2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 10:38 


20/04/10
1231
Русь
На мой взгляд, в этой задаче условие трактуется однозначно. Но на олимпиаде всё-таки была одна некорректная задача по термодинамике. Напишу её условие позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 15:15 


05/09/16
9449
lel0lel в сообщении #1504058 писал(а):
На мой взгляд, в этой задаче условие трактуется однозначно.

Прочитал ещё раз и понял что нет, неоднозначно. Из условия не следует, ни того, что стрельба ведется по склону, ни того, что точка старта находится на склоне. Ваша формулировка
lel0lel в сообщении #1503948 писал(а):
орудие расположено на склоне с углом наклона $\beta$.
вносит необходимую ясность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 16:52 


20/04/10
1231
Русь
wrest в сообщении #1504079 писал(а):
Из условия не следует, ни того, что стрельба ведется по склону, ни того, что точка старта находится на склоне.

Конечно, никакого склона в исходной формулировке нет (он появился только в упрощённой формулировке задачи, которая даёт тот же ответ). В оригинале о поверхности нам неизвестно ничего.

Известны направление вектора перемещения и начальная скорость. Нужно максимизировать модуль перемещения. Что здесь может показаться неоднозначным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 17:10 


05/09/16
9449
lel0lel в сообщении #1504089 писал(а):
Известны направление вектора перемещения и начальная скорость. Нужно максимизировать модуль перемещения. Что здесь может показаться неоднозначным?

Задана точка старта и какая-то точка падения (вернее не она сама, а напрвление на неё со старта). То есть можем построить параболоид безопасности и направление на какую-то одну точку падения внутри него. Но никак, совершенно никак не задана поверхность куда падает груз. Горизонтальная? Наклонная?

Ну например, нарисуем такую картинку, которая подходит под задачу
lel0lel в сообщении #1503916 писал(а):
вектор полного перемещения камня, брошенного с некоторой высоты, составляет с горизонтом угол $\beta$; начальная скорость камня $v_0$. Найти максимально возможный модуль вектора перемещения.

Изображение
Картинка подходит? Точка старта на (неизвестной!) высоте $h$, камень бросают. Он падает на склон, направление точки падения от точки старта составляет угол $\beta$ с горизонтом. Всё выполнено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 17:23 


20/04/10
1231
Русь
wrest в сообщении #1504091 писал(а):
Задана точка старта и какая-то точка падения (вернее не она сама, а напрвление на неё со старта).
да, можно так. Или наоборот -- точку падения знаем и направление на точку старта. Откуда-то из темноты несутся снаряды, какой под ними рельеф неизвестно, вообще ничего неизвестно про рельеф. Быть может вообще поверхность горизонтальная, а стрельба ведется с дирижабля :D

Картинка верная, только зафиксировав точку старта, будьте готовы двигать склон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 18:03 


05/09/16
9449
lel0lel в сообщении #1504093 писал(а):
будьте готовы двигать склон.

Куда двигать? И почему? Вернее, как это следует из условий задачи?
Не понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение04.02.2021, 18:08 


20/04/10
1231
Русь
Зафиксировав точку старта и склон, вы получаете единственно возможное перемещение, удовлетворяющее заданному направлению. Вам же нужно его максимизировать. Расфиксируйте точку старта, либо же склон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение14.02.2021, 03:38 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Попутный вопрос. В одной олимпиадной задачке нижнего уровня задается вопрос:
Если бросать тело с подставки с фиксированной скоростью, в каких пределах будет лежать угол для достижения максимальной дистанции.
Предлагались ответы:
1. Больше 45 градусов
2. 45 градусов
3. Меньше 45 градусов
4. Может быть любым от 0 до 90
Поскольку там даётся 45 минут на 25 коротких задач, то по-видимому требуется сообразить без особых вычислений. Мне что-то ничего путного в голову не пришло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение14.02.2021, 06:13 


05/09/16
9449
fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):
Мне что-то ничего путного в голову не пришло.

Странно. Вроде очевидный ответ:
fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):
3. Меньше 45 градусов

Ибо если подставка очень высоко, то время полета фиксированное, а значит кидать надо горизонтально, т.е. 0 градусов. Если подставка на нуле высоты (или начальная скорость очень высокая), то кидать надо под 45 (это типа общеизвестный факт). Значит, все что по высоте подставки между 0 и бесконечностью, оно по углу между 0 и 45.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение14.02.2021, 16:17 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest
А теперь объясните из общих соображений, почему функция монотонная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение14.02.2021, 17:11 


14/01/11
2677
fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):
Поскольку там даётся 45 минут на 25 коротких задач, то по-видимому требуется сообразить без особых вычислений.

Как справедливо заметил wrest, если подставка очень высоко, надо бросать почти горизонтально. Тем самым мы отсекаем варианты ответов 1 и 2. Если подставка на нулевой высоте, надо бросать ровно под 45 градусов, это исключает ответ 3. Остаётся вариант 4. Заметим, из приведённых рассуждений никак не следует его правильность. :-)

-- Вс фев 14, 2021 17:23:55 --

Кстати, если начальная скорость нулевая, нам вообще всё равно, по каким углом бросать. Наверное, неявно предполагается, что скорость и высота подставки ненулевые, только тогда среди вариантов ответа есть правильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение15.02.2021, 13:42 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Sender в сообщении #1505043 писал(а):
Если подставка на нулевой высоте, надо бросать ровно под 45 градусов, это исключает ответ 3. Остаётся вариант 4.

3 и 4 перепутаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение15.02.2021, 15:49 


20/04/10
1231
Русь
fred1996 в сообщении #1505036 писал(а):
А теперь объясните из общих соображений, почему функция монотонная?

Если бы она была не монотонная, то имелись бы выделенные высоты в однородном поле тяжести, это контръинтуитивно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение16.02.2021, 03:26 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
lel0lel
Кажется нашёл неинтуитивное объяснение.
Пусть у нас высота подставки положительная, а оптимальный угол больше 45 градусов.
Теперь сравним эту траекторию с траекторией под 45 градусов.
На той же высоте, но при скорости вниз будем иметь ту же скорость, но вертикальная составляющая меньше у 45 градусной траектории, а горизонтальная больше. Кроме того на этой высоте дальность полёта будет максимальной.
То есть все параметры для бОльшей дальности лучше у 45 градусной кривой на отсечке $h$
1. Дальность максимальна
2. Время полёта больше
3. Горизонтальная скорость выше.
ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная дальность полета
Сообщение16.02.2021, 05:46 


20/01/12
176
nnosipov в сообщении #1503843 писал(а):
Лучше, конечно, действовать так:
DimaM в сообщении #1503809 писал(а):
тупо записать зависимость дальности от угла и найти максимум

Вроде бы не трудно..

В системе координат с началом оси X в точке бросания и началом оси Y на поверхности земли траектория тела описывается уравнениями:

$x(t)=v_x t$
$y(t)=-\frac{gt^2}{2}+v_y t+h$

Из второго уравнения находим время "t" при котором тело падает на землю:

$t=\frac{v_y+\sqrt{{v_y}^2+2gh}}{g}$

Подставляя это время в первое уравнение, находим дальность полета:

$x=\frac{v_x(v_y+\sqrt{{v_y}^2+2gh})}{g}=\frac{v_x(v_y+v_y\sqrt{1+\frac{2gh}{{v_y}^2}})}{g}$

Для случая $\frac{2gh}{{v_y}^2} \ll 1$ находим:

$x\approx \frac{v_x[v_y+v_y(1+\frac{gh}{{v_y}^2})]}{g}=\frac{v_x[2v_y+\frac{gh}{v_y}]}{g}$

Выражая компоненты вектора скорости через угол места $\alpha$, находим дальность полета:

$x(\alpha)\approx \frac{v\cos(\alpha)}{g}[2v\sin(\alpha)+\frac{gh}{v\sin(\alpha)}]=\frac{v^2}{g}[\sin(2\alpha)+\frac{gh}{v^2}\ctg(\alpha)]$

Теперь находим производную по углу места:

$\frac{dx}{d\alpha}\approx \frac{v^2}{g}[2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{1}{\sin^2(\alpha)}]$

Теперь находим угол места при котором дальность максимальна:

$2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{1}{\sin^2(\alpha)}=2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{2}{1-\cos(2\alpha)}=0$

Или:

$\cos(2\alpha)\cdot[1-\cos(2\alpha)]=\frac{gh}{v^2}$

Введем обозначение:

$\alpha = \frac{\pi}{4}-\delta$, где $\delta \ll 1$

Тогда находим:

$\cos(\frac{\pi}{2}-2\delta)\cdot[1-\cos(\frac{\pi}{2}-2\delta)]=\frac{gh}{v^2}$

Или:

$\sin(2\delta)\cdot[1-\sin(2\delta)]=\frac{gh}{v^2}$

Откуда окончательно находим угол места:

$\alpha\approx \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin(\frac{gh}{v^2})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group