Пространство-время ОТО

[Утундрий]

Да все равно, если расстояние не постоянно, то его по сути и нет. Можно, правда, вычислить интервал между произвольно выбранными точками на обоих мировых линиях ракет; взять от минус его корень и обозвать результат расстоянием. Только не знаю, зачем, и что потом с этим расстоянием делать.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1406464 писал(а):

Даже если ракеты разлетаются в разные стороны, да еще и вдобавок вдоль скрещивающихся прямых?

Munin в сообщении #1406472 писал(а):

Не вдоль скрещивающихся. Задача одномерная, это в условии явно сказано.

Вдоль скрещивающихся или нет - не имеет значения - в любой зафиксированной ИСО ("внешнего наблюдателя"), расстояние между ракет всегда есть.

Утундрий в сообщении #1406474 писал(а):

Да все равно, если расстояние не постоянно, то его по сути и нет.

С какой стати?
Коль скоро зафиксирована инерциальная система отсчета, расстояние между ракет в данной системе отсчета всегда есть (пускай и непостоянноe).
В декартовых координат - вычисляется по формуле пифагора, где пространственные координаты ракет берутся в один и тот же момент времени ИСО t.

[sergey zhukov]

Возьмем случай, когда сигнализирующей будет задняя ракета $A$. Для простоты положим, что $c=1$, а время ускорения ракет на каждом шаге равно нулю. Начальное время между посылками импульса синхронизации равно $t_0$ (соответственно, начальное расстояние между ракетами равно $t_0$). На каждом шаге ракеты увеличивают свою скорость на $\Delta U$ относительно своей предыдущей скорости, т.е. в собственной системе координат. Примем так же, что $\Delta U<<1$

Для внешнего наблюдателя задняя ракета $A$ после времени $t_0$ приобретает скорость $U_1=\Delta U$. Следующий промежуток времени между ускорениями займет у нее время $t_{i+1}=\frac{t_0}{\sqrt{1-U_i^2}}$, скорость после второго ускорения составит $U_{i+1}=\frac{U_i+\Delta U}{1+U_i\Delta U}$.
Пройденный задней ракетой $A$ общий путь за время $t^A_i=\sum\limits_{}^{}t_i$ есть $x^A_i=\sum\limits_{}^{}t_iU_i$.
Точки ускорения передней ракеты $B$ просто отложим от точек ускорения задней ракеты $A$ так, чтобы точки ускорения между обоими траекториями были соединены синхроимпульсом и чтобы скорости ракет в каждой точке, соединенной синхроимпульсом, были равны. Геометрически это значит, что:

$$t^B_{i+1}=\frac{(t^A_i-t^B_iU_i)-(x^A_i-x^B_i)}{1-U_i}$$

$$x^B_{i+1}=t^B_{i+1}+x^A_i-t^A_i$$

График движения будет такой:


Частота ускорений задней ракеты на взгляд внешнего наблюдателя больше, чем передней, поэтому они сближаются.

[Munin]

Сейчас вы пишете так, будто ускорение мгновенно, а по вашим предыдущим условиям оно занимало 1 секунду - столько же, сколько сигнал между ракетами.

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1406477 писал(а):

вычисляется по формуле пифагора, где пространственные координаты ракет берутся в один и тот же момент времени ИСО t

Вот только "один и тот же момент" в СТО - не инвариантное понятие.

[sergey zhukov]

Munin
Ну это ведь ничего особо не меняет. Пауза между синхроимпульсами ведь не оговаривалась. Если она составляет 1 час, то секундное ускорение можно считать мгновенным. Как я понимаю, в СТО нет проблем с рассмотрением бесконечных ускорений.

[Утундрий]

Скажите, sergey zhukov, если продифференцировать это Ваше "расстояние", то наверное получится "скорость", да? Ну просто не может не получиться. В школе всегда получалось же.

[Guvertod]

Утундрий

( тягомотина про расстояния)

1. Переходим в СК, где $x^0$ - времениподобная, $x^a$ - пространственноподобные координаты.
2. Определяем локально "физическую" длину: $dl^2=( -g_{ab}+\frac{ g_{0a} g_{0b} }{ g_{00} } )dx^adx^b$
3. Определим $ l = \int_{{x^0=\operatorname{const}}} dl$ интегрированием от точки к точке как расстояние (в этих координатах по данному времени).
Возражения?

[Утундрий]

Guvertod в сообщении #1406500 писал(а):

Возражения?

Да. Вычисленная согласно п.3 величина вообще говоря зависит от пути интегрирования.

[Guvertod]

Утундрий
Извиняюсь, в голове была длина конкретного объекта, конечно, расстояние же просто между 3- точками по нашей "пространственной" метрике надо доопределить минимизацией этой формулы.

[Утундрий]

Guvertod в сообщении #1406516 писал(а):

доопределить минимизацией этой формулы.

Сомневаюсь, что из этого получится что-то хорошее. Проще перестать притягивать за уши нерабочие и активно сопротивляющиеся притягиванию конструкции на том лишь основании, что когда-то они работали.

[Guvertod]

Утундрий
В целом то может вы и правы, но мне интересно, например, как вы предпочитаете определять расстояния между галактиками в расширяющейся вселенной?

[sergey zhukov]

Утундрий
Я так понимаю, что в теории относительности никакое конечное расстояние не может быть измерено наблюдателем мгновенно. Все, что на самом деле можно достоверно измерять - это время. Даже когда мы говорим, что при равномерном и прямолинейном движении стержня по полю синхронизированных часов мы измеряем его длину, засекая одновременно положения начала и конца стержня, то ведь все равно результат такого измерения не становится доступен наблюдателю мгновенно. Если даже мы находимся в точке тех часов, которые отметили один конец стержня, то другие отметившие часы находятся далеко от нас, и как далеко - мы этого мгновенно не узнаем. Неподвижная СК возможно и узнает это немедленно, а мы - нет.

[Geen]

Guvertod в сообщении #1406519 писал(а):

определять расстояния между галактиками в расширяющейся вселенной?

Вроде бы всего шесть способов принципиально: красное смещение, угловой размер, яркость, параллакс, радар и заранее расставленные наблюдатели....

[manul91]

Утундрий в сообщении #1406493 писал(а):

manul91 в сообщении #1406477 писал(а):

вычисляется по формуле пифагора, где пространственные координаты ракет берутся в один и тот же момент времени ИСО t

Вот только "один и тот же момент" в СТО - не инвариантное понятие.

И что с того?
Речь шла для "одного и того же момента времени t" для ИСО, т.е про "системе отсчета внешнего наблюдателя".
Раз инерциальная система отсчета зафиксирована, то и "один и тот же момент" для ней - вполне определенное понятие, чему соответствует вполне определенное расстояние между ракет в данной системе отсчета (вне зависимости от взаимного движения, или взаимной неподвижности ракет).

А если про "расстояния вообще", вне зависимости от выбора инерциальной системой отсчета - то оно точно также неинвариантно даже если ракеты взаимнонеподвижны.

Почему-то вас не волновала "неинвариантность расстояния в СТО", для взаимнонеподвижных ракет в начале задачи?:

Утундрий в сообщении #1406450 писал(а):

Вначале оно есть по условию задачи.

Либо инерциальная система отсчета определена - и соответно в ней определены как одновременность, так и расстояние между ракет в любой момент - вне зависимости от их состояния движения - хоть по скрещивающихся прямых, хоть гуляющих зигзагами по спирали.

Либо инерциальная система отсчета не определена - тогда не определены как одновременность, так и расстояние между ракет (они разные в разных систем отсчета) - даже если ракеты взаимнонеподвижны , как по условию в начале задачи.