Это тоже неправильно с формальной точки зрения.
Когда пишут
![$\forall x$ $\forall x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/c/35cb88e174fb5199c8bb8dd4ab84267682.png)
обычно подразумевают
![$\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/f/d8f2d4cd49299a048fbe921a378370ee82.png)
.
Запись
![$x $ $x $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/3/db396b866f2265a20cb79edf7120e41282.png)
в качестве неизвестного может быть воспринята компьютером (символьные вычисления). Это означает, что
есть формальная система, которую понимает компьютер и в которой
![$x $ $x $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/3/db396b866f2265a20cb79edf7120e41282.png)
- действительное число. При этом указаний, что
![$x \in \mathbb{R}$ $x \in \mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/6/706ec669bd7f265770268f65c725b54982.png)
не потребуется.
Если условиться, что
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
означает кольцо, то не потребуется записывать
![$R \in rings$ $R \in rings$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/d/e8de845983d9b596f3d02f581ebf74c482.png)
, а формальное (в том числе компьютерное понимание сохранится).
Потому что вы не определили (и не сможете определить) оператор "точка"
В большинстве случаев
![$XXX.YYY \equiv \left\lbrace Z \mid z \in Z \Rightarrow (z \in YYY \wedge \mathcal{XXX}(z))\right\rbrace$ $XXX.YYY \equiv \left\lbrace Z \mid z \in Z \Rightarrow (z \in YYY \wedge \mathcal{XXX}(z))\right\rbrace$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/7/b77ab8a14e3b2d05da618ecb148845ea82.png)
![$\mathcal{XXX}(z) = \text { предикат, соответствующий аббревиатуре} \; XXX$ $\mathcal{XXX}(z) = \text { предикат, соответствующий аббревиатуре} \; XXX$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/9/a99e4a2a21bb9a8de7d5f286a94e14f082.png)
![$\mathcal{COM}(z) = (\forall a, b \in z (ab = ba))$ $\mathcal{COM}(z) = (\forall a, b \in z (ab = ba))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/3/2233525a642e6eeb356e4fd2ee85b9df82.png)
В этой ситуации для различных понятий называемых "простыми" придётся вводить свой предикат (и, возможно, как Вы и хотели, вводить свой сокращающий символ). А возможно, при реализации на компьютере, сокращающий символ будет "перегружен": записываться будет одинаково, а компьютером восприниматься по разному. Так
![$a \cdot b$ $a \cdot b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/7/4a78705e51a3d2c629f83906332b15d082.png)
означает умножение, но компьютер различает случаи умножения целых и действительных чисел, хотя знак
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
одинаков, но компьютер "догадывается" по контексту, как правильно этот знак
![$ \cdot $ $ \cdot $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/a/4dafadf816221f2ccaa73a5316fd81d782.png)
трактовать. Таким образом, формальная запись понятная компьютеру является по существу неоднозначной.
Возможно, в конспектах встречается иное понимание оператора точка. Они записаны не на предельном уровне строгости, а так чтобы их мог воспринимать человек. Тогда при дорабатывании конспекта до строгой формальной системы эти случаи следует исправить в ущерб краткости. Конспекты задумывались не только как строгое, но и как краткое изложение.
чтение и интерпретация формальных дедуктивных выводов не стоят свеч
Тем не менее кто-то этим занимается.
формализовать можно всё, что угодно
Всё, что угодно, мне формализовать не удалось.