Пространство-время ОТО

[arseniiv]

Да и когда отрицателен, можно найти инерциально движущуюся линейку, на концах которой одновременно происходят два события, с таким квадратом длины.

sergey zhukov в сообщении #1404627 писал(а):

Метрика Минковского не удовлетворяет ни одному свойству метрики в том смысле, в котором понятие метрики было введено изначально (неравенство треугольника, положительность, между разными точками не может быть нулевое расстояние).

Потому кстати более аккуратно её зовут псевдометрикой.

[sergey zhukov]

Почему вообще возникла мысль связать этот параметр (разность квадратов расстояния и времени) с понятием метрики? Ведь псевдометрика буквально означает все же "как бы метрика". Какое свойство метрики Минковского делает ее схожей с обычной метрикой и позволяет называть ее "псевдометрика"? По моему, только схожесть математического выражения, но не ее свойства.

[arseniiv]

Потому что это в большей степени похоже на метрику, которая на самом деле есть метрический тензор риманова многообразия (или евклидова пространства, где вы знаете его под именем скалярного произведения), это тоже сокращение, но в этих видах пространств этот тензор действительно задаёт (обычную, в смысле метрических пространств) метрику (не совсем тривиальным образом, но довольно естественно). Псевдометрический тензор — это то обобщение первого, на которое мы натыкаемся из-за интервала. Разница только в сигнатуре этой билинейной формы: вначале допускалась только положительно определённая невырожденная, «псевдо» же говорит об индефинитной невырожденной.

[sergey zhukov]

Я так понимаю, что если в геометрию Римана (которая изначально была разработана именно для пространств с обычной метрикой) вместо метрического тензора вставить псевдометрический тензор, то математически это не приводит ни к каким противоречиям. Тоже получается какое-то пространство. Т.е метрика - это любое выражение, которое можно непротиворечиво подставить вместо метрического тензора.

[Утундрий]

Не так все просто как хотелось бы. Выглядят эти теории формально одинаково, но математические методы, использующиеся, например, при доказательствах существования-единственности-и-всего-такого - совершенно различны. Примерно как сверхзвуковая газовая динамика и гармонические функции.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1404648 писал(а):

Т.е метрика - это любое выражение, которое можно непротиворечиво подставить вместо метрического тензора.

Лучше всё-таки считать, что «метрика» — это и обычная функция расстояния метрического пространства, и (в контексте римановой геометрии) сокращение от «метрический тензор», и (в контексте псевдоримановой геометрии) сокращение от «псевдометрический тензор», как оно и возникло и пока ещё понимается. А метрический тензор можно спокойно обобщить до любой симметричной билинейной формы, даже вырожденной. А то и несимметричной. (И дальше уже некуда — если не переходить от билинейной формы к произвольному тензору, но каждый раз ломается всё больше и больше вещей, и в этот раз уже вообще ничего от «метричности» не останется.)

Есть и обобщения метрического пространства, но вроде не всё там просто соотносится вот с этой башней.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1404717 писал(а):

А то и несимметричной.

Ага, над полем $\mathrm{char}=2$ симметричную неудобно использовать.

[sergey zhukov]

Верно ли, что в теории относительности при разговоре о пространственном расстоянии имеет смысл говорить только о радарном расстоянии. Т.е. наблюдатель посылает импульс света в направлении обьекта, до которого он хочет измерить расстояние, а когда получает отражение, то делит время хода луча "туда-обратно" пополам и умножает эту половину на скорость света. Так он получает расстояние до обьекта, которое существовало половину времени назад. Наблюдатель всегда получает расстояние, которое было, а не которое есть сейчас. А пространственное расстояние, существующее сейчас, не определено.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1404886 писал(а):

Верно ли, что в теории относительности при разговоре о пространственном расстоянии имеет смысл говорить только о радарном расстоянии.

Нет, неверно. Без всякой ОТО, в каких смыслах можно говорить о расстоянии на поверхности Земли?

[arseniiv]

sergey zhukov
Насколько я понимаю, почти в любом пространстве-времени из обычно рассматриваемых физикой (не только псевдоримановых) для разговора о пространственном расстоянии необходимо и достаточно иметь разбиение на гиперповерхности одновременности (два события на одной такой поверхности будут считаться одновременными, а на разных — нет). Тогда (псевдо)метрика, ограниченная на одну такую гиперповерхность, задаёт между её событиями пространственные расстояния. По крайней мере СТО и механика Галилея дают делать так же. (В последней у нас, правда, ровно одно возможное такое разбиение и выбора у нас никакого нет, но тем не менее это совершенно нормальный частный случай.)

[sergey zhukov]

Цитата:

Верно ли, что в теории Без всякой ОТО, в каких смыслах можно говорить о расстоянии на поверхности Земли?

В классической механике мы одновременно (по крайней мере, теоретически) знаем пространственные координаты всех тел. Остается только найти разность. А что мы знаем в ОТО о том, что делается сейчас в других удаленных от нас точках пространства? Похоже, что ничего.

[Утундрий]

sergey zhukov
Только о радарном и только локально. Иногда, в особых случаях, можно ввести некое глобальное расстояние. Но так как это бывает редко, лучше такой возможности не предполагать.
arseniiv
Это сильно сужает общность рассмотрения. Для произвольно взятой системы отсчёта такой "поверхности одновременности" как правило не существует.

[arseniiv]

А как тогда делают? Я уже пару раз такое писал, и никто не поправил.

-- Сб июл 13, 2019 18:11:22 --

А, локально. Ну и разбить на гиперповерхности тоже только кусочек.

[Утундрий]

АДМ-формализм штука широко известная, так что им обычно и ограничиваются. Особенно если пытаться что-то проквантовать. Но если нужно, например, пощупать аккреционный диск, то удобно перейти к системе отсчёта в которой он (каждой своей частью) покоится. Ну а там никакой гиперповерхности одновременности быть не может.

[sergey zhukov]

Утундрий
Локально - это значит, что можно говорить только о расстояниях в бесконечно малой окрестности вокруг себя? А как насчет скорости? Имеет ли смысл говорить об относительной скорости двух удаленных друг от друга в пространстве наблюдателей?