Пространство-время ОТО

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1404916 писал(а):

А как насчет скорости? Имеет ли смысл говорить об относительной скорости двух удаленных друг от друга в пространстве наблюдателей?

Ровно так же.

[sergey zhukov]

В ОТО основная задача состоит в том, чтобы по заданному распределению массы-энергии определить параметры пространства-времени (метрический тензор и тензор кривизны). Можно ли поставить обратную задачу, т.е. задать, например, метрический тензор и найти распределение массы-энергии, которое ему соответствует?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1404991 писал(а):

В ОТО основная задача состоит в том, чтобы по заданному распределению массы-энергии определить параметры пространства-времени

Нет.

sergey zhukov в сообщении #1404991 писал(а):

Можно ли поставить обратную задачу, т.е. задать, например, метрический тензор и найти распределение массы-энергии, которое ему соответствует?

ТЭИ вычисляется просто по уравнению Эйнштейна.

[sergey zhukov]

Еще такой вопрос.

Если рассматривать пространство переменной кривизны, которое в каждой своей точке имеет тензор кривизны, отличный от такового в остальных точках, то можно ли говорить, что точки такого пространства адресованы собственно самим тензором кривизны без необходимости введения на этом пространстве произвольных координат? Если так, то можно ли говорить, что на таком бескоординатном пространстве определен метрический тензор? Как он в таком случае выражается?

-- 14.07.2019, 15:13 --

И еще: можно ли определить искривленное пространство (просто пространство, не пространство-время), как такое пространство, в котором в общем случае нельзя построить две эквидистантные прямые, т.е. в таком пространстве прямые либо расходятся, либо сходятся.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1405015 писал(а):

Если рассматривать пространство переменной кривизны, которое в каждой своей точке имеет тензор кривизны, отличный от такового в остальных точках, то можно ли говорить, что точки такого пространства адресованы собственно самим тензором кривизны без необходимости введения на этом пространстве произвольных координат? Если так, то можно ли говорить, что на таком бескоординатном пространстве определен метрический тензор? Как он в таком случае выражается?

Для математического определения никакого тензорного поля, и самого многообразия, координаты не нужны. Координаты удобны для расчётов и определения конкретных многообразий и полей в общем случае (когда бескоординатно выходит слишком неудобно; простые многообразия типа евклидова пространства или сфер разных размерностей легко определить не прибегая к координатам).

Но индексировать точки значениями тензора Римана — совершенно непрактично. Кроме того само условие отличности тензора Римана в разных точках многообразия — не правильно поставленное, потому что чтобы сравнить, надо сначала перенести всё в одну точку, а это возможно разными способами, и я даже не помню, можно ли переносить что-то кроме отдельных векторов. Если бы вы взяли скалярную кривизну, можно было бы ничего не переносить, но тогда условие выглядит совершенно нефизично и несовместимо с хотя бы даже непрерывностью такой кривизны.

sergey zhukov в сообщении #1405015 писал(а):

И еще: можно ли определить искривленное пространство (просто пространство, не пространство-время), как такое пространство, в котором в общем случае нельзя построить две эквидистантные прямые, т.е. в таком пространстве прямые либо расходятся, либо сходятся.

Как минимум проще постулировать неравенство нужного вида тензоров кривизны нулю: для каждой точки это локальное свойство, а геодезические проводить в каком-то смысле будет дольше.

[sergey zhukov]

Какое ограничение накладывается на зависимость метрического тензора от координат? Если задана система координат и заданы совершенно произвольные зависимости компонент метрического тензора от координат, то определяеет ли этот тензор какое-то многообразие? Или такая матрица вообще не будет тензором?

[Guvertod]

sergey zhukov
Подойдет любая симметричная $g_{ik}=g_{ki}$, в ОТО еще нужно, чтобы его сигнатура была $(1,3)$. В физическом смысле ее задание в СК полностью определит пространство-время в области, в которой эта СК задана. В математическом всех формальностей я не знаю, но, как минимум, еще связность надо определить.

[sergey zhukov]

Задание поля метрического тензора не определяет связность?

[Guvertod]

sergey zhukov
Не определяет. Связность как в ОТО получается наложением условия согласованности с метрическим тензором (неизменности скалярного произведения при переносе) и отсутствием кручения.

[sergey zhukov]

Верно ли, что задание поля коэффициентов связности полностью определяет пространство-время, а метрический тензор (и тензор кривизны) - это вторичное, производное понятие?

[Guvertod]

Нет, связность и метрика это просто разные понятия.

[arseniiv]

sergey zhukov
Нет. Связность не порождает метрику. Связность, грубо говоря, определяет как переносить векторы (как связаны касательные пространства разных точек), а метрика — как вычислять углы и расстояния. Простой плоский пример: на произвольном аффинном пространстве есть связность, но нет метрики, и при её добавлении оно превращается в евклидово.

-- Пн июл 15, 2019 18:51:42 --

Вообще где-то на форуме говорили: вот аффинное то, аффинное сё, надо сразу произвольные многообразия давать — а вот как полезно разбирать на нём проблемы.

[sergey zhukov]

Получается так. Есть континуум точек (с которыми ассоциированы, например, события в ОТО). Каждая точка характеризуется $n$ числами $x^i$. Эти $n$ чисел мы назначаем точкам произвольно. Тот факт, что каждая точка адресована $n$ числами, ничего не говорит нам о расстоянии между точками, ведь эти числа произвольны. Расстояние в этих данных никак не содержится, его нужно просто задать. Можно задать расстояние между любыми двумя точками непосредственно, как какую-то функцию адресов этих точек. Можно задать только бесконечно малое расстояние между точками с бесконечно близкими адресами (например, между $(x^1, x^2 ... x^n)$ и $(x^1+dx^1, x^2+dx^2 … x^n+dx^n)$), а конечное расстояние определять интегрированием. В последнем случае мы задаем метрическую функцию, которая дает расстояние между любыми точками с двумя бесконечно близкими адресами, как функцию от $x^i$ и $dx^i$. Метрическое пространство задано. Теперь нужно сделать так, чтобы расстояние в этом пространстве никак не зависело от произвольной адресации точек, т.к. предполагается, что у разных наблюдателей способ адресации точек будет разный. Нам все равно, какой адрес получит каждая точка, но мы хотим, чтобы расстояние между точками не зависело от их адресов. Для этого метрическую функцию мы зададим так, чтобы она получалась из самого закона адресации точек. В итоге смена способа адресации точек ведет к автоматической смене метрической функции, а расстояние между точками, математически зависящее и от того, и от другого, не меняется.
Так я понимаю метрику. А в чем смысл связности? Как выглядит не аффинная связность?

[Guvertod]

sergey zhukov в сообщении #1405357 писал(а):

Так я понимаю метрику.

В целом верно, только деталь:

sergey zhukov в сообщении #1405357 писал(а):

Каждая точка

На самом деле, в общем случае координаты задают лишь подможнество многообразия. В физике это тоже важно - как пример, возможно, вы уже могли слышать, что коордианты Шварцшильда не являются полным описанием черной дыры.

sergey zhukov в сообщении #1405357 писал(а):

А в чем смысл связности? Как выглядит не аффинная связность?

Мне помог разобраться с этим учебник Новиков, Тайманов Современные геометрические структуры и поля.
Как пример ковариантной производной из физики есть $D_{\mu}=\nabla_{\mu}+A_{\mu}$

[sergey zhukov]

Недавно нашел этот сайт http://www.fourmilab.ch/. Мне всегда было интересно понять, каким образом рассчитывается орбита вокруг черной дыры, а здесь приведена интерактивная модель и математика. Я понял написанное там так:

Расчет орбиты пробного тела в поле Шварцшильда сводится фактически к задаче классической физики, а именно к движению пробной частицы в поле соответствующего потенциала. Из ОТО получается только вид этого потенциала, и он довольно простой.
В классической физике полная энергия частицы на орбите в поле центральной силы равна:

$$E=\frac{mV^2}{2}+U(r)$$

Если перейти во вращающуюся систему координат, в которой центральное тело вращается под пробной частицей, а пробная частица движется только радиально (вертикально), то появятся центробежная сила и сила Кориолиса, а то ту же самую энергию можно теперь записать так:

$$E=\frac{m}{2}\Biggl(\frac{dr}{d\tau}\Biggr)^2+\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)$$

Теперь для кинетической энергии пробной частицы вместо орбитальной скорости записана только скорость вдоль радиуса, но зато появляется энергия центробежной силы вида $1/r^2$, которая зависит от момента импульса пробной частицы $L$ (кориолисова сила работы не совершает).
Подставим сюда потенциальную энергию для закона обратных квадратов и обьединим под названием "эффективный" потенциал $U(L;r)$ слагаемые энергии, зависящие от $r$:

$$E=\frac{m}{2}\Biggl(\frac{dr}{d\tau}\Biggr)^2+\Biggl(\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}\Biggr)=\frac{m}{2}\Biggl(\frac{dr}{dt}\Biggr)^2 +U(L;r)$$

Момент импульса - это теперь параметр потенциала, а не характеристика движения. ОТО говорит, что эффективный потенциал нужно подправить слагаемым вида $1/r^3$, так что если расположить слагаемые эффективного потенциала по степеням, то:

$$E=\frac{m}{2}\Biggl(\frac{dr}{d\tau}\Biggr)^2+\Biggl(-\frac{GMm}{r}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GML^2}{m^2c^2r^3}\Biggr)$$

Полная энергия системы $E$ сохраняется, так что отсюда можно найти зависимость $r=r(\tau)$
На сайте расчет приведен так, что все величины имеют размерность метра (при этом $G=1$, $c=1$, $m=1$), поэтому формула там выглядит так:

$$E^2=\Biggl(\frac{dr}{d\tau}\Biggr)^2+\Biggl(1-\frac{2M}{r}+\frac{L^2}{r^2}-\frac{2ML^2}{r^3}\Biggr)$$

(Тут я не совсем понял, откуда взялось $E^2$ и лишняя единица в потенциале). Получили зависимость $r=r(\tau)$, т.е. зависимость радиальной координаты от собственного времени пробной частицы. Центральное тело поворачивается под пробной частицей с угловой скоростью (по определению момента импульса):

$$\frac{d\varphi}{d\tau}=\frac{L}{r^2}$$

Эта скорость так же отсчитывается по часам пробной частицы. Теперь у нас есть полное параметрическое дифференциальное описание орбиты $r=r(\tau)$ и $\varphi=\varphi(\tau;r)$ от собственного времени частицы. Осталось связать собственное время частицы $\tau$ с координатным временем $t$ (время бесконечно удаленного наблюдателя) (откуда эта формула, мне тоже не совсем ясно):

$$dt=\frac{E}{1-2\frac{M}{r}}d\tau$$

В общем, за исключением собственно происхождения релятивистских поправок ход расчета кажется более-менее ясным.