Эфиристы

[epros]

Munin в сообщении #866706 писал(а):

Не аргумент. Вы рассчитали, сколько энергии уходит на бесконечность?

Рассчитал. Ровно нуль. И ещё в параллельные вселенные ровно нуль.

[Munin]

epros в сообщении #866833 писал(а):

Рассчитал. Ровно нуль.

Давайте расчёт.

[schekn]

На всякий случай дам свои старые расчеты плотности энергии гравитационного поля через псевдотензор. Расчеты велись в прямоуголных координатах для метрки Шварцшильда через псведотензор Ландау. Затем перевел в сферические. Получилось:

$(-\det||g_{\mu\nu}||)t^{00}=-\frac{r_g^2c^4} {8{\pi}Gr^2(r-r_g)^2}$

Если подставить $r_g=2MG/c^2, g= MG/r^2, r>>r_g$, то получим:

$-g^2/2{\pi}G$

Отличается в 4 раза.

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #866842 писал(а):

epros в сообщении #866833 писал(а):

Рассчитал. Ровно нуль.

Давайте расчёт.

Не гоните пургу.

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #866879 писал(а):

Не гоните пургу.

Итак, расчёта нет. Адью.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #866440 писал(а):

$M = \frac{g S}{4 \pi G}$
$S$ — площадь сферы, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса сферы. Если эта формула вызывает сомнения, то можно подробнее.

Абсолютная величина ускорения свободного падения:

$$ a = c^2 \sqrt{- g_{\mu \nu} w^{\mu} w^{\nu}} = \frac{k M}{r^2} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} $$

Площадь поверхности $S = 4 \pi r^2$. То есть ваша формула вызывает сомнения, так что хотелось бы подробнее.

И ещё концептуальное замечание. Камни были унесены, а вместе с ними была унесена и энергия покоя камней $m c^2$. Поэтому изменение энергии гравитационного поля не равно одной лишь работе домкратов, так как нужно ещё как-то где-то учесть энергию покоя унесённых камней $m c^2$.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #867039 писал(а):

То есть ваша формула вызывает сомнения, так что хотелось бы подробнее.

Ну, если не лень, сшейте решение Шварцшильда выше радиуса $r$ с пространством Минковского ниже этого радиуса. Подставьте получившуюся метрику в уравнения Эйншнтейна и найдите отсюда ТЭИ. Это будет ТЭИ статической тяготеющей сферы. На пространственные члены можете не обращать внимания — они определяют напряжения, которые не дают сфере схлопнуться. А вот интеграл от нулевого члена даст ту массу $M$, которая приведена в формуле. Убедитесь, что формула именно такова.

SergeyGubanov в сообщении #867039 писал(а):

И ещё концептуальное замечание. Камни были унесены, а вместе с ними была унесена и энергия покоя камней $m c^2$. Поэтому изменение энергии гравитационного поля не равно одной лишь работе домкратов, так как нужно ещё как-то где-то учесть энергию покоя унесённых камней $m c^2$.

Внутренняя энергия камней никуда не делась, ибо они всего лишь переместились от поверхности сферы на $\Delta l$ выше.

[Munin]

epros в сообщении #867099 писал(а):

Внутренняя энергия камней никуда не делась

А изменение $m$ вы посчитали? А то она тоже от координат зависит...

[epros]

Munin в сообщении #867133 писал(а):

epros в сообщении #867099 писал(а):

Внутренняя энергия камней никуда не делась

А изменение $m$ вы посчитали? А то она тоже от координат зависит...

Это эффект второго порядка малости, при малом $\Delta l$ пренебрегаемо. Разумеется, раз энергию на поднятие камней мы вкачиваем в систему извне, то этим мы увеличиваем массу системы. Можно, конечно, рассмотреть задачу таким образом, что энергия на поднятие камней берётся не извне, а из внутренней энергии камней. Но проще просто посчитать $\Delta l$ бесконечно малым, а значит изменение массы системы пренебрежимо.

[Munin]

epros в сообщении #867155 писал(а):

Это эффект второго порядка малости, при малом $\Delta l$ пренебрегаемо.

Да ну? А по-моему, первого.

epros в сообщении #867155 писал(а):

Можно, конечно, рассмотреть задачу таким образом, что энергия на поднятие камней берётся не извне, а из внутренней энергии камней.

Скорее, она уходит не в энергию гравитационного поля, а во внутреннюю энергию камней.

[epros]

Munin в сообщении #867251 писал(а):

epros в сообщении #867155 писал(а):

Это эффект второго порядка малости, при малом $\Delta l$ пренебрегаемо.

Да ну? А по-моему, первого.

Нетрудно проверить: Рассмотреть вариант, когда энергия на поднятие берётся из внутренней энергии камней, и убедиться, что при малом $\Delta l$ формула для $\rho$ будет та же.

Munin в сообщении #867251 писал(а):

epros в сообщении #867155 писал(а):

Можно, конечно, рассмотреть задачу таким образом, что энергия на поднятие камней берётся не извне, а из внутренней энергии камней.

Скорее, она уходит не в энергию гравитационного поля, а во внутреннюю энергию камней.

Странным образом, внутренняя энергия поднятых камней (при одинаковых решениях выше сферы) оказывается меньше. В этом можно убедиться непосредственно, проинтергировав ТЭИ для двух случаев, но есть способ проще. Рассмотрите обратную задачу: когда камни падают с высоты $\Delta l$. В результате падения они приобретают некую кинетическую энергию, но потом, стукнувшись друг об друга, останавливаются. Куда девается эта кинетическая энергия? Пополняет внутреннюю энергию камней.

[vlapay]

epros в сообщении #866440 писал(а):

$M = \frac{g S}{4 \pi G}$
$S$ — площадь сферы, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса сферы. Если эта формула вызывает сомнения, то можно подробнее.
Отсюда: $\Delta m = -\frac{\Delta g S}{4 \pi G}$ ($\Delta m$ — масса поднятых камней).
Поскольку энергия, затраченная на поднятие камней:
$\Delta E = \Delta m g \Delta l$ ($\Delta l$ — высота поднятия камней),
получаем: $ \Delta E = -\frac{g \Delta g S \Delta l}{4 \pi G}$
Отсюда изменения плотности гравитационной энергии:
$ \Delta \rho = -\frac{g \Delta g}{4 \pi G}$
Проинтегрировав по $g$:
$ \rho = -\frac{g^2}{8 \pi G}$.

Все эти формулки хороши тем, что применимы как в ньютоновской механике, так и в ОТО. Я так понимаю, что вопросы на этом не закончились?

Только в ОТО плотность поля положительна, в отличии от классической механики. Отличие в том, что в ОТО есть красное смещение, которого нет в классике. Поэтому, кроме вышеприведённого расчёта, надо учитывать и то, что энергия самой сферы зависит от гравитационного потенциала, даже если масса сферы не изменилась. Можно преобразовать массу сферы в излучение путём аннигиляции, это излучение направить у удалённому наблюдателю, и, тогда, получить правильный баланс энергии. Изменение энергии сферы при сжатии, которое проявляется в покраснении фотонов аннигиляции, отрицательно и в два раза (по модулю) превышает выделение энергии в Вашем расчёте.

[Munin]

epros в сообщении #867259 писал(а):

Странным образом, внутренняя энергия поднятых камней (при одинаковых решениях выше сферы) оказывается меньше. В этом можно убедиться непосредственно, проинтергировав ТЭИ для двух случаев

Я непосредственно убедился, что больше. Чего делать?

epros в сообщении #867259 писал(а):

Нетрудно проверить

Ну давайте проверьте.

epros в сообщении #867259 писал(а):

Куда девается эта кинетическая энергия? Пополняет внутреннюю энергию камней.

Не путайте тепловую энергию с энергией покоя ($mc^2$). А то вы их обе называете "внутренней"...

[epros]

Munin в сообщении #867979 писал(а):

epros в сообщении #867259 писал(а):

Странным образом, внутренняя энергия поднятых камней (при одинаковых решениях выше сферы) оказывается меньше. В этом можно убедиться непосредственно, проинтергировав ТЭИ для двух случаев

Я непосредственно убедился, что больше. Чего делать?

Пересчитать, чтобы получилось правильно.

Munin в сообщении #867979 писал(а):

Не путайте тепловую энергию с энергией покоя ($mc^2$). А то вы их обе называете "внутренней"...

А что, «тепловая энергия» — не входит в $mc^2$? Munin, я с Вами сейчас разговариваю, или Вас подменили?

[Munin]

epros в сообщении #868092 писал(а):

Пересчитать, чтобы получилось правильно.

Вот я вам и предлагаю.

epros в сообщении #868092 писал(а):

А что, «тепловая энергия» — не входит в $mc^2$?

Так. Очень внимательно. Входит, но не равна. Так что, в описанной вами ситуации, когда камни падают, останавливаются и нагреваются, их $mc^2$ не меняется вообще.

epros в сообщении #868092 писал(а):

Munin, я с Вами сейчас разговариваю, или Вас подменили?

Ну, с учётом того шутовства, которое вы тут устроили, я могу разговаривать как угодно. Ясно же, что решение вам не нужно.