2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 2 задачи про последовательности
Сообщение03.12.2017, 13:40 


10/10/17
89
Преподаватель забраковал парочку моих решений, а я никак не могу перерешать их правильно.
1. Исследовать последовательность. Я уже доказал, что последовательность неограниченная и расходящаяся. Имеет пределы $+\infty$ и $-\infty$. Осталось определить, бесконечно большая эта последовательность или нет.
$X_n=(-1)^n\cdot\frac{n^2}{n+1}$
Вот как я решил (что оказалось неправильным решением):
$\forall E>0$ $\exists P_\varepsilon$ $\forall n\in N$ $(n>P_\varepsilon \Rightarrow |X_n|>E)$

$|X_2_k|>E$

Я почему-то решил, что можно оценить нижнюю дробь и убрать единицу.
$\frac{4k^2}{2k}>E$

$k>\frac{E}{2}=P_\varepsilon$

$|X_2_k_+_1|>E$

Здесь я уже добавил единицу в числитель и сократил.
$\frac{(2k+1)^2}{2k+2}>E$

$k>\frac{E-2}{2}=P_\varepsilon$
Если нельзя оценить дробь, то как тогда решить данное задание? Так и оставлять огромные дроби?

2. Исследовать сходимость последовательности, используя теорему о пределе монотонной, ограниченной последовательности. Я доказал, что последовательность монотонно возрастающая. А вот ограниченность доказать не могу.
$\forall n\in N$ $\exists M (x_n \leqslant M)$

Очевидно, что последовательность ограничена двойкой, но как это доказать?
$X_n=1+\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 2^2}+...+\frac{1}{n\cdot 2^n-1}<2=M$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
(1) А зачем вы отдельно четные и нечетные рассматриваете? Все равно же вам нужно $|X_n|$, что равно просто $\frac{n^2}{n+1}$.
Если вы хотите оценить это выражение снизу, то надо заменить его на меньшее, а не на большее. Для этого можно увеличить знаменатель или (что удобнее) уменьшить числитель. А вы все сделали наоборот.

-- 03.12.2017, 15:37 --

в (2) у вас запись общего члена не соответствует первым выписанным слагаемым. Впрочем, ясно, как поправить.
Сравните вашу сумму с геометрической прогрессией

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 17:52 


10/10/17
89
(1) Тогда можно из числителя вычесть единицу в квадрате, и сократить скобки.
$n>E+1$
(2) Так была дана последовательность изначально. Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 18:00 
Модератор


20/03/14
7798
megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):
Так была дана последовательность изначально

Изначально, наверное, $n-1$ в показателе жил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):
Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.

Общий член должен иметь вид $\dfrac1{n\cdot 2^{n-1}}$. Чтобы оценить его сверху, нужно уменьшить знаменатель. Причем довольно безжалостно... :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 19:06 


10/10/17
89
provincialka в сообщении #1271507 писал(а):
Общий член должен иметь вид $\dfrac1{n\cdot 2^{n-1}}$. Чтобы оценить его сверху, нужно уменьшить знаменатель. Причем довольно безжалостно... :lol:

А зачем нам нужно оценивать эту дробь? Я никак не могу уловить суть, как доказать, что данная последовательность ограничена двойкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
megatumoxa в сообщении #1271513 писал(а):
А зачем нам нужно оценивать эту дробь?
Чтобы оценить сумму, неплохо сначала оценить слагаемые. Чем-то простым, для которого сумма ищется легко.
Знаете ли вы, чему равна сумма геометрической прогрессии $1+q+q^2+...+q^{n-1}$? А чему равен ее предел при $n\to \infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 20:09 


10/10/17
89
Цитата:
Чтобы оценить сумму, неплохо сначала оценить слагаемые. Чем-то простым, для которого сумма ищется легко.
Знаете ли вы, чему равна сумма геометрической прогрессии $1+q+q^2+...+q^{n-1}$? А чему равен ее предел при $n\to \infty$?

Сумма высчитывается по формуле, но сразу видно, что она бесконечно возрастающая. Предел равен бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6687
megatumoxa в сообщении #1271535 писал(а):
Предел равен бесконечности.
:shock:
ДАЖЕ если $q <1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 20:24 


10/10/17
89
Dan B-Yallay в сообщении #1271540 писал(а):
megatumoxa в сообщении #1271535 писал(а):
Предел равен бесконечности.
:shock:
ДАЖЕ если $q <1$?

Я думал, что эта прогрессия на примере последовательности из задания, где q>0. Если же наоборот, то последовательность уже бесконечно убывающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6687
Я думал, что разговор был о задании номер
megatumoxa в сообщении #1271483 писал(а):
(2) Так была дана последовательность изначально. Не приходит в голову, как данную последовательность сравнить с геометрической прогрессией.


-- Вс дек 03, 2017 11:35:39 --

Кстати, $q>0$ и $q<1$ могут соблюдаться одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
megatumoxa в сообщении #1271544 писал(а):
прогрессия на примере последовательности из задания, где q>0.
Ноль тут ни при чем. А в вашем задании $q=\frac12$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 22:27 


10/10/17
89
Цитата:
Ноль тут ни при чем. А в вашем задании $q=\frac12$.

Упс, перепутал. $q>1$ B моем задании $q=1/2$, но я брал просто знаменатель за $q$.
Чтобы еще больше не запутаться, вернемся назад. Геометрическая последовательность бесконечно возрастающая при $q>1$, а предел ее равен бесконечности. Нужно только понять, как использовать геометрическую прогрессию для доказательства ограниченности последовательности. В моем случае, последовательность возрастающая, но каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Можно попробовать оценить дробь. Не уверен, можно ли так. Я бы оставил $\frac{1}{n}$, ведь при бесконечно больших значениях $n$ значимость второго множителя в знаменателе незначительна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
megatumoxa в сообщении #1271647 писал(а):
В моем случае, последовательность возрастающая, но каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Вы сами поняли, что написали? :lol: Ну, мы, конечно, догадались, что вы хотели сказать. Последовательность (сумма $n$ слагаемых) возрастает, но сами слагаемые с ростом $n$ убывают.

Так чему равна сумма $1+\frac12+\frac1{2^2}+... +\frac1{2^{n-1}}+... $, до бесконечности?

-- 03.12.2017, 22:38 --

megatumoxa в сообщении #1271647 писал(а):
Я бы оставил $\frac{1}{n}$, ведь при бесконечно больших значениях $n$ значимость второго множителя в знаменателе незначительна.

Не-а! А вы проверьте!

$n: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 ,10...$
$2^{n-1}: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256 ,512...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти ошибку
Сообщение03.12.2017, 22:52 


10/10/17
89
Цитата:
Так чему равна сумма $1+\frac12+\frac1{2^2}+... +\frac1{2^{n-1}}+... $, до бесконечности?

Ну на вскидку ответ кроется в промежутке от 1.75 до 1.80

Цитата:
$2^{n-1}: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256 ,512...$

Немного неправильной логикой я руководствовался. Я посчитал, что при бесконечно больших значениях уже неважно насколько это значение большое. Ведь 2 в степени бесконечность тоже будет бесконечностью.

Ну, тогда оставляем в знаменателе значения со степенью. :lol:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group