уездный город Н
Ignatovich
Можете развернуть свою мысль? Пока не понимаю, это вторая некорректность или ещё первая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Ignatovich в сообщении #1573672 писал(а):
максимальная температура нагревателя и минимальная температура холодильника.
Нет, так эти сущности не фунциклинируют.

Нагреватель и холодильник считают себя настолько выше рассматриваемой системы, что гордо не изменяют своих параметров (в пределах разумной точности), что бы с ней не деялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 19:13 


21/07/20
242
Напишу аккуратнее:
Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД машины Карно, работающей с нагревателем, температура которого равна максимальной температуре в цикле рассматриваемой тепловой машины, и с холодильником, температура которого равна минимальной температуре этого цикла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8515
DimaM в сообщении #1573513 писал(а):
Есть еще изменение энтропии нагревателя и холодильника. Например, пусть нагреватель с температурой $T_h$ передает рабочему телу с температурой $T_g$ малое количество теплоты $\delta Q$. Тогда суммарное изменение энтропии
$$dS_{h+g}=\dfrac{\delta Q}{T_g}-\dfrac{\delta Q}{T_h}\geq 0,$$
поскольку теплопередача возможно только при $T_h\geq T_g$. При рассмотрении теплообмена рабочего тела с холодильником получается аналогично неотрицательная прибавка энтропии.
Так, понятно. Но в цикле Карно (который, конечно же, идеализация вроде материальной точки или идеального газа) прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю. Поскольку по условию даже в начальный момент передачи теплоты от нагревателя рабочему телу температура рабочего тела уже равна температуре нагревателя, и даже в начальный момент передачи теплоты от рабочего тела холодильнику температура рабочего тела уже равна температуре холодильника.

Получается, цикл Карно - единственный обратимый цикл? Обратимый в том смысле, что прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю. Если мы на что-то заменим изотермы, получим процесс выравнивая температур между нагревателем и рабочим телом, а потом между рабочим телом и холодильником: температуры были неравными, стали равными. И в этом процессе будет расти суммарная энтропия. А если мы на что-то заменим адиабаты, то получим опять же теплообмен с чем придется по дороге от нагревателя к холодильнику и обратно.

И если так, то тот нетривиальный факт, что КПД цикла в двигателе и в холодильной машине один и тот же - он только для цикла Карно верен?

EUgeneUS
Я привык считать, что обогреватель и холодильник имеют бесконечную теплоемкость и постоянную (и пространственно равномерную) температуру. Возможно, в каких-то экзотических случаях эта идеализация и вредна, но обычно полезна. Вы эти некорректности имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о феноменологической термодинамике
Сообщение13.12.2022, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):
прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю.
Не-а. Тепло передается изотермически, стало быть $\Delta Q=T\Delta S,$ то есть, "тепло от нагревателя передается в виде энтропии". Так же с холодильником.
Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):
Получается, цикл Карно - единственный обратимый цикл?
Нет.
Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):
КПД цикла в двигателе и в холодильной машине один и тот же
Зависит от того, что назвать КПД. Если под КПД холодильника (теплового насоса) понимать отношение тепла, полученного нагревателем к совершенной двигателем работе, то такой "КПД" окажется больше 100%.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 87 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group