Энтропия и стрела времени

[warlock66613]

chislo_avogadro, нет, не могу. Книга сравнительно большая и требует определённого бэкграунда - примерно в объёме обычного университетского курса физики (статфизика, квантовая механика, электродинамика). Пересказывать её в двух словах и ориентируясь непонятно на какой уровень - дело неблагодарное.

[amon]

Munin в сообщении #1353525 писал(а):

Кстати говоря, это в точности одна и та же система.

IMHO, не совсем. Функция распределения $N$ неразличимых частиц на отрезке представляет собой симметричную по перестановкам пар аргументов функцию, у которой один аргумент задан на отрезке, а второй - на прямой. Такую вещь я сооружу из произвольной функции операцией симметризации. В случае кольца накладываются еще и условия периодичности по каждому $q$. Легко написать $q\mod 2\pi,$ а как с этим конструктивно работать? Может я усложняю, но, помнится, в аналогичном случае для координатного анзаца Бете пишутся довольно извращенные конструкции.

pogulyat_vyshel в сообщении #1353467 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что энтропия в вашем смысле это та энтропия, о которой пишет Синай в лекции 14-15?

На сколько я продрался, нет. То, что хочет уважаемый warlock66613 это просто супренум энтропии разбиения. Энтропия Колмогорова устроена хитрее. По поводу того, что это физикам читалось терзают сомнения. Физики все-таки больше на жизненные примеры заставили бы свернуть и количество лемм поубавили бы. Я вот так и не понял что означает треугольничек в обозначении $\mu(S_tA\Delta A)$ (cтр. 114 и еще много где). То, что $\mu(a|b)=\frac{\mu(a\cap b)}{\mu(b)}$ я сообразил, хотя явно это, по-моему, ни где не написано.

pogulyat_vyshel в сообщении #1353461 писал(а):

кстати, а интеграл-то по какому множеству берется?

По всем $X,$ которые могут быть начальными условиями гамильтоновой системы с $H=E$ (в простых случаях, которыми и хотелось бы ограничится - по гиперповерхности $H(X)=E$).

-- 12.11.2018, 17:34 --

К стати, кто такая образующая Колмогорова (стр. 113) я так и не понял.

[Munin]

amon в сообщении #1353570 писал(а):

$N$ неразличимых частиц

Ну вот что за мухлёж. Вы их ещё фермионами или парастатистическими частицами обзовите. Не было договорённости про неразличимость.

-- 12.11.2018 18:03:32 --

Munin в сообщении #1353525 писал(а):

Кстати говоря, это в точности одна и та же система.

Я попытался выписать биекцию в явном виде, и понял, что соврал. Не совсем та же.

[amon]

Munin в сообщении #1353572 писал(а):

Не было договорённости про неразличимость.

Была - была. Иначе как выскочит, как выпрыгнет парадокс Гиббса, и побегут разрывы по закоулкам.

[Munin]

Хотя...
Раскрасим частицы (нетождественные, конечно же) произвольно в два цвета. Теперь для частиц первого цвета оставим их на месте, а частицы второго цвета переведём из отрезка $[0,\ell]$ в отрезок $[-\ell,0]$ с отражением: $x_i\to -x_i,\quad p_i\to -p_i.$ И склеим точки $\ell$ и $-\ell$ периодическим граничным условием. Получим из системы с отражением систему на окружности.
Обратно: делим отрезок пополам, переносим частицы из одной половины в другую с отражением, и забываем цвета.
Частицы невзаимодействующие, и ничего не почувствуют.

-- 12.11.2018 18:27:49 --

amon в сообщении #1353574 писал(а):

Была - была.

Ну дайте ссылку на то сообщение, в котором она была произнесена.

[amon]

Munin в сообщении #1353578 писал(а):

Ну дайте ссылку на то сообщение, в котором она была произнесена.

Явно - каюсь, действительно не произнесена. Неявно - здесь член, уничтожающий парадокс возник из-за неразличимости частиц. Без этого было бы

$$S=kN\left(\ln\frac{V}{N}+\frac{3}{2}\ln(2\pi m k T)+\frac{3}{2}\right)$$

и при даже мысленном разделении сосуда на две части возникало бы изменение энтропии на $2kN\ln2.$ В голове я это держал, но наружу оно как-то действительно не выплеснулось.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1353570 писал(а):

треугольничек в обозначении $\mu(S_tA\Delta A)$

симметрическая разность множеств $A\Delta B=(A\backslash B)\cup(B\backslash A)$

amon в сообщении #1353570 писал(а):

По всем $X,$ которые могут быть начальными условиями гамильтоновой системы с $H=E$ (в простых случаях, которыми и хотелось бы ограничится - по гиперповерхности $H(X)=E$).

по множеству меры нуль давайте интегрировать не будем -- неинтересно. я для себя решил, что если у $\rho$ компактный носитель то все ok

amon в сообщении #1353570 писал(а):

К стати, кто такая образующая Колмогорова (стр. 113) я так и не понял.

Там есть определение, смотрите внимательнее, страниц не указываю, так как у нас издания явно разные

[Munin]

amon в сообщении #1353579 писал(а):

уничтожающий парадокс

Я вообще плохо знаю статфизику, но вот мне непонятно, а зачем этот парадокс уничтожать?..

[amon]

Munin в сообщении #1353585 писал(а):

а зачем этот парадокс уничтожать?..

А плохо жить с ним. Он говорит, что если я мысленно поделю ящик с идеальным газом пополам, то так сосчитанная энтропия будет отличаться от энтропии ящика без такой мысленной перегородки. Согласитесь, как-то нехорошо получается. Гиббс сообразил, что для того, что бы этой неприятности избежать надо добавить линейный по числу частиц член в энтропию. В предположении неразличимости частиц такая добавка возникает сама собой.

pogulyat_vyshel в сообщении #1353583 писал(а):

Там есть определение, смотрите внимательнее, страниц не указываю, так как у нас издания явно разные

Определение-то есть, но я не очень понимаю как им в народном хозяйстве пользоваться. "Нам бы схемку, аль чертеж - мы б затеяли вертеж, а на уровне абстрактном хрена тертого поймешь" (С). Там сказано, что:

Цитата:

Измеримое счетное разбиение $\alpha$ пространства $M$ называется образующей для $T$ если

$$\bigcup\limits_{-\infty}^{\infty}T^n\alpha=\varepsilon\;(\text{т.е.}\; \bigcup\limits_{-\infty}^{\infty}\gamma(T^n\alpha)=\gamma)$$

Первого я вообще никак не понимаю, надо искать кто такая $\varepsilon$ и что она означает, а второе означает ли, что фазовый поток протащит систему через все множества алгебры $\gamma$ или там что-то еще нужно?

[Munin]

amon в сообщении #1353600 писал(а):

Он говорит, что если я мысленно поделю ящик с идеальным газом пополам, то так сосчитанная энтропия будет отличаться от энтропии ящика без такой мысленной перегородки. Согласитесь, как-то нехорошо получается.

Не понимаю, почему нехорошо. Вы сильно сужаете объём макросостояния. (Для классического газа, где каждая молекула помечена своим инвентарным номером.)

[amon]

Munin в сообщении #1353653 писал(а):

Вы сильно сужаете объём макросостояния.

А что, от того что я банку с газом мысленно разделю пополам стенкой свойства свойства газа должны поменяться, и в тот момент, когда я такую мысленную стенку решу поставить произойдет скачек теплоемкости? Эту штуку Гиббс обнаружил, когда считал энтропию смешения (два разных газа разделены настоящей стенкой). Выяснилось, что величина эта не зависит от природы газа, и для одного и того же газа, разделенного мысленной стенкой, получается то же самое. После этого ученый сообразил что надо подправить в формуле для энтропии. Сообразил ли он, что это связано с неразличимостью - различимостью я не помню, скорее всего сообразил, мужик ушлый был.

[warlock66613]

Munin, при таком подходе энтропия будет меняться скачком при моментальном добавлении и убирании стенки. И с аддитивностью могут начаться проблемы.

Точнее даже так. Энтропия начинает зависеть от предистории. Если у нас имеется газ в некотором сосуде, то просто посчитав энтропию мы получим одну величину. А если представим, что такое состояние получилось из-за убирания стенки, то значение получится больше на энтропию смешения. В результате энтропия перестаёт быть функцией термодинамического состояния, то есть теряет свою главную ценность.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1353659 писал(а):

В результате энтропия перестаёт быть функцией термодинамического состояния, то есть теряет свою главную ценность.

Именно. И всё из-за неудачного выбора макросостояния. Вы же сами эту телегу всю дорогу развивали.

В общем, грубо говоря: мысленно добавить перегородку - можно только мысленно. Фактически мы выбираем макросостояния по тому, насколько мы можем или не можем их различать экспериментально. (Помните же?) И здесь всё вполне логично: если газы хоть по молекулярному весу, хоть по любому другому свойству (вращению поляризации света) отличаются друг от друга, - мы их различить можем, и смешение газа для нас реальный процесс, который мы можем наблюдать приборами. И разумеется, при этом одно макросостояние переходит в другое, и энтропия растёт.

А если газы ничем не различаются (для приборов!), то имеет место блуждание внутри одного макросостояния, и энтропия, разумеется, расти не может. Не вижу в этом ничего парадоксального.

"Парадокс" возникает в том месте, где мы думаем, что одна ситуация превращается в другую в предельном переходе. Но это же очевидно не так! Если свойство газа, которое мы различаем приборами (вес, цвет, тембр брачного писка), плавно переходит к неразличимости, то с какого-то момента мы его перестаём различать, и в этот момент у нас переопределяются макросостояния. Более того. Можно представить себе, что у нас грубый прибор (весы), и вес газа он определяет с погрешностью, и при постепенном уменьшении разницы весов разных газов - начинает постепенно не различать состояния "слева $x\,\%$ лёгкого газа, а справа - $(100-x)\,\%$". Тогда у нас макросостояния начнут "огрубляться" тоже постепенно, и "энтропия смешения" начнёт уменьшаться - тоже постепенно.

Уф, издалека страшно, а разобрался - так просто, вроде.

[manul91]

А вот я все время жду, пока речь пойдет о том - как вообще энтропия (при симметричных по времени законов физики) связана с возникновением стрелы времени?

Например пусть у нас два "замкнутых ящика", для содержимого которых выполняются симметричные по времени известные законы физики.

Теперь, берем две события P и Q во времени (их моменты обозначим $t_P$ и $t_Q$ - стрела времени еще никак не подразумевается, так что пока "непонятно" что "раньше" P или Q)

На содержимого первого ящика накладываем условие что энтропия чрезвычайно мала в окрестности $t_P$, а на содержимого второго ящика накладываем условие что энтропия чрезвычайно мала в окрестности $t_Q$.

Насколько я понимаю, из связи энтропии со статистикой из этого следует что энтропия содержимого первого ящика должна увеличиваться в направлении PQ - а энтропия содержимого второго ящика должна увеличиваться в направлении QP.

Значит ли это, что в разных ящиков "время идет в противоположных направлений"?
Если нет - почему?

[Sicker]

(Оффтоп)

Я кстати затронул этот вопрос в самом начале топика, и тут же получил ответ

manul91 в сообщении #1353678 писал(а):

Насколько я понимаю, из связи энтропии со статистикой из этого следует что энтропия содержимого первого ящика должна увеличиваться в направлении PQ - а энтропия содержимого второго ящика должна увеличиваться в направлении QP.

Да, но почему вы выбрали именно эти направления, а не например противоположные?

manul91 в сообщении #1353678 писал(а):

Значит ли это, что в разных ящиков "время идет в противоположных направлений"?

В каком то смысле можно сказать, что да)