Какое утверждение неверно? Что

подчиняется уравнению Лиувилля? Перечитайте внимательнее.
Попробую объяснить.
(Оффтоп)
Жалко, что Cos(x-pi/2) спугнули. У него такие объяснения блестяще получаются.
1. О связи уравнения Лиувилля и динамики системы.
Пусть у нас есть

-частичная гамильтонова система. Пусть

означает точку в фазовом пространстве размерности

определяющую текущее состояние системы

.
В начальный момент значение функции

в фиксированной точке

описывает вероятность найти систему в состоянии

Тогда через время

значение

переползет в точку

получающуюся из точки

сдвигом всех

и

вдоль траектории:

Если эту процедуру проделать для всех

то получится, что
где

- истинные механические траектории. Т.е. знание

эквивалентно знанию всех траекторий (соединяем близкие точки с одинаковым

и получается траектория). Условием (необходимым и достаточным) того, что все так и будет является то, что

удовлетворяет уравнению Лиувилля для гамильтониана системы

В этом случае механические траектории будут характеристиками уравнения Лиувилля. Если уравнение, которому подчиняется

-частичная (полная) функция распределения отличается от уравнения Лиувилля, то бабушка надвое сказала, что вообще существует хоть какая механическая система, соответствующая такому уравнению.
2. О "малочастичных" функциях распределения.
Поскольку

-частичная функция содержит всё, толку от нее - ноль, мы ее никогда не узнаем. В большинстве случаев вместо нее используется "малочастичная" (одно- или двухчастичная) функция распределения. Она позволяет для некоторых величин, имеющих вид
получить средние,
совпадающие с получаемыми усреднением по полной функции распределения. Например, плотность в точке

соответствует усреднению величины

(векторы не ставлю, бо лень). Для одинаковых частиц функция распределения штука симметричная к перестановке аргументов. Тогда

Из этой формулы следует постоянство энтропии для гамильтоновых систем. Если одночастичную функцию определить как-нибудь по-другому, то средние по такой "новой" одночастичной и по "настоящей" функциям не совпадут.
3. О динамике "малочастичных" функций и уравнении Больцмана.
Поскольку одночастичная функция получается урезанием полной, то никакому замкнутому уравнению такая функция не удовлетворяет. Максимум, что можно получить - это уравнение, в левой части которого будет одночастичная функция, а в правой - двухчастичная. Этот процесс можно продолжить, и получить систему

(по числу частиц) зацепляющихся уравнений. Такая система будет эквивалентна уравнению Лиувилля для полной функции распределения. Если мы эту систему как-нибудь изменим, то изменится уравнение для полной функции распределения и соответствие статистической и обычной механики нарушится.
При выводе уравнения Больцмана двухчастичную функцию объявляют произведением одночастичных, обрывая цепочку то ли на первом, то ли на втором уравнении - смотря как считать. После этого восстановление механических уравнений по получившемуся аналогу уравнений Лиувилля дает результат, сильно отличный от исходной гамильтоновой смстемы. При этом уравнение Больцмана обладает забавным свойством - его правая часть обращается в ноль для равновесной функции распределения, а левая является уравнением Лиувилля для некоторой
фиктивной одночастичной механической системы. Поэтому благодаря правой части любое распределение эволюционирует к равновесному, после чего уравнение переходит в уравнение Лиувилля, сохраняющее во времени все, что надо.
Выводы.
Никакими легальными способами, не подменяющими исходную механическую гамильтонову систему чем-то другим невозможно получить термодинамические законы. Переход к квантовой механике положение не спасает, только вместо слов "функция распределения" надо произносить "матрица плотности", а все остальное будет тоже самое. Если у нас не получилось, что

значит в каком-то месте мы подменили гамильтонову (Гайзенберговскую) систему чем-то ещё.