2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение05.12.2017, 23:38 


10/10/17
181
Можно ли на форум заливать фотографии решений? А то некоторые очень громоздкие и трудно их сюда записать. Опять возникла проблема с оценкой последовательности, не для всех случаев понял как ее проводить. Не буду полностью расписывать решение, а только основные моменты.

Исследовать сходимость последовательности , используя критерий Коши:
$X_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k !}{(2k-1)(2k+1)}$

$|X_n-X_p|<\varepsilon$, $n>p$

$|X_n-X_p|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant$

$\leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1} =$

$=\frac{1}{(p+1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)} \leqslant$

А вот что дальше можно сделать? Никак придумать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение05.12.2017, 23:46 


27/05/16
115
megatumoxa
В третьей строчке кажется, вы слегка погорячились. Проверьте равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение05.12.2017, 23:52 


10/10/17
181
loser228 в сообщении #1272431 писал(а):
Проверьте равенство.

$|X_n-X_p|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant$

$\leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1} =$

$=\frac{1}{(p-1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)} \leqslant$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение05.12.2017, 23:54 


27/05/16
115
megatumoxa
У вас написано, что модуль суммы равен сумме модулей, так ли это ?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:00 


10/10/17
181
loser228 в сообщении #1272434 писал(а):
megatumoxa
У вас написано, что модуль суммы равен сумме модулей, так ли это ?

Брать модуль для каждой дроби, а не только для числителя?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:01 


27/05/16
115
megatumoxa
Запишите, чему равно $x_n-x_p$ (без модулей)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:18 


10/10/17
181
loser228 в сообщении #1272440 писал(а):
Запишите, чему равно $x_n-x_p$ (без модулей)

Я просто пропустил несколько шагов, чтобы не расписывать кучу дробей. Сейчас распишу, как я это получил. Может быть так проще ошибку найти будет.
$|X_n-X_p|=|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})|=|\frac{\cos (p+2) !}{4(p+2)^2-1}+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:21 


27/05/16
115
megatumoxa
В последнем равенстве ошибка. Там должен быть другой знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:23 


10/10/17
181
loser228 в сообщении #1272447 писал(а):
Там должен быть другой знак.

$\leqslant$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:24 


27/05/16
115
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 00:38 


10/10/17
181
$|X_n-X_p|=|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})|=|\frac{\cos (p+2) !}{4(p+2)^2-1}+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}| \leqslant \frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{(p+1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 05:45 


21/05/16
4292
Аделаида
megatumoxa в сообщении #1272427 писал(а):
Можно ли на форум заливать фотографии решений?

Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 06:15 


10/10/17
181
kotenok gav в сообщении #1272493 писал(а):
Нет.

Хорошо. В любом случае, я уже все решение переписал. Осталось только дальнейшую оценку последовательности сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 06:19 


20/03/14
12041
megatumoxa
Если верить Вашему тексту, Вы вычитаете $x_n-x_n$. Вас уже просили перепроверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 06:36 


10/10/17
181
Lia в сообщении #1272497 писал(а):
Если верить Вашему тексту, Вы вычитаете $x_n-x_n$. Вас уже просили перепроверить.

Пока что меня просили перепроверить знак. Я исправил.
Мне кажется, лишний последний член в разности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group