2 задачи про последовательности

[megatumoxa]

Можно ли на форум заливать фотографии решений? А то некоторые очень громоздкие и трудно их сюда записать. Опять возникла проблема с оценкой последовательности, не для всех случаев понял как ее проводить. Не буду полностью расписывать решение, а только основные моменты.

Исследовать сходимость последовательности , используя критерий Коши:
$X_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k !}{(2k-1)(2k+1)}$

$|X_n-X_p|<\varepsilon$, $n>p$

$|X_n-X_p|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant$

$\leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1} =$

$=\frac{1}{(p+1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)} \leqslant$

А вот что дальше можно сделать? Никак придумать не могу.

[loser228]

megatumoxa
В третьей строчке кажется, вы слегка погорячились. Проверьте равенство.

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272431 писал(а):

Проверьте равенство.

$|X_n-X_p|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant$

$\leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1} =$

$=\frac{1}{(p-1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)} \leqslant$

[loser228]

megatumoxa
У вас написано, что модуль суммы равен сумме модулей, так ли это ?

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272434 писал(а):

megatumoxa
У вас написано, что модуль суммы равен сумме модулей, так ли это ?

Брать модуль для каждой дроби, а не только для числителя?

[loser228]

megatumoxa
Запишите, чему равно $x_n-x_p$ (без модулей)

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272440 писал(а):

Запишите, чему равно $x_n-x_p$ (без модулей)

Я просто пропустил несколько шагов, чтобы не расписывать кучу дробей. Сейчас распишу, как я это получил. Может быть так проще ошибку найти будет.
$|X_n-X_p|=|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})|=|\frac{\cos (p+2) !}{4(p+2)^2-1}+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}|=\frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1}$

[loser228]

megatumoxa
В последнем равенстве ошибка. Там должен быть другой знак.

[megatumoxa]

loser228 в сообщении #1272447 писал(а):

Там должен быть другой знак.

$\leqslant$

[loser228]

Да.

[megatumoxa]

$|X_n-X_p|=|(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})-(\frac{\cos 1 !}{3}+\frac{\cos 2 !}{15}+...+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1})|=|\frac{\cos (p+2) !}{4(p+2)^2-1}+\frac{\cos (p+1) !}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos n !}{4n^2-1}| \leqslant \frac{|\cos (p+2) !|}{4(p+2)^2-1}+\frac{|\cos (p+1) !|}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{|\cos n !|}{4n^2-1} \leqslant \frac{1}{4(p+2)^2-1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{4n^2-1} < \frac{1}{(p+2)^2-1}+\frac{1}{(p+1)^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{(p+1)(p+3)}+\frac{1}{p(p+2)}+...+\frac{1}{(n-1)(n+1)}$

[kotenok gav]

megatumoxa в сообщении #1272427 писал(а):

Можно ли на форум заливать фотографии решений?

Нет.

[megatumoxa]

kotenok gav в сообщении #1272493 писал(а):

Нет.

Хорошо. В любом случае, я уже все решение переписал. Осталось только дальнейшую оценку последовательности сделать.

[Lia]

megatumoxa
Если верить Вашему тексту, Вы вычитаете $x_n-x_n$. Вас уже просили перепроверить.

[megatumoxa]

Lia в сообщении #1272497 писал(а):

Если верить Вашему тексту, Вы вычитаете $x_n-x_n$. Вас уже просили перепроверить.

Пока что меня просили перепроверить знак. Я исправил.
Мне кажется, лишний последний член в разности.