2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15
 
 Re: Производная
Сообщение26.07.2018, 15:23 


05/09/16
11469
upgrade в сообщении #1328931 писал(а):
Нет. Там поведение "не такое", а хоть бы с "таким" определиться. Можно же с ним определиться без сравнения с поведением приращений в нуле?

Ноль тут почти не причем, взят просто для удобства, возьмите $f(x)=\sqrt[3]{x-3}+5x^2-8$ и посмотрите чему равен дифференциал этой функции в точке $f(3)=37$ при каком-нибудь заданном вами приращении аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение26.07.2018, 16:35 


05/09/16
11469
Вот даже картинка с графиком, чтобы легче было представить (по осям взят разный масштаб, для удобства).
Изображение[/url]

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение26.07.2018, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Точка на этом графике такого размера, что всё закрывает :-) И даже толщина линии слишком большая.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение26.07.2018, 17:24 


05/09/16
11469

(Munin)

Munin в сообщении #1328964 писал(а):
Точка на этом графике такого размера, что всё закрывает :-)

Это специально. "Ничто не предвещало беды". Но график каждый может сделать самостоятельно с любым увеличением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 10:48 


07/08/14
4231
$f(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{(\sqrt[3]{x_0+h}- \sqrt[3]{x_0})\cdot (\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}{(\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{x_0+h- x_0}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}\rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}$ при $h\rightarrow 0$
При $x=0$ и $h\rightarrow0$
$\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}\rightarrow \infty$

И чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 11:15 


05/09/16
11469
upgrade в сообщении #1329083 писал(а):
И чего?

Вопрос был:
wrest в сообщении #1328920 писал(а):
Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$.

У вас получилось? Если да, то чему получились равны $A(x_0)$ и $o(\Delta x)$, если нет, то почему не получилось?

-- 27.07.2018, 11:19 --

upgrade в сообщении #1329083 писал(а):
$\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}$

Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$ :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
upgrade в сообщении #1329083 писал(а):
$f(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{(\sqrt[3]{x_0+h}- \sqrt[3]{x_0})\cdot (\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}{(\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2})}$
$f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{x_0+h- x_0}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}\rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}$ при $h\rightarrow 0$

Всё это правильно (фактически вы нашли желанную производную), но нужна не формула, верная в пределе $h\to 0,$ а формула, верная вообще при любых $h$ (по крайней мере, в какой-то окрестности нуля, но в данном случае разницы нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 12:12 


07/08/14
4231
wrest в сообщении #1329089 писал(а):
Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$

Ок, $\sqrt[3]{h}\rightarrow 0$ ... и снова - ни грома ни молнии... ну стремится ну к нулю..

-- 27.07.2018, 12:19 --

Munin в сообщении #1329097 писал(а):
но нужна не формула, верная в пределе $h\to 0,$ а формула, верная вообще при любых $h$ (по крайней мере, в какой-то окрестности нуля, но в данном случае разницы нет)

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}}{h}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$

wrest в сообщении #1329089 писал(а):
Попробуйте представить приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в виде $\Delta f(x_0,\Delta x)=A(x_0)\cdot \Delta x + o(\Delta x)$ в точке $x_0=0$.

Как его здесь найти то? $f(x_0+h)-f(x_0)=\sqrt[3]{x_0+h}-\sqrt[3]{x_0}=\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}$
Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 12:42 


05/09/16
11469
upgrade в сообщении #1329099 писал(а):
wrest в сообщении #1329089

писал(а):
Справка: $\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{h^1}{h^{2/3}}=h^1 \cdot h^{-2/3}=h^{1-2/3}=h^{1/3}=\sqrt[3]{h}$
Ок, $\sqrt[3]{h}\rightarrow 0$ ... и снова - ни грома ни молнии... ну стремится ну к нулю..

Ну... потому что неправильно посчитали:
upgrade в сообщении #1329083 писал(а):
При $x=0$ и $h\rightarrow0$
$\frac{h}{\sqrt[3]{(x_0+h)^2}+\sqrt[3]{x_0}\cdot \sqrt[3]{x_0+h}+\sqrt[3]{x_0^2}}=\frac{h}{\sqrt[3]{h^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}\rightarrow \infty$

Справка: если вы вычисляли в процитированном $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ то вычислили неверно (не поделили на $h$), верно у вас было записано выше, и при $x_0=0$ получается
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
upgrade в сообщении #1329099 писал(а):
Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

Поэтому не надо её вытаскивать из знаменателя.

Можно сделать таким методом (законным, поскольку предел вы уже нашли):
    $\ldots+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}h-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}h.$

Но вот в точке $x_0=0$ он не сработает: таких слагаемых писать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение27.07.2018, 13:03 


05/09/16
11469
upgrade в сообщении #1329099 писал(а):
Из знаменателя линейную часть, насколько я понимаю, в вид $Ah+B$ не вытащить так, чтобы ее там вообще не осталось

Тогда, по-вашему, выходит что приращение функции $f(x)=\sqrt[3]{x}$ вообще нельзя "представить в виде" пресловутой суммы $\Delta f(x)=A\cdot \Delta x + o(\Delta x)$, так что ли? :D

Посмотрите как ловко ув. Munin "расправился" с синусом тут: post1328882.html#p1328882

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 221 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group