GuvertodСпасибо, действительно многое проясняется.
MuninА есть более правильные аналогии?
Сегодня понял, что же значит ковариантность и контравариантность, и почему эта разница возникает именно в аффинных координатах.
Понятие ковектора

возникает потому, что в выражении для квадрата длины

свертка

сама образует вектор, поэтому это выражение можно по прежнему трактовать, как скалярное произведение вектора

и еще одного вектора (ковектора)

, т.е.

Т.е. "контравариантный вектор" значит, что этот вектор (или тензор по одному из индексов) не свернут с метрическим тензором, а "ковариантный вектор" - что свернут. Для декартовых координат здесь нет разницы.