Формализация математических текстов

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603174 писал(а):

Всё это абсолютно неверно.

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский "Уравнения математической физики", гл. 1, § 1, п. 2.

"Назовём уравнение в точке $M_0$ уравнением... параболического типа, если хотя бы один из коэффициентов $\bar{a}^0_{ii}$ равен нулю".


В ваших примерах

Red_Herring в сообщении #1603159 писал(а):

Шредингера? Оно что, параболическое? А уравнение $u_{xx}+u_{yy}=f$ в $\mathbf{R}^3$ тоже параболическое, или $u_{xx}-u_{yy}=u_t$?

$coef(u_{tt}) = 0$ или $coef(u_{zz}) = 0$.
Следовательно, по учебнику А.Н. Тихонова и А.А. Самарского у уравнений параболический тип.
Получается всё-таки учебники пора переписывать (с Вашей точки зрения).

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603176 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1603174 писал(а):

Всё это абсолютно неверно.

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский "Уравнения математической физики", гл. 1, § 1, п. 2.

"Назовём уравнение в точке $M_0$ уравнением... параболического типа, если хотя бы один из коэффициентов $\bar{a}^0_{ii}$ равен нулю".
Получается всё-таки учебники пора переписывать (с Вашей точки зрения).

1. там вовсе не утверждается, что ультрагиперболические уравнения являются гиперболическими. Напротив, они их выделяют отдельно.
2. они ссылаются, что "эта терминология заимствована из теории кривых второго порядка". Заметим, что в главе "Уравнения параболического типа" они не рассматривают ни Шредингера, ни $u_t=u_{xx}-u_{yy}$, ни даже не рассуждают о том, что u_{xx}+u_{yy}=0$ в $\mathbb{R}^3$ будет параболическим.
3. Да и в монографии Ладыженская, О.А.; Солонников, В.А.; Уральцева, Н.Н. «Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа», авторы которой являются гораздо более авторитетными специалистами по УЧП/УМФ, эти уравнения не рассматриваются. Да и в других книгах аналогично.

А почему бы это? Да потому, что эти уравнения не обладают главными свойствами уравнения теплопроводности: разрешимость задачи Коши в одном направлении времени и гипоэллиптичность: там, где правая часть гладкая, там и решение гладкое. Для Шредингера задача Коши хорошо оставлена в обоих направлениях времени, что несовместимо с гипоэллиптичностью. Т.е. де-факто Т&С не считают эти уравнения параболическими. А дав общее определение, потом о нём забывают. Они, кстати, замечают, что они не касаются более глубокого разделения параболических уравнений на параболически-эллиптические, параболически-гиперболические и т.д. Опять, по той же причине: никакими хорошими свойствами "параболически-гиперболические" уравнения не обладают.

А что касается переписывания некоторых учебников, то это не моя проблема. Написали и написали.

Цитата:

Каждый пишет, как он дышит

и меня то не колышет

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603192 писал(а):

там вовсе не утверждается, что ультрагиперболические уравнения являются гиперболическими. Напротив, они их выделяют отдельно.

Да. Тогда классификацию можно записать так:

$(ELP \, \sqcup \, NORMHPB \, \sqcup \, ULTRHPB \, \sqcup \, PRB)$

(Nota bene! Рассматриваемый мной способ формализации не меняется от того, какую классификацию использовать.)

Разбиение на три типа $(ELP \, \sqcup \,HPB \, \sqcup \, PRB)$ можно найти в учебнике А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов "Лекции по математической физике". Про остальные типы утверждается, что они представляют собой "более подробную классификацию", что можно трактовать как разбиение основных трёх типов на подтипы. А именно:

$ HPB = NORM.HPB \, \sqcup \, ULTR.HPB$

$ PRB = ELP.PRB \, \sqcup \ HPB.PRB \, \sqcup \, ULTR.PRB $

$ HPB.PRB = (NORM.HPB).PRB \, \sqcup \, (ULTR.HPB).PRB$

Red_Herring в сообщении #1603192 писал(а):

Для Шредингера задача Коши хорошо оставлена в обоих направлениях времени, что несовместимо с гипоэллиптичностью. Т.е. де-факто Т&С не считают эти уравнения параболическими. А дав общее определение, потом о нём забывают.

Я уже выше соглашался, что классификация может и не отражать некоторых глубоких свойств. Стандартная классификация отражает прежде всего вырождение по размерности (выделение параболического типа). Если это свойство считать более важным, чем, например, гипоэллиптичность, то стандартная классификация остаётся в силе. Задача базового уровня классификации отразить грубые свойства, а не тонкие; причём так, чтобы распределить всё разбиваемое множество на типы (полнота).

Плохо, что общей договорённости нет. Вот химики сумели договориться как обозначать элементы (хотя и там некоторые элементы переназывают).

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603204 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1603192 писал(а):

там вовсе не утверждается, что ультрагиперболические уравнения являются гиперболическими. Напротив, они их выделяют отдельно.

Я уже выше соглашался, что классификация может и не отражать некоторых глубоких свойств. Стандартная классификация отражает прежде всего вырождение по размерности (выделение параболического типа). Если это свойство считать более важным, чем, например, гипоэллиптичность, то стандартная классификация остаётся в силе. Задача базового уровня классификации отразить грубые свойства, а не тонкие; причём так, чтобы распределить всё разбиваемое множество на типы (полнота).
Плохо, что общей договорённости нет. Вот химики сумели договориться как обозначать элементы (хотя и там некоторые элементы переназывают).

Вы берете древние учебники, написанные известными математиками, которые, однако, не являются специалистами по УЧП. При этом в этих учебниках дали определение, и все. А рассматривают только волновое уравнение. Назвали параболическими, а рассматривают только уравнение теплопроводности.

И.Г.Петровский, в своих классических работах ещё до ВМВ, ввел класс гиперболических уравнений и систем, произвольного порядка, которые общепринято во всем мире называются строго гиперболическими уравнениями (или гиперболическими по Петровскому) причем любого порядка и в любой размеренности. Остальное--от лукавого.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603210 писал(а):

И.Г.Петровский, в своих классических работах ещё до ВМВ, ввел класс гиперболических уравнений

Вот и обозначим этот класс сокращением $PETR$.

Если строго гиперболическое уравнение является гиперболическим по классификации С. Б. К., то оно будет принадлежать к классу обозначаемому $PETR.HPB$.

Если строго гиперболическое уравнение содержит параболическое вырождение, то по классификации С. Б. К. оно будет параболического типа и может быть обозначено $PETR.PRB$.

Фактически предлагается переименование класса строго гиперболических уравнений в "уравнения класса Петровского". И строго гиперболическое уравнение с параболическим вырождением станет уравнением класса Петровского параболического типа.

Повторюсь. Преимущество грубой классификации в том, что она охватывает все случаи. Вы, я так понимаю, хотите сказать, что если ряд уравнений обладает некоторыми общими аналитическими свойствами, то они образуют некоторый класс. Да, разумеется, это так. Но эти классы, Вы продолжаете, не образуют единой классификации (или же она очень сложна). Это тоже верно. Но положив в основу классификации грубый принцип параболического вырождения, удаётся эту классификацию провести для всех линейных уравнений 2-го порядка. При этом, да, рассматриваемые Вами классы, несмотря на присущую им общность, будут разбиты на подклассы для инкорпорации в общую классификацию.

Или же определить класс Петровского так (в учебниках Т. С. и С. Б. К., класс нормальных гиперболических уравнений эквивалентен классу Петровского, не так ли?):

$PETR = NORM.HPB = HPB - ULTR.HPB$.

Проведу биологическую аналогию. Можно проводить классификацию животных по месту обитания: на суше, в воздухе, в воде. А можно по физиологии: млекопитающие, птицы, рыбы, насекомые и т. д. Эти две классификации друг другу мешают. Так как в воде обитают и млекопитающие, и рыбы, а на суше и млекопитающие, и насекомые и т. п.

[Alexandr Gavrichenko]

Использование букв при формальной записи. Добавление
(См. первое сообщение темы, п. 2)

1) Резервируя букву $R$ за кольцами, нам нет необходимости писать кольцо $R_1$, кольцо $R_2$. Буква $R$ уже (по умолчанию) обозначает кольцо. Вообще говоря, т. к. европейских букв мало, то для разных областей математики (алгебра, геометрия) расшифровки одной и той же буквы будут различны. Для формальной записи текста на стыке дисциплин придётся исхитряться. Например, $R$ обозначает кольцо, а $RR$ — радиус.

2) Необходимо также оставить незарезервированные буквы (например $A, B, C, X, Y, Z$), чтобы автор мог локально изменять их значение в тексте по своему усмотрению. Например, $X \in IDL.R_1, Y \in IDL.R_2, X \ne Y$. Сокращение $IDL$ обозначает множество идеалов кольца.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko (TURC.AL.GAV) в сообщении #1603211 писал(а):

Повторюсь. Преимущество грубой классификации в том, что она охватывает все случаи.

Повторюсь: она не просто грубая, она не по существу. Это как бы биологи делили живых существ на 0-ногих, 1-ногих, 2-ногих, .... И вы бы попали бы в один класс с индюком. И класс бы был индюкообразные. Вот вы и принадлежите к классу индюкообразных, и записываетесь как TURC.AL.GAV (Turcia это индюк по латыни).

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603254 писал(а):

Это как бы биологи делили живых существ на 0-ногих, 1-ногих, 2-ногих, ....

Вообще-то, Платону приписывают утверждение, что "человек - двуногое без перьев". Так что такая классификация действительно существует. Дальней экстраполяцией этой классификации является принятая биологами классификация по типу симметрии тела. По этой классификации млекопитающие и морская звезда относятся к разным типам симметрии. А индюки и люди к одному классу.

Red_Herring в сообщении #1603254 писал(а):

И вы бы попали бы в один класс с индюком. И класс бы был индюкообразные. Вот вы и принадлежите к классу индюкообразных, и записываетесь как TURC.AL.GAV (Turcia это индюк по латыни).

Запись TURC.AL.GAV выделяет в качестве базового класса не индюков, а мою фамилию (GAV). Дальше меня как представителя фамилии (AL.GAV), и только потом уже индюков как мне подобных.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603260 писал(а):

Вообще-то, Платону приписывают утверждение, что "человек - двуногое без перьев".

Ну вот, классифицировать УЧП только 2го порядка, только с вещественными коэффициентами в главной части с помощью квадратичных форм это примерно столь же актуально и столь же разумно.

[Alexandr Gavrichenko]

1) Вынесение оператора точка за скобки

Определения пространств принимаются по книге В.А. Ильина и Э.Г. Позняка "Основы математического анализа".

Введём обозначения:

$LIN.SPACE(\mathbb{R})$ — множество линейных пространств над $\mathbb{R}$

$EUKL.SPACE(\mathbb{R})$ — множество евклидовых пространств

$HILB.SPACE(\mathbb{R})$ — множество вещественных гильбертовых пространств.
Отметим, что это одноэлементное (с точностью до изоморфизма) множество, то есть $HILB.SPACE(\mathbb{R}) = \{L^2\}$

Тогда утверждение, что "вещественное гильбертово пространство является евклидовым, а евклидово пространство является линейным" можно записать так:

$HILB.SPACE(\mathbb{R}) \subset EUKL.SPACE(\mathbb{R}) \subset LIN.SPACE(\mathbb{R})$

То же самое утверждение можно записать короче:

$(HILB \subset EUKL \subset LIN).SPACE(\mathbb{R})$

В этой записи $.SPACE(\mathbb{R})$ действует на формулу $HILB \subset EUKL \subset LIN$, причём действие оказывается на каждый терм формулы, то есть

$(A \subset B).C = A.C \subset B.C$


2) Обозначения для подмножеств из книги В.А.Ильина и Э.Г. Позняка "Основы математического анализа", Часть 2, гл. 8.

Пусть $E \subset \mathbb{R}$. Тогда обозначение $E[P(x)]$ задаёт множество тех элементов $x \in E$, которые удовлетворяют условию $P(x)$. Например, при $E = \mathbb{R}$ запись $\mathbb{R}[x > 0]$ будет обозначать открытую положительную полуось. По аналогии можно ввести обозначение $\mathbb{R}^2[x \geqslant 0 \ \& \ y \geqslant 0]$ для первого квадранта плоскости.

В предлагаемой "точечной" символике для обозначения первого квадранта можно использовать аналогичную запись $\{x \geqslant 0 \ \& \ y \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2$

Эту запись можно развернуть:

$\{x \geqslant 0 \ \& \ y \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 = \{x \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 \ \& \ \{y \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2$

Дальнейшее развёртывание не производится, так как запись $\{x \geqslant 0\}$ в $\mathbb{R}^2$ сама является некоторым сокращением:

$\{x \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y) | x > 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y).\mathbb{R}^2 | x > 0\}$

[Alexandr Gavrichenko]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1607241 писал(а):

Дальнейшее развёртывание не производится, так как запись $\{x \geqslant 0\}$ в $\mathbb{R}^2$ сама является некоторым сокращением:

$\{x \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y) | x > 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y).\mathbb{R}^2 | x > 0\}$

Здесь ошибка. Правильно:

$\{x \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y) | x \geqslant 0\}.\mathbb{R}^2 = \{(x, y).\mathbb{R}^2 | x \geqslant 0\}$