Энтропия и стрела времени

[epros]

(realeugene)

realeugene в сообщении #1353295 писал(а):

Не зависит ли таким образом определённая энтропия от $\Delta V_m$?

Ба, неужели я слышу это от того же человека, который недавно изрекал такую "умную" философическую сентенцию:

realeugene в сообщении #1352817 писал(а):

Ваше требование предоставить вам единственную модель к физике отношения не имеет. В физике единственна только наблюдаемая реальность, а её моделей сосуществует множество.

-- Вс ноя 11, 2018 15:56:39 --

warlock66613 в сообщении #1353297 писал(а):

Абсолютное значение - зависит, но разницы энтропий - очень слабо, практически не зависят.

Разница между чем и чем? Если Вы таким образом надеетесь обнаружить разницу между энтропиями конечного (равновесного) состояния и начального (неравновесного), то разочаруетесь.

[warlock66613]

epros в сообщении #1353300 писал(а):

Если Вы таким образом надеетесь обнаружить разницу между энтропиями конечного (равновесного) состояния и начального (неравновесного), то разочаруетесь.

Мне незачем надеяться: я знаю, что это делается легко. Например, можно рассмотреть такой простой случай: сосуд разделён на две половины перегородкой, затем перегородка убирается (это начальное состояние, неравновесное), потом газ занимает весь сосуд (конечное равновесное соcтояние). Вычисления для этого случая элементарны.

[epros]

warlock66613, Ваше "знание" ошибочно.

Разумеется, под некоторые специфические задачки можно подобрать такое определение $\Delta V_m$, что мы получим нужную разницу энтропий. Например, если газ был в одной половине сосуда, а потом распределился по всему сосуду, то выбрав за элемент "минимального физически различимого" пространственного объёма, например, 1% от объёма сосуда, мы по Вашей методике получим более или менее разумную разницу энтропий конечного и начального состояний.

(Оффтоп)

Упс, пока я печатал ответ, Вы дополнили своё сообщение ровно тем примером, который привёл и я.

Но в общем случае это не работает. В частности, попробуйте разобрать ту подтверждённую экспериментом (и даже нашедшую применение на практике) ситуацию, когда удаётся заставить физическую систему "эволюционировать в обратном направлении" и в итоге перейти из того, что казалось равновесным состоянием, в то, что касалось неравновесным. Правда там рассматривались не импульсы и пространственные координаты молекул, а направления их магнитных моментов. Но смысл тот же - система из "хаотичного" распределения магнитных моментов по направлениям эволюционирует в состояние с однонаправленными моментами. Реальный скачок намагниченности образца в заранее предсказанный момент неоднократно регистрировался приборами.

[warlock66613]

epros, может вы уж сразу скажете что не так? У меня есть несколько версий. Главная: вас смущает, что энтропия во второй части эксперимента убывает. Вы на это хотите указать?

[realeugene]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1353300 писал(а):

Ба, неужели я слышу это от того же человека

Этот вопрос был не для вас.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1353312 писал(а):

У меня есть несколько версий. Главная: вас смущает, что энтропия во второй части эксперимента убывает. Вы на это хотите указать?

Ни в коем случае. Чтобы говорить о том, что энтропия в эксперименте якобы убывает, нужно для начала точно описать, каким именно образом она измерялась. Ваш способ - через произвольным образом выбранное $\Delta V_m$ - в данном случае не подойдёт.

[warlock66613]

epros в сообщении #1353336 писал(а):

Ваш способ - через произвольным образом выбранное $\Delta V_m$ - в данном случае не подойдёт.

А он тут и не нужен, поскольку в этом случае речь идёт о квантовой статистической физике. В квантовой механике макросостояния определяются иначе (хотя общий принцип тот же).

[epros]

Вообще-то ничего особо квантового в этой задаче нет. Модель эволюции магнитных моментов, согласно которой они и становятся в определённый момент сонаправленными, тоже является вполне классической. К тому же единственное существенное отличие квантовой модели от классической - это существование минимума энтропии (третье начало термодинамики), что в данном случае не важно.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1353247 писал(а):

Какое утверждение неверно? Что $\delta^{(3N)}(r - r_0(t))\delta^{(3N)}(p - p_0(t))$ подчиняется уравнению Лиувилля? Перечитайте внимательнее.

Попробую объяснить.

(Оффтоп)

Жалко, что Cos(x-pi/2) спугнули. У него такие объяснения блестяще получаются.

1. О связи уравнения Лиувилля и динамики системы.

Пусть у нас есть $N$-частичная гамильтонова система. Пусть $X$ означает точку в фазовом пространстве размерности $2N,$ определяющую текущее состояние системы
$X\to (p_1;q_1,p_2;q_2,\dots,p_N;q_N)$.
В начальный момент значение функции $f(X_0,t=0)=W$ в фиксированной точке $X_0$ описывает вероятность найти систему в состоянии $X_0.$ Тогда через время $t$ значение $W$ переползет в точку $X_0(t),$ получающуюся из точки $X_0$ сдвигом всех $p_i$ и $q_i$ вдоль траектории: $W=f(X_0(t)).$ Если эту процедуру проделать для всех $X,$ то получится, что
$f(X,t)=f(X(t)),$
где $X(t)$ - истинные механические траектории. Т.е. знание $f(X,t)$ эквивалентно знанию всех траекторий (соединяем близкие точки с одинаковым $f$ и получается траектория). Условием (необходимым и достаточным) того, что все так и будет является то, что $f$ удовлетворяет уравнению Лиувилля для гамильтониана системы $H.$ В этом случае механические траектории будут характеристиками уравнения Лиувилля. Если уравнение, которому подчиняется $N$-частичная (полная) функция распределения отличается от уравнения Лиувилля, то бабушка надвое сказала, что вообще существует хоть какая механическая система, соответствующая такому уравнению.

2. О "малочастичных" функциях распределения.

Поскольку $N$-частичная функция содержит всё, толку от нее - ноль, мы ее никогда не узнаем. В большинстве случаев вместо нее используется "малочастичная" (одно- или двухчастичная) функция распределения. Она позволяет для некоторых величин, имеющих вид
$A (p_1;q_1,p_2;q_2,\dots,p_N;q_N)=a_0+\sum\limits_{1}^{N}a_i(p_i,q_i)$
получить средние, совпадающие с получаемыми усреднением по полной функции распределения. Например, плотность в точке $r\;n(r,t)$ соответствует усреднению величины $\sum\limits_{1}^{N}\delta(q_i-r)$ (векторы не ставлю, бо лень). Для одинаковых частиц функция распределения штука симметричная к перестановке аргументов. Тогда
$f(p,q,t)=N\int f(X,t)dx_2\dots dx_N.$
Из этой формулы следует постоянство энтропии для гамильтоновых систем. Если одночастичную функцию определить как-нибудь по-другому, то средние по такой "новой" одночастичной и по "настоящей" функциям не совпадут.

3. О динамике "малочастичных" функций и уравнении Больцмана.

Поскольку одночастичная функция получается урезанием полной, то никакому замкнутому уравнению такая функция не удовлетворяет. Максимум, что можно получить - это уравнение, в левой части которого будет одночастичная функция, а в правой - двухчастичная. Этот процесс можно продолжить, и получить систему $N$ (по числу частиц) зацепляющихся уравнений. Такая система будет эквивалентна уравнению Лиувилля для полной функции распределения. Если мы эту систему как-нибудь изменим, то изменится уравнение для полной функции распределения и соответствие статистической и обычной механики нарушится.
При выводе уравнения Больцмана двухчастичную функцию объявляют произведением одночастичных, обрывая цепочку то ли на первом, то ли на втором уравнении - смотря как считать. После этого восстановление механических уравнений по получившемуся аналогу уравнений Лиувилля дает результат, сильно отличный от исходной гамильтоновой смстемы. При этом уравнение Больцмана обладает забавным свойством - его правая часть обращается в ноль для равновесной функции распределения, а левая является уравнением Лиувилля для некоторой фиктивной одночастичной механической системы. Поэтому благодаря правой части любое распределение эволюционирует к равновесному, после чего уравнение переходит в уравнение Лиувилля, сохраняющее во времени все, что надо.

Выводы.

Никакими легальными способами, не подменяющими исходную механическую гамильтонову систему чем-то другим невозможно получить термодинамические законы. Переход к квантовой механике положение не спасает, только вместо слов "функция распределения" надо произносить "матрица плотности", а все остальное будет тоже самое. Если у нас не получилось, что $\frac{dS}{dt}=0,$ значит в каком-то месте мы подменили гамильтонову (Гайзенберговскую) систему чем-то ещё.

[warlock66613]

amon в сообщении #1353348 писал(а):

Из этой формулы следует постоянство энтропии для гамильтоновых систем.

Нет, не следует. Вы просто неправильно считаете энтропию. Та штука, для которой следует постоянство, называется в квантовом случае энтропией фон Неймана, а в классическом - энтропией ансамбля. Она не имеет прямого отношения к термодинамической энтропии. "Настоящая" энтропия для гамильтоновых систем не является постоянной.

amon в сообщении #1353348 писал(а):

Максимум, что можно получить - это уравнение, в левой части которого будет одночастичная функция, а в правой - двухчастичная.

Нет, это не максимум. Ещё можно получить а) вероятностное уравнение, б) неточное уравнение. В неточных уравнениях нет ничего страшного: вся нерелятивистская механика неточная. Главное - это знать, какие ограничения были положены в основу неточного уравнения, чтобы понимать когда мы выйдем за границу применимости. Ну и любой результат, полученный из приближённого уравнения, должно быть возможно - в принципе - получить из точного.

amon в сообщении #1353348 писал(а):

Если мы эту систему как-нибудь изменим, то изменится уравнение для полной функции распределения и соответствие статистической и обычной механики нарушится.

Поэтому это надо делать аккуратно, чтобы знать в каких условиях оно нарушается, а в каких - нет. (Метод обрыва цепочки для этого подходит плохо.)

Вывод: вывод неправильный.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1353350 писал(а):

Поэтому это надо делать аккуратно, чтобы знать в каких условиях оно нарушается, а в каких - нет.

По-моему, выше я как мог доходчиво объяснил, что для замкнутых гамильтоновых систем либо усреднение по одночастичной функции распределения совпадает с усреднением по полной, но тогда энтропия не зависит от времени для любого начального распределения, либо энтропия от времени зависит (возростает), но тогда либо система не гамильтонова, либо не замкнута, либо усреднение по одночастичной функции не совпадает с усреднением по полной. На гараже, где я ремонтируюсь, одно время висел плакат: "Делаем быстро, качественно, дешево. Выберите любые два пункта."

[warlock66613]

amon, я вас прекрасно понял. Не растёт энтропия ансамбля. Физическая энтропия растёт (для замкнутых гамильтоновых систем). Я даже привёл безумно простой пример, на котором можно детально в этом убедиться, не прибегая при этом ни к каким приближениям. Вот просто берём точную динамику, считаем энтропию и убеждаемся. Я потом ещё пояснил, как же так получается в случае классического газа. ЧТО, ЧТО тут может быть ещё непонятно?

-- 11.11.2018, 19:46 --

Если вам кажется, что трюк в дискретном времени, то я могу привести более сложный, но всё ещё допускающий точный расчёт, пример настоящей гамильтоновой системы с непрерывным временем.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1353355 писал(а):

Я потом ещё пояснил, как же так получается в случае классического газа.

Ну, давайте на газе, только гамильтоновом. Пусть газ частиц без взаимодействия ($H=\sum\frac{p_i^2}{2m}$) заполняет все пространство (никаких стенок нет) покажите, что хоть какая энтропия такого газа возрастает.

[warlock66613]

amon, я не говорил, что для любой гамильтоновой системы энтропия растёт. Газ без взаимодействия да ещё и без стенок в принципе не может термализоваться.

Поскольку мы хотим ограничиться точным решением, систему придётся взять попроще. Поэтому я предлагаю следующий вариант: одномерный газ невзаимодействующих частиц на окружности. Подойдёт? (Это гамильтонова система.)

[amon]

warlock66613 в сообщении #1353362 писал(а):

Кроме того, если мы хотим ограничиться точным решением, систему придётся взять попроще. Поэтому я предлагаю следующий вариант: одномерный газ невзаимодействующих частиц на окружности. Подойдёт? (Это гамильтонова система.)

Эта система гораздо сложнее. Я готов ее обсуждать если Вы готовы сформулировать условие периодичности $N$-частичной функции распределения (поворот всех частиц одновременно на один и тот же угол ничего не меняет) и напишете для нее уравнение Лиувилля с учетом этого обстоятельства. Для предыдущей, как я понял, Вы согласились с тем, что энтропия, да и все остальное в ней - константа не зависящая от времени для любого начального распределения.