2 задачи про последовательности

[Lia]

Вам кажется.
Почему бы не выписать $x_n$ (и прикинуть, сколько там слагаемых),
$x_p$ (и прикинуть, сколько там слагаемых),
понять, сколько слагаемых в разности, ... и так далее.

Возьмите еще учебник какой-нибудь и почитайте, как это все должно делаться.

[megatumoxa]

Слагаемых должно быть больше в $X_n$, чем в $X_p$.
Меня запутало то, что преподаватель не нашел здесь ошибок.

-- 06.12.2017, 11:03 --

Немного почитал на эту тему. Попробовал по-другому решить.
$|X_n-X_p|=|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos p !}{4p^2-1})|=|\frac{\cos (p-1) !}{4(p-1)^2-1}+\frac{\cos (p-2) !}{4(p-2)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}| \leqslant \frac{|\cos (p-1) !|}{4(p-1)^2-1}+\frac{|\cos (p-2) !|}{4(p-2)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant \frac{1}{4(p-1)^2-1}+\frac{1}{4(p-2)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} \leqslant \frac{1}{(p-1)^2-1}+\frac{1}{(p-2)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{p(p-2)}+\frac{1}{(p-3)(p-1)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)}$

[Lia]

megatumoxa в сообщении #1272518 писал(а):

$|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos p !}{4p^2-1})|=|\frac{\cos (p-1) !}{4(p-1)^2-1}+\frac{\cos (p-2) !}{4(p-2)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}|$

Неверно.

[provincialka]

megatumoxa
все-таки что у вас больше, $n$ или $p$?
Когда член последовательности имеет вид суммы, иногда индексы обозначают $n$ и $n+p$, где $p$ -- произвольное положительное (целое, конечно) число.
И ищут разность $|X_{n+p}-X_n|$. Она состоит из $p$ слагаемых. Может, так у вас меньше путаницы будет.

[megatumoxa]

provincialka в сообщении #1272528 писал(а):

megatumoxa
все-таки что у вас больше, $n$ или $p$?
Когда член последовательности имеет вид суммы, иногда индексы обозначают $n$ и $n+p$, где $p$ -- произвольное положительное (целое, конечно) число.
И ищут разность $|X_{n+p}-X_n|$. Она состоит из $p$ слагаемых. Может, так у вас меньше путаницы будет.

Не могу нормально представить эти последовательности. Какой член последовательности за каким следует. А дроби ещё больше все усложняют.

Упс, только сейчас заметил, что последовательность убывающая...

$|X_n_+_p-X_n|=|\frac{\cos (n+1)!}{4(n+1)^2-1}+\frac{\cos (n+2)!}{4(n+2)^2-1}+...+\frac{\cos (n+p) !}{4(n+p)^2-1}|$

[provincialka]

О! Прогресс! Теперь сумма правильно записана. Ну что ж, применяйте неравенство треугольника, оценивайте косинусы.

Кстати, подумайте, почему в условии у вас знаменатель записан в виде произведения? Это неспроста! Не надо раскрывать в нем скобки!

[megatumoxa]

И как теперь это можно упростить? Я не понимаю, как в подобных заданиях избавляются от второй переменной.

$|X_n_+_p-X_n|=\frac{1}{(2n-1)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+...+\frac{1}{(2n+2p-1)(2n+2p+1)}$

[loser228]

megatumoxa
Не торопитесь раскрывать скобки, лучше представьте $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{a}{2k-1}+\frac{b}{2k+1}$ для произвольного натурального $k$.

И знак проверьте.

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272574 писал(а):

Не торопитесь раскрывать скобки, лучше представьте $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{a}{2k-1}+\frac{b}{2k+1}$ для произвольного натурального $k$.

Разложил на сумму более простых дробей:

$|X_n_+_p-X_n|=\frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+3}+\frac{0.5}{2n+3}-\frac{0.5}{2n+5}+\frac{0.5}{2n+2p-1}-\frac{0.5}{2n+2p+1}=\frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+5}+\frac{0.5}{2n+2p-1}-\frac{0.5}{2n+2p+1}$

[loser228]

megatumoxa
Теперь вы поняли, что должно сократиться а что остаться в итоге? Странно вы сумму записали. Ведь там $p$ слагаемых, а у вас гораздо меньше.

И знак поставили неверный.

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272615 писал(а):

Теперь вы поняли, что должно сократиться а что остаться в итоге?

Должны остаться $p$ слагаемые, но у меня не выходит. Последние две дроби нужно как-то еще расписать?

[Lia]

megatumoxa
Сколько всего дробей в разности $x_{n+p}-x_n$ до сокращения?
Которую Вы записали вот так?

Цитата:

$\frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+3}+\frac{0.5}{2n+3}-\frac{0.5}{2n+5}+\frac{0.5}{2n+2p-1}-\frac{0.5}{2n+2p+1}$

[loser228]

megatumoxa
Если трудно для произвольного $p$, попробуйте придать ему определённые значения. Посмотрите, что останется в итоге.

[Lia]

loser228 в сообщении #1272641 писал(а):

попробуйте придать ему определённые значения

Шесть, например.

[megatumoxa]

$\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}+\frac{1}{(2(n+2)-1)(2(n+2)+1)}+...+\frac{1}{(2(n+p)-1)(2(n+p)+1)}=\frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+3}+\frac{0.5}{2n+3}-\frac{0.5}{2n+5}+...+\frac{0.5}{2n+2p-1}-\frac{0.5}{2n+2p+1}=\frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+5}+...+\frac{0.5}{2n+2p-1}-\frac{0.5}{2n+2p+1}$